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7.某村利用秋冬季节兴修水利，计划请运输公司用90至150天(含90与150)完成总量为300万立方米的土石方运送，设运输公司完成任务所需的时间为y(天)，平均每天运输土石方量为x(万立方米)，则y关于x的函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{300}{x}}$，自变量x的取值范围为$\boldsymbol{2≤ x≤ \dfrac{10}{3}}$。
答案
7.$y=\frac{300}{x}\ \ 2≤x≤\frac{10}{3}$
解析
【分析】
解题可分两步推进：第一步求函数表达式，利用“工作总量=平均每天运输量×运输时间”的基本等量关系，已知工作总量固定为300万立方米，代入等量关系变形即可得到y关于x的函数式；第二步求自变量x的取值范围，题目已给出运输时间y的范围是90≤y≤150，结合得到的反比例函数表达式，将y用含x的式子替换，解不等式即可得到x的范围，注意x代表每天运输量，取值必须为正。
【解析】
解：①推导函数表达式：
根据工作总量的计算公式可得：
$x· y=300$
将式子变形为用x表示y的形式，得：
$y=\dfrac{300}{x}$
②求解自变量x的取值范围：
已知运输时间y的取值范围为$90≤ y≤ 150$，且$x＞0$，将$y=\dfrac{300}{x}$代入不等式得：
$90≤ \dfrac{300}{x}≤ 150$
先解左侧不等式$90≤ \dfrac{300}{x}$：
两边同时乘正数x，不等号方向不变，得$90x≤ 300$，解得$x≤ \dfrac{300}{90}=\dfrac{10}{3}$
再解右侧不等式$\dfrac{300}{x}≤ 150$：
两边同时乘正数x，不等号方向不变，得$300≤ 150x$，解得$x≥ \dfrac{300}{150}=2$
综上，自变量x的取值范围是$2≤ x≤ \dfrac{10}{3}$
【答案】
$y=\dfrac{300}{x}$；$2≤ x≤ \dfrac{10}{3}$
【知识点】
反比例函数实际应用；不等式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际工程场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是抓住工作总量固定这一不变量建立函数关系，求解自变量范围时要注意结合实际意义，解不等式时注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
解题可分两步推进：第一步求函数表达式，利用“工作总量=平均每天运输量×运输时间”的基本等量关系，已知工作总量固定为300万立方米，代入等量关系变形即可得到y关于x的函数式；第二步求自变量x的取值范围，题目已给出运输时间y的范围是90≤y≤150，结合得到的反比例函数表达式，将y用含x的式子替换，解不等式即可得到x的范围，注意x代表每天运输量，取值必须为正。
【解析】
解：①推导函数表达式：
根据工作总量的计算公式可得：
$x· y=300$
将式子变形为用x表示y的形式，得：
$y=\dfrac{300}{x}$
②求解自变量x的取值范围：
已知运输时间y的取值范围为$90≤ y≤ 150$，且$x＞0$，将$y=\dfrac{300}{x}$代入不等式得：
$90≤ \dfrac{300}{x}≤ 150$
先解左侧不等式$90≤ \dfrac{300}{x}$：
两边同时乘正数x，不等号方向不变，得$90x≤ 300$，解得$x≤ \dfrac{300}{90}=\dfrac{10}{3}$
再解右侧不等式$\dfrac{300}{x}≤ 150$：
两边同时乘正数x，不等号方向不变，得$300≤ 150x$，解得$x≥ \dfrac{300}{150}=2$
综上，自变量x的取值范围是$2≤ x≤ \dfrac{10}{3}$
【答案】
$y=\dfrac{300}{x}$；$2≤ x≤ \dfrac{10}{3}$
【知识点】
反比例函数实际应用；不等式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际工程场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是抓住工作总量固定这一不变量建立函数关系，求解自变量范围时要注意结合实际意义，解不等式时注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
8. 王老师外出学习入住宾馆的房间后立即打开空调，将最高温度调至$26°C$，入住一段时间后关闭空调.已知空调关闭后，室内的温度与时间近似反比例关系，如图所示的图象反映了王老师入住房间后一段时间内，室内的温度$y(°C)$与时间$t(\mathrm{min})$的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)王老师入住多少分钟后关闭空调？
(2)分别求室内的温度上升和下降两个阶段$y$与$t$之间的函数表达式.
(3)室内温度保持不低于$20°C$的时间是多少分钟？
(1)王老师入住多少分钟后关闭空调？
(2)分别求室内的温度上升和下降两个阶段$y$与$t$之间的函数表达式.
(3)室内温度保持不低于$20°C$的时间是多少分钟？
答案
8.解:(1)观察题图发现,王老师入住40 min后关闭空调.
(2)设两个阶段对应图象的函数表达式分别为$y_1=k_1t+ b$和$y_2=\frac{k_2}{t}$.
根据图象,得$\begin{cases}b=16,\\15k_1+b=26,\end{cases}$ $\frac{k_2}{40}=26$,
解得$\begin{cases}k_1=\frac{2}{3},\\b=16,\end{cases}k_2=1040$,
∴室内的温度上升和下降两个阶段y与t之间的函数表达式分别为$y_1=\frac{2}{3}t+16(0≤t≤15)$和$y_2=\frac{1040}{t}(t≥40)$.
(3)当$y=20$时,$\frac{2}{3}t+16=20,\frac{1040}{t}=20$,
解得t=6和t=52,
∴室内温度保持不低于20 ℃的时间为52−6=46(min).
(2)设两个阶段对应图象的函数表达式分别为$y_1=k_1t+ b$和$y_2=\frac{k_2}{t}$.
根据图象,得$\begin{cases}b=16,\\15k_1+b=26,\end{cases}$ $\frac{k_2}{40}=26$,
解得$\begin{cases}k_1=\frac{2}{3},\\b=16,\end{cases}k_2=1040$,
∴室内的温度上升和下降两个阶段y与t之间的函数表达式分别为$y_1=\frac{2}{3}t+16(0≤t≤15)$和$y_2=\frac{1040}{t}(t≥40)$.
(3)当$y=20$时,$\frac{2}{3}t+16=20,\frac{1040}{t}=20$,
解得t=6和t=52,
∴室内温度保持不低于20 ℃的时间为52−6=46(min).
解析
【分析】
(1) 观察函数图象，空调关闭后温度开始下降，图象从恒温转为下降的点对应的横坐标就是关闭空调的时间，直接读取即可；
(2) 温度上升阶段是0≤t≤15的线段，属于一次函数，已知图象过(0,16)和(15,26)两个点，利用待定系数法代入即可求出一次函数表达式；温度下降阶段是反比例函数，已知图象过(40,26)，代入反比例函数一般式即可求出表达式，注意标明自变量取值范围；
(3) 温度不低于20℃即y≥20，分别代入上升阶段的一次函数和下降阶段的反比例函数，求出对应的t值，两个t值的差就是所求的时长，中间恒温阶段温度为26℃，满足不低于20℃的要求，无需额外计算。
【解析】
(1) 由图象可知，温度在40min时停止恒温开始下降，因此王老师入住40min后关闭空调。
(2) ① 设温度上升阶段的函数表达式为$y_1=k_1t+b$（$0≤ t≤15$），
将点$(0,16)$、$(15,26)$代入得：
$\begin{cases}b=16\\15k_1+b=26\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=\frac{2}{3}\\b=16\end{cases}$
因此上升阶段函数表达式为$y_1=\frac{2}{3}t+16$（$0≤ t≤15$）；
② 设温度下降阶段的函数表达式为$y_2=\frac{k_2}{t}$（$t≥40$），
将点$(40,26)$代入得：$\frac{k_2}{40}=26$，解得$k_2=1040$，
因此下降阶段函数表达式为$y_2=\frac{1040}{t}$（$t≥40$）。
(3) 当温度为20℃时，
在上升阶段：令$\frac{2}{3}t+16=20$，解得$t=6$；
在下降阶段：令$\frac{1040}{t}=20$，解得$t=52$；
因此室内温度保持不低于20℃的时间为$52-6=46$（min）。
【答案】
(1) 王老师入住40分钟后关闭空调；
(2) 上升阶段：$y=\frac{2}{3}t+16(0≤ t≤15)$，下降阶段：$y=\frac{1040}{t}(t≥40)$；
(3) 室内温度保持不低于$20° C$的时间是46分钟。
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活实际场景考查函数的应用，解题关键是读懂函数图象，获取有效信息，熟练运用待定系数法求函数解析式，再结合函数性质解决实际问题，注重对读图能力和基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 观察函数图象，空调关闭后温度开始下降，图象从恒温转为下降的点对应的横坐标就是关闭空调的时间，直接读取即可；
(2) 温度上升阶段是0≤t≤15的线段，属于一次函数，已知图象过(0,16)和(15,26)两个点，利用待定系数法代入即可求出一次函数表达式；温度下降阶段是反比例函数，已知图象过(40,26)，代入反比例函数一般式即可求出表达式，注意标明自变量取值范围；
(3) 温度不低于20℃即y≥20，分别代入上升阶段的一次函数和下降阶段的反比例函数，求出对应的t值，两个t值的差就是所求的时长，中间恒温阶段温度为26℃，满足不低于20℃的要求，无需额外计算。
【解析】
(1) 由图象可知，温度在40min时停止恒温开始下降，因此王老师入住40min后关闭空调。
(2) ① 设温度上升阶段的函数表达式为$y_1=k_1t+b$（$0≤ t≤15$），
将点$(0,16)$、$(15,26)$代入得：
$\begin{cases}b=16\\15k_1+b=26\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=\frac{2}{3}\\b=16\end{cases}$
因此上升阶段函数表达式为$y_1=\frac{2}{3}t+16$（$0≤ t≤15$）；
② 设温度下降阶段的函数表达式为$y_2=\frac{k_2}{t}$（$t≥40$），
将点$(40,26)$代入得：$\frac{k_2}{40}=26$，解得$k_2=1040$，
因此下降阶段函数表达式为$y_2=\frac{1040}{t}$（$t≥40$）。
(3) 当温度为20℃时，
在上升阶段：令$\frac{2}{3}t+16=20$，解得$t=6$；
在下降阶段：令$\frac{1040}{t}=20$，解得$t=52$；
因此室内温度保持不低于20℃的时间为$52-6=46$（min）。
【答案】
(1) 王老师入住40分钟后关闭空调；
(2) 上升阶段：$y=\frac{2}{3}t+16(0≤ t≤15)$，下降阶段：$y=\frac{1040}{t}(t≥40)$；
(3) 室内温度保持不低于$20° C$的时间是46分钟。
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活实际场景考查函数的应用，解题关键是读懂函数图象，获取有效信息，熟练运用待定系数法求函数解析式，再结合函数性质解决实际问题，注重对读图能力和基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
9.用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系.某天，小金、小东放学回家后各自洗一件完全相同的衣服，漂洗时，小金每次用水约6升，小东每次用水约5升，他们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小金的衣服残留的洗衣粉还有1.5克，小东的衣服残留的洗衣粉还有2克.
(1)分别求出小金、小东衣服漂洗后洗衣粉残留量y关于次数x的函数表达式；
(2)已知洗衣粉的残留量降至0.35克时，便视为衣服漂洗干净，若以把衣服洗干净为前提，节约用水为目标，判断小金和小东两种漂洗方法用水量的大小，并说明理由.
(1)分别求出小金、小东衣服漂洗后洗衣粉残留量y关于次数x的函数表达式；
(2)已知洗衣粉的残留量降至0.35克时，便视为衣服漂洗干净，若以把衣服洗干净为前提，节约用水为目标，判断小金和小东两种漂洗方法用水量的大小，并说明理由.
答案
9.解:(1)设小金、小东衣服中洗衣粉的残留量关于漂洗次数的函数表达式分别为$y_1=\frac{k_1}{x},y_2=\frac{k_2}{x}$,
将(1,1.5)和(1,2)分别代入两个表达式,得
$1.5=\frac{k_1}{1},2=\frac{k_2}{1}$,解得$k_1=1.5,k_2=2$,
∴小金衣服漂洗后洗衣粉残留量y关于x的函数表达式是$y_1=\frac{3}{2x}$,小东衣服漂洗后洗衣粉残留量y关于x的函数表达式是$y_2=\frac{2}{x}$.
(2)用水量相同.理由如下:
由题意,得$y_1=\frac{3}{2x}≤0.35$,
解得$x≥\frac{30}{7}$,
∴x的最小整数值为5,
∴用水量最少为5×6=30(升);
$y_2=\frac{2}{x}≤0.35$,解得$x≥\frac{40}{7}$,
∴x的最小整数值为6,
∴用水量最少为6×5=30(升).
综上所述,小金、小东两种漂洗方法的用水量相同.
将(1,1.5)和(1,2)分别代入两个表达式,得
$1.5=\frac{k_1}{1},2=\frac{k_2}{1}$,解得$k_1=1.5,k_2=2$,
∴小金衣服漂洗后洗衣粉残留量y关于x的函数表达式是$y_1=\frac{3}{2x}$,小东衣服漂洗后洗衣粉残留量y关于x的函数表达式是$y_2=\frac{2}{x}$.
(2)用水量相同.理由如下:
由题意,得$y_1=\frac{3}{2x}≤0.35$,
解得$x≥\frac{30}{7}$,
∴x的最小整数值为5,
∴用水量最少为5×6=30(升);
$y_2=\frac{2}{x}≤0.35$,解得$x≥\frac{40}{7}$,
∴x的最小整数值为6,
∴用水量最少为6×5=30(升).
综上所述,小金、小东两种漂洗方法的用水量相同.
解析
【分析】
(1)题目明确漂洗次数与洗衣粉残留量满足反比例函数关系，因此可分别设两人的残留量函数为反比例函数标准形式$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x$为正整数），已知第一次漂洗即$x=1$时两人的残留量，将对应$x$、$y$值代入解析式即可求出常数$k$，得到各自的函数表达式。
(2)要判断哪种漂洗方法更节水，首先根据漂洗干净的标准（残留量≤0.35克），分别代入两人的函数表达式解不等式，求出各自所需的最少漂洗次数（漂洗次数为正整数，需对解取最小正整数），再用次数乘单次用水量得到总用水量，最后比较两者总用水量大小即可。
【解析】
(1)设小金、小东衣服中洗衣粉的残留量关于漂洗次数的函数表达式分别为$y_1=\frac{k_1}{x}$，$y_2=\frac{k_2}{x}$（$x$为正整数），
将$(1,1.5)$和$(1,2)$分别代入两个表达式，得
$1.5=\frac{k_1}{1}$，$2=\frac{k_2}{1}$，解得$k_1=1.5$，$k_2=2$，
∴小金衣服漂洗后洗衣粉残留量$y$关于次数$x$的函数表达式是$y_1=\frac{3}{2x}$（$x$为正整数），小东衣服漂洗后洗衣粉残留量$y$关于次数$x$的函数表达式是$y_2=\frac{2}{x}$（$x$为正整数）。
(2)两人漂洗方法用水量相同，理由如下：
由题意，得$y_1=\frac{3}{2x}≤0.35$，
解得$x≥\frac{30}{7}$，
∵$x$为正整数，
∴$x$的最小整数值为5，
∴小金的最少用水量为$5×6=30$（升）；
$y_2=\frac{2}{x}≤0.35$，解得$x≥\frac{40}{7}$，
∵$x$为正整数，
∴$x$的最小整数值为6，
∴小东的最少用水量为$6×5=30$（升）。
综上所述，小金、小东两种漂洗方法的用水量相同。
【答案】
(1)小金：$\boldsymbol{y_1=\frac{3}{2x}}$（$x$为正整数）；小东：$\boldsymbol{y_2=\frac{2}{x}}$（$x$为正整数）
(2)两人漂洗方法用水量相同，均为30升。
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数实际应用，不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活中洗衣服的实际场景考查反比例函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式，结合漂洗次数为正整数的实际意义取符合要求的解，再计算比较用水量即可，能很好地考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1)题目明确漂洗次数与洗衣粉残留量满足反比例函数关系，因此可分别设两人的残留量函数为反比例函数标准形式$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$x$为正整数），已知第一次漂洗即$x=1$时两人的残留量，将对应$x$、$y$值代入解析式即可求出常数$k$，得到各自的函数表达式。
(2)要判断哪种漂洗方法更节水，首先根据漂洗干净的标准（残留量≤0.35克），分别代入两人的函数表达式解不等式，求出各自所需的最少漂洗次数（漂洗次数为正整数，需对解取最小正整数），再用次数乘单次用水量得到总用水量，最后比较两者总用水量大小即可。
【解析】
(1)设小金、小东衣服中洗衣粉的残留量关于漂洗次数的函数表达式分别为$y_1=\frac{k_1}{x}$，$y_2=\frac{k_2}{x}$（$x$为正整数），
将$(1,1.5)$和$(1,2)$分别代入两个表达式，得
$1.5=\frac{k_1}{1}$，$2=\frac{k_2}{1}$，解得$k_1=1.5$，$k_2=2$，
∴小金衣服漂洗后洗衣粉残留量$y$关于次数$x$的函数表达式是$y_1=\frac{3}{2x}$（$x$为正整数），小东衣服漂洗后洗衣粉残留量$y$关于次数$x$的函数表达式是$y_2=\frac{2}{x}$（$x$为正整数）。
(2)两人漂洗方法用水量相同，理由如下：
由题意，得$y_1=\frac{3}{2x}≤0.35$，
解得$x≥\frac{30}{7}$，
∵$x$为正整数，
∴$x$的最小整数值为5，
∴小金的最少用水量为$5×6=30$（升）；
$y_2=\frac{2}{x}≤0.35$，解得$x≥\frac{40}{7}$，
∵$x$为正整数，
∴$x$的最小整数值为6，
∴小东的最少用水量为$6×5=30$（升）。
综上所述，小金、小东两种漂洗方法的用水量相同。
【答案】
(1)小金：$\boldsymbol{y_1=\frac{3}{2x}}$（$x$为正整数）；小东：$\boldsymbol{y_2=\frac{2}{x}}$（$x$为正整数）
(2)两人漂洗方法用水量相同，均为30升。
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数实际应用，不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活中洗衣服的实际场景考查反比例函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式，结合漂洗次数为正整数的实际意义取符合要求的解，再计算比较用水量即可，能很好地考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
