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1. 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是（
A.$ax^2 - 2x - 3 = 0$
B.$x^2 - 2x = x^2$
C.$x^2 = 3$
D.$x^2 + \frac{1}{x} = 1$
C
）A.$ax^2 - 2x - 3 = 0$
B.$x^2 - 2x = x^2$
C.$x^2 = 3$
D.$x^2 + \frac{1}{x} = 1$
答案
1.C 当$a=0$时,$ax^2 - 2x - 3 = 0$不是一元二次方程,故A不符合题意;$x^2 - 2x = x^2$,整理,得$-2x = 0$,不是一元二次方程,故B不符合题意;$x^2 = 3$是一元二次方程,故C符合题意;$x^2 + \frac{1}{x} = 1$不是整式方程,不是一元二次方程,故D不符合题意.
2. 易错题 若关于x的方程$(m-4)x^{|m-2|}+2x-5=0$是一元二次方程，则m=
0
.答案
2.0 $\because$ 方程$(m-4)x^{|m-2|}+2x-5=0$是一元二次方程,
$\therefore \begin{cases} m-4≠ 0(二次项系数不为0),\\ |m-2|=2, \end{cases}$解得$m=0$.
$\therefore \begin{cases} m-4≠ 0(二次项系数不为0),\\ |m-2|=2, \end{cases}$解得$m=0$.
3. [2026苏州吴江区期中]一元二次方程$2x^2 = x + 3$的二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（
A.$0, -3$
B.$0, 3$
C.$1, 3$
D.$-1, -3$
D
）A.$0, -3$
B.$0, 3$
C.$1, 3$
D.$-1, -3$
答案
3.D 方程$2x^2 = x + 3$化成一般形式为$2x^2 -x -3 = 0$,$2x^2 -x -3 = 0$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2, -1, -3.
4. [2026镇江期末]将一元二次方程$-x(x + 2)=3$化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是
2
。答案
4.2
5. 易错题 [2026 扬州仪征期中] 关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 + m^2x = x + 5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为
-1
。答案
5.-1 一元二次方程$(m-1)x^2 + m^2x = x + 5$化为一般形式为$(m-1)x^2 + (m^2 -1)x -5 = 0$,$\therefore m-1≠ 0$且$m^2 -1 = 0$,解得$m=-1$.
6. [2025青海中考]若$x=1$是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个根，则$c$的值为
3
。答案
6.3 由题意,得$1^2 -4×1 + c=0$,解得$c=3$.
7. [2026南京钟英中学模拟]若$x=-1$是关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + 3 = 0(a≠0)$的一个根，则$2014 -4a +4b=$
2026
.答案
7.2026 由题意,得$a· (-1)^2 + b· (-1) + 3 = 0$,$\therefore a - b = -3$,$\therefore 2014 -4a +4b = 2014 -4(a - b) = 2014 -4×(-3) = 2014 +12 = 2026$.
8. [2026宿迁致远中学一模]若a是方程$x^2 + x -1 = 0$的一个根，则代数式$2025 + a^2 + \frac{1}{a^2}$的值是
2028
。答案
8.2028 由题意,得$a^2 + a -1 = 0$,即$a^2 = 1 - a$,$\therefore a≠ 1$,
$\therefore 2025 + a^2 + \frac{1}{a^2} = 2025 + (1 - a) + \frac{1}{1 - a} = 2025 + \frac{(1 - a)^2}{1 - a} + \frac{1}{1 - a} = 2025 + \frac{a^2 -2a + 2}{1 - a} = 2025 + \frac{(1 - a) -2a + 2}{1 - a} = 2025 + \frac{3(1 - a)}{1 - a} = 2025 + 3 = 2028$.
$\therefore 2025 + a^2 + \frac{1}{a^2} = 2025 + (1 - a) + \frac{1}{1 - a} = 2025 + \frac{(1 - a)^2}{1 - a} + \frac{1}{1 - a} = 2025 + \frac{a^2 -2a + 2}{1 - a} = 2025 + \frac{(1 - a) -2a + 2}{1 - a} = 2025 + \frac{3(1 - a)}{1 - a} = 2025 + 3 = 2028$.
9. 如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$满足$a - b + c = 0$，那么我们称这个方程为“凤凰方程”。
(1)判断一元二次方程$3x^2 -4x -7=0$是否为“凤凰方程”，说明理由；
(2)已知$2x^2 -mx +5=0$是关于$x$的“凤凰方程”，求$m$的值。
(1)判断一元二次方程$3x^2 -4x -7=0$是否为“凤凰方程”，说明理由；
(2)已知$2x^2 -mx +5=0$是关于$x$的“凤凰方程”，求$m$的值。
答案
9 解:由题意,知当一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$是“凤凰方程”时,有根为$x = -1$.
(1)一元二次方程$3x^2 -4x -7 = 0$是“凤凰方程”. 理由如下:
当$x = -1$时,$3x^2 -4x -7 = 3× (-1)^2 -4× (-1) -7 = 0$,满足“凤凰方程”的定义,
$\therefore$ 一元二次方程$3x^2 -4x -7 = 0$是“凤凰方程”.
(2)$\because 2x^2 -mx +5 = 0$是关于$x$的“凤凰方程”,
$\therefore 2x^2 -mx +5 = 0$有根为$x = -1$,
$\therefore 2× (-1)^2 - m· (-1) + 5 = 0$,
$\therefore 2 + m + 5 = 0$,解得$m = -7$.
(1)一元二次方程$3x^2 -4x -7 = 0$是“凤凰方程”. 理由如下:
当$x = -1$时,$3x^2 -4x -7 = 3× (-1)^2 -4× (-1) -7 = 0$,满足“凤凰方程”的定义,
$\therefore$ 一元二次方程$3x^2 -4x -7 = 0$是“凤凰方程”.
(2)$\because 2x^2 -mx +5 = 0$是关于$x$的“凤凰方程”,
$\therefore 2x^2 -mx +5 = 0$有根为$x = -1$,
$\therefore 2× (-1)^2 - m· (-1) + 5 = 0$,
$\therefore 2 + m + 5 = 0$,解得$m = -7$.
10. [2025 徐州新沂期中] 两个连续偶数的乘积为224，设较小的偶数为x，可列出的方程为
$x(x + 2) = 224$
.答案
10.$x(x + 2) = 224$ $\because$ 较小的偶数为$x$,$\therefore$ 较大的偶数为$x + 2$. 根据题意,得$x(x + 2) = 224$.
11.［2025泰州海陵区月考］某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班级之间赛一场），计划安排28场比赛，该校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般形式）：
$x^2 -x -56 = 0$
。答案
11.$x^2 -x -56 = 0$
12.［2026南京建邺区月考］如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30 m. 若养鸡场的面积为120 m²，设AB = x m，则列方程得
$x(32 - 2x) = 120$
.答案
12.$x(32 - 2x) = 120$ $\because$ 木栏长30 m,且$EF = 2$ m,$AB = x$ m,$\therefore BC = 30 + EF - 2AB = (32 - 2x)$ m,根据题意,得$x(32 - 2x) = 120$.
