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1. [2026 常州教科院附中模拟] 方程$x^2 -4 =0$的解是（
A.$x_1 = x_2 =2$
B.$x_1 = x_2 = \sqrt{2}$
C.$x_1 =2, x_2 = -2$
D.$x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}$
C
）A.$x_1 = x_2 =2$
B.$x_1 = x_2 = \sqrt{2}$
C.$x_1 =2, x_2 = -2$
D.$x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}$
答案
$\because x^2 -4 =0,\therefore x^2 =4$,则$x_1 =2,x_2 = -2.$
2. 关于$x$的方程$x^2 + m = 0$有实数根的条件是（
A.$m＞0$
B.$m≥0$
C.$m＜0$
D.$m≤0$
D
）A.$m＞0$
B.$m≥0$
C.$m＜0$
D.$m≤0$
答案
D
3. 一题多解 若2是关于x的方程$x^2 - c = 0$的一个根，则这个方程的另一个根是
-2
。答案
-2
通解 $\because 2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 - c = 0$ 的一个根，$\therefore 2^2 - c = 0,\therefore c = 4,\therefore x^2 -4 =0$,解得 $x_1 =2,x_2 = -2$,即这个方程的另一个根是 $-2$.
另解 由题意,知关于 $x$ 的方程 $x^2 - c = 0$ 有解, $\therefore x^2 = c$,$\therefore x_1 =\sqrt{c},x_2 = -\sqrt{c}.\because 2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 - c = 0$ 的一个根,$\therefore \sqrt{c}=2,\therefore x_2 = -\sqrt{c} = -2$,即这个方程的另一个根是 $-2$.
通解 $\because 2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 - c = 0$ 的一个根，$\therefore 2^2 - c = 0,\therefore c = 4,\therefore x^2 -4 =0$,解得 $x_1 =2,x_2 = -2$,即这个方程的另一个根是 $-2$.
另解 由题意,知关于 $x$ 的方程 $x^2 - c = 0$ 有解, $\therefore x^2 = c$,$\therefore x_1 =\sqrt{c},x_2 = -\sqrt{c}.\because 2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 - c = 0$ 的一个根,$\therefore \sqrt{c}=2,\therefore x_2 = -\sqrt{c} = -2$,即这个方程的另一个根是 $-2$.
4. 若代数式 $3x^2 -6$ 的值为24，则x的值为
$\pm\sqrt{10}$
。答案
$\pm\sqrt{10}$ 根据题意, 得 $3x^2 - 6 = 24, \therefore x^2 = 10$,$\therefore x = \pm \sqrt{10}.$ (开平方的结果有“正”“负”两种情况,勿漏掉负的根)
5. 解下列方程:
(1)$x^2 - 2.25 = 0$;
(2)$16x^2 = 9$;
(3)$3 - 4x^2 = 0$;
(4)$\frac{1}{3}x^2 - 8 = 0$.
(1)$x^2 - 2.25 = 0$;
(2)$16x^2 = 9$;
(3)$3 - 4x^2 = 0$;
(4)$\frac{1}{3}x^2 - 8 = 0$.
答案
解:(1)移项,得 $x^2 = 2.25$.
因为 $x$ 是 2.25 的平方根,所以 $x = \pm 1.5$,
即 $x_1 = 1.5,x_2 = -1.5$.
(2)方程两边都除以 16,得 $x^2 = \frac{9}{16}$.
因为 $x$ 是 $\frac{9}{16}$ 的平方根,所以 $x = \pm \frac{3}{4}$,
即 $x_1 = \frac{3}{4},x_2 = -\frac{3}{4}$.
(3)移项,得 $4x^2 = 3$.
方程两边都除以 4,得 $x^2 = \frac{3}{4}$.
因为 $x$ 是 $\frac{3}{4}$ 的平方根,所以 $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$,
即 $x_1 = \frac{\sqrt{3}}{2},x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(4)移项,得 $\frac{1}{3}x^2 = 8$.
方程两边都乘 3,得 $x^2 = 24$.
因为 $x$ 是 24 的平方根,所以 $x = \pm 2\sqrt{6}$,
即 $x_1 = 2\sqrt{6},x_2 = -2\sqrt{6}$.
因为 $x$ 是 2.25 的平方根,所以 $x = \pm 1.5$,
即 $x_1 = 1.5,x_2 = -1.5$.
(2)方程两边都除以 16,得 $x^2 = \frac{9}{16}$.
因为 $x$ 是 $\frac{9}{16}$ 的平方根,所以 $x = \pm \frac{3}{4}$,
即 $x_1 = \frac{3}{4},x_2 = -\frac{3}{4}$.
(3)移项,得 $4x^2 = 3$.
方程两边都除以 4,得 $x^2 = \frac{3}{4}$.
因为 $x$ 是 $\frac{3}{4}$ 的平方根,所以 $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$,
即 $x_1 = \frac{\sqrt{3}}{2},x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(4)移项,得 $\frac{1}{3}x^2 = 8$.
方程两边都乘 3,得 $x^2 = 24$.
因为 $x$ 是 24 的平方根,所以 $x = \pm 2\sqrt{6}$,
即 $x_1 = 2\sqrt{6},x_2 = -2\sqrt{6}$.
6. 一元二次方程$(x+6)^2=16$可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是$x+6=4$，则另一个一元一次方程是（
A.$x-6=-4$
B.$x-6=4$
C.$x+6=4$
D.$x+6=-4$
D
）A.$x-6=-4$
B.$x-6=4$
C.$x+6=4$
D.$x+6=-4$
答案
D
7. [2025南京联合体期中]若关于$x$的方程$(x-4)^2 = m+1$有实数根,则$m$的取值范围是 (
A.$m≥0$
B.$m≥-1$
C.$m＞-1$
D.$m＞1$
B
)A.$m≥0$
B.$m≥-1$
C.$m＞-1$
D.$m＞1$
答案
B $\because$ 关于 $x$ 的方程 $(x-4)^2 = m+1$ 有实数根, $\therefore m + 1≥ 0$,解得 $m≥ -1$.
8. 如图是一个计算程序，当输出值$y=25$时，输入值$x$为
-4或6
。答案
-4或6 由题意,得 $(x-1)^2 = 25$, 所以 $x-1 = \pm 5$. 当 $x-1=5$ 时,解得 $x=6$; 当 $x-1 = -5$ 时,解得 $x = -4$.
9. 教材练习变式 用直接开平方法解下列方程：
(1)$(2x + 1)^2 - 64 = 0$；
(2)$x^2 - 10x + 25 = 16$；
(3)$2(\frac{1}{3}x + 1)^2 = 50$；
(4)$\frac{1}{3}(3x - 1)^2 = 25$。
(1)$(2x + 1)^2 - 64 = 0$；
(2)$x^2 - 10x + 25 = 16$；
(3)$2(\frac{1}{3}x + 1)^2 = 50$；
(4)$\frac{1}{3}(3x - 1)^2 = 25$。
答案
解:(1)移项,得 $(2x + 1)^2 = 64$.
因为 $(2x + 1)$ 是 64 的平方根,所以 $2x + 1 = \pm 8$,
所以 $x_1 = \frac{7}{2},x_2 = -\frac{9}{2}$.
(2)整理,得 $(x - 5)^2 = 16$.
因为 $(x - 5)$ 是 16 的平方根,所以 $x - 5 = \pm 4$,
所以 $x_1 = 9,x_2 = 1$.
(3)方程两边都除以 2,得 $(\frac{1}{3}x + 1)^2 = 25$.
因为 $(\frac{1}{3}x + 1)$ 是 25 的平方根,所以 $\frac{1}{3}x + 1 = \pm 5$,
所以 $x_1 = 12,x_2 = -18$.
(4)方程两边都乘 3,得 $(3x - 1)^2 = 75$.
因为 $(3x - 1)$ 是 75 的平方根,
所以 $3x - 1 = \pm 5\sqrt{3}$,
所以 $x_1 = \frac{1 - 5\sqrt{3}}{3},x_2 = \frac{1 + 5\sqrt{3}}{3}$.
因为 $(2x + 1)$ 是 64 的平方根,所以 $2x + 1 = \pm 8$,
所以 $x_1 = \frac{7}{2},x_2 = -\frac{9}{2}$.
(2)整理,得 $(x - 5)^2 = 16$.
因为 $(x - 5)$ 是 16 的平方根,所以 $x - 5 = \pm 4$,
所以 $x_1 = 9,x_2 = 1$.
(3)方程两边都除以 2,得 $(\frac{1}{3}x + 1)^2 = 25$.
因为 $(\frac{1}{3}x + 1)$ 是 25 的平方根,所以 $\frac{1}{3}x + 1 = \pm 5$,
所以 $x_1 = 12,x_2 = -18$.
(4)方程两边都乘 3,得 $(3x - 1)^2 = 75$.
因为 $(3x - 1)$ 是 75 的平方根,
所以 $3x - 1 = \pm 5\sqrt{3}$,
所以 $x_1 = \frac{1 - 5\sqrt{3}}{3},x_2 = \frac{1 + 5\sqrt{3}}{3}$.
