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1 实数$-\sqrt{2}$的相反数是（
A.$-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
D.$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
B
）A.$-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
D.$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题的核心是掌握相反数的定义，首先回忆相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。要求一个实数的相反数，只需要在这个数的前面添加负号，再化简符号即可得到结果。
【解析】
根据相反数的定义，求$-\sqrt{2}$的相反数，就是计算$-(-\sqrt{2})$，根据负负得正的符号化简规则，可得$-(-\sqrt{2})=\sqrt{2}$，因此$-\sqrt{2}$的相反数是$\sqrt{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义；实数的基本概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握相反数的定义，就能快速得出正确答案，是实数相关概念中的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
解题的核心是掌握相反数的定义，首先回忆相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。要求一个实数的相反数，只需要在这个数的前面添加负号，再化简符号即可得到结果。
【解析】
根据相反数的定义，求$-\sqrt{2}$的相反数，就是计算$-(-\sqrt{2})$，根据负负得正的符号化简规则，可得$-(-\sqrt{2})=\sqrt{2}$，因此$-\sqrt{2}$的相反数是$\sqrt{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义；实数的基本概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握相反数的定义，就能快速得出正确答案，是实数相关概念中的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
2 [2025 西宁]下列四个实数中，最大的是 （
A.$-7$
B.$0$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\sqrt{30}$
D
）A.$-7$
B.$0$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\sqrt{30}$
答案
2.D
解析
【分析】
要找出四个实数中最大的数，可按照实数大小比较的基本思路逐步推导：第一步，先根据“正数＞0＞负数”的规则，排除负数和0，缩小比较范围；第二步，对剩余的正数，其中$\sqrt{30}$是无理数，可通过找与30相邻的两个完全平方数，估算$\sqrt{30}$的取值范围，再和另一个正数$\dfrac{1}{2}$比较大小，最终确定最大的数。
【解析】
根据实数大小比较的法则：正数大于0，0大于负数。
1. 先筛选正负：选项A的$-7$是负数，小于0；选项B的0小于所有正数，因此先排除A、B，只需比较C选项$\dfrac{1}{2}$和D选项$\sqrt{30}$的大小。
2. 估算$\sqrt{30}$的取值：因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜30＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$。
3. 比较大小：显然$\sqrt{30}＞5＞\dfrac{1}{2}$，因此四个数的大小关系为$-7＜0＜\dfrac{1}{2}＜\sqrt{30}$，最大的数是$\sqrt{30}$。
【答案】
D
【知识点】
实数大小比较、无理数估算
【点评】
本题属于基础题，考查实数大小比较的常用方法，解题时先利用正负性快速排除干扰项，再通过夹逼法估算无理数的范围即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要找出四个实数中最大的数，可按照实数大小比较的基本思路逐步推导：第一步，先根据“正数＞0＞负数”的规则，排除负数和0，缩小比较范围；第二步，对剩余的正数，其中$\sqrt{30}$是无理数，可通过找与30相邻的两个完全平方数，估算$\sqrt{30}$的取值范围，再和另一个正数$\dfrac{1}{2}$比较大小，最终确定最大的数。
【解析】
根据实数大小比较的法则：正数大于0，0大于负数。
1. 先筛选正负：选项A的$-7$是负数，小于0；选项B的0小于所有正数，因此先排除A、B，只需比较C选项$\dfrac{1}{2}$和D选项$\sqrt{30}$的大小。
2. 估算$\sqrt{30}$的取值：因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜30＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$。
3. 比较大小：显然$\sqrt{30}＞5＞\dfrac{1}{2}$，因此四个数的大小关系为$-7＜0＜\dfrac{1}{2}＜\sqrt{30}$，最大的数是$\sqrt{30}$。
【答案】
D
【知识点】
实数大小比较、无理数估算
【点评】
本题属于基础题，考查实数大小比较的常用方法，解题时先利用正负性快速排除干扰项，再通过夹逼法估算无理数的范围即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3 下列整数中，与$\sqrt{10}$最接近的是（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
3.A
解析
【分析】
要判断与$\sqrt{10}$最接近的整数，可按以下思路思考：第一步，先确定$\sqrt{10}$位于哪两个相邻整数之间，这需要我们回忆常见整数的平方值；第二步，通过比较被开方数10和这两个相邻整数平方的差值大小，差值越小，对应的算术平方根就越接近$\sqrt{10}$，即可得出结果。
【解析】
解：先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，
∴ $9＜10＜16$，
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
再计算被开方数的差值：$10-9=1$，$16-10=6$，
∵ $1＜6$，说明10更接近9，因此$\sqrt{10}$更接近$\sqrt{9}=3$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是实数部分的基础常考题，核心考查无理数的估算方法，解题关键是利用平方数确定无理数的取值范围，再通过差值比较判断接近程度，熟练掌握常见整数的平方能提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
要判断与$\sqrt{10}$最接近的整数，可按以下思路思考：第一步，先确定$\sqrt{10}$位于哪两个相邻整数之间，这需要我们回忆常见整数的平方值；第二步，通过比较被开方数10和这两个相邻整数平方的差值大小，差值越小，对应的算术平方根就越接近$\sqrt{10}$，即可得出结果。
【解析】
解：先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，
∴ $9＜10＜16$，
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
再计算被开方数的差值：$10-9=1$，$16-10=6$，
∵ $1＜6$，说明10更接近9，因此$\sqrt{10}$更接近$\sqrt{9}=3$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是实数部分的基础常考题，核心考查无理数的估算方法，解题关键是利用平方数确定无理数的取值范围，再通过差值比较判断接近程度，熟练掌握常见整数的平方能提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
4 借助计算器比较大小：$\sqrt{6}$
＞
$\frac{1}{\sqrt{2}}$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
4.＞
解析
【分析】要比较两个含二次根式的实数的大小，题目明确要求借助计算器，所以我们可以分两步思考：第一步，利用计算器分别计算出$\sqrt{6}$和$\frac{1}{\sqrt{2}}$的近似值；第二步，比较两个近似值的大小，即可得出两个数的大小关系。
【解析】借助计算器计算可得：
$\sqrt{6}\approx2.449$，
$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx1÷1.414\approx0.707$，
因为$2.449＞0.707$，所以$\sqrt{6}＞\frac{1}{\sqrt{2}}$。
【答案】＞
【知识点】计算器求算术平方根；实数大小比较
【点评】本题考查借助计算器完成实数的运算与大小比较，属于基础题型，掌握计算器计算算术平方根的操作方法即可顺利求解。
【难度系数】0.9
【解析】借助计算器计算可得：
$\sqrt{6}\approx2.449$，
$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$\frac{1}{\sqrt{2}}\approx1÷1.414\approx0.707$，
因为$2.449＞0.707$，所以$\sqrt{6}＞\frac{1}{\sqrt{2}}$。
【答案】＞
【知识点】计算器求算术平方根；实数大小比较
【点评】本题考查借助计算器完成实数的运算与大小比较，属于基础题型，掌握计算器计算算术平方根的操作方法即可顺利求解。
【难度系数】0.9
5 用计算器计算：$\sqrt{25.7} \approx$
5.1
（精确到0.1）。答案
5.5.1
解析
【分析】
本题需要结合计算器操作和近似数取舍规则解题，思路如下：首先回忆计算器计算算术平方根的操作步骤，先按开平方键再输入被开方数得到近似结果；再根据“精确到0.1”的要求，观察结果百分位的数字，用四舍五入法保留一位小数即可。
【解析】
1. 计算器操作：先按下算术平方根按键“√”，再输入被开方数25.7，按下等号键，得到$\sqrt{25.7}\approx5.0695$；
2. 取近似值：精确到0.1即保留1位小数，观察百分位数字为6，满足四舍五入的进位条件，向十分位进1，十分位0+1=1，因此最终结果为5.1。
【答案】
5.1
【知识点】
计算器开平方运算；近似数的精确度
【点评】
本题为基础运算类题目，主要考查计算器的基础操作和近似数的取舍规则，熟练掌握开平方的按键操作和四舍五入取近似值的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
本题需要结合计算器操作和近似数取舍规则解题，思路如下：首先回忆计算器计算算术平方根的操作步骤，先按开平方键再输入被开方数得到近似结果；再根据“精确到0.1”的要求，观察结果百分位的数字，用四舍五入法保留一位小数即可。
【解析】
1. 计算器操作：先按下算术平方根按键“√”，再输入被开方数25.7，按下等号键，得到$\sqrt{25.7}\approx5.0695$；
2. 取近似值：精确到0.1即保留1位小数，观察百分位数字为6，满足四舍五入的进位条件，向十分位进1，十分位0+1=1，因此最终结果为5.1。
【答案】
5.1
【知识点】
计算器开平方运算；近似数的精确度
【点评】
本题为基础运算类题目，主要考查计算器的基础操作和近似数的取舍规则，熟练掌握开平方的按键操作和四舍五入取近似值的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
6 比较下面各组数的大小，并用计算器验证：
(1) $5×\sqrt{3}$与$3×\sqrt{5}$；
(2) $\frac{\sqrt{11}-1}{2}$与1。
(1) $5×\sqrt{3}$与$3×\sqrt{5}$；
(2) $\frac{\sqrt{11}-1}{2}$与1。
答案
(1) $5×\sqrt{3}＞3×\sqrt{5}$ 验证略
(2) $\frac{\sqrt{11}-1}{2}＞1$ 验证略
(2) $\frac{\sqrt{11}-1}{2}＞1$ 验证略
解析
【分析】
比较带二次根式的实数大小，可根据数的特征选择合适方法：(1)两个数均为正的二次根式乘积形式，可利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过比较平方后的大小判断原数大小；(2)要比较分数与1的大小，可通过作差法，转化为判断差的正负，结合无理数的估算即可得到结论。
【解析】
(1) 先计算两个正数的平方：
$(5\sqrt{3})^2=5^2×(\sqrt{3})^2=25×3=75$，
$(3\sqrt{5})^2=3^2×(\sqrt{5})^2=9×5=45$，
∵ $75＞45$，且$5\sqrt{3}＞0$，$3\sqrt{5}＞0$，
∴ $5\sqrt{3}＞3\sqrt{5}$，可通过计算器计算两数近似值验证。
(2) 用作差法比较大小：
$\frac{\sqrt{11}-1}{2}-1=\frac{\sqrt{11}-1-2}{2}=\frac{\sqrt{11}-3}{2}$，
∵ $11＞9$，
∴ $\sqrt{11}＞\sqrt{9}=3$，即$\sqrt{11}-3＞0$，
∴ $\frac{\sqrt{11}-3}{2}＞0$，也就是$\frac{\sqrt{11}-1}{2}-1＞0$，
∴ $\frac{\sqrt{11}-1}{2}＞1$，可通过计算器计算近似值验证。
【答案】
(1) $5×\sqrt{3}＞3×\sqrt{5}$，验证略
(2) $\frac{\sqrt{11}-1}{2}＞1$，验证略
【知识点】
实数大小比较、二次根式运算、无理数估算
【点评】
本题考查实数大小比较的常用技巧，平方法适合比较两个正的带二次根式的数的大小，作差法是比较数的大小的通用方法，掌握这类方法可避免复杂计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.75
比较带二次根式的实数大小，可根据数的特征选择合适方法：(1)两个数均为正的二次根式乘积形式，可利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过比较平方后的大小判断原数大小；(2)要比较分数与1的大小，可通过作差法，转化为判断差的正负，结合无理数的估算即可得到结论。
【解析】
(1) 先计算两个正数的平方：
$(5\sqrt{3})^2=5^2×(\sqrt{3})^2=25×3=75$，
$(3\sqrt{5})^2=3^2×(\sqrt{5})^2=9×5=45$，
∵ $75＞45$，且$5\sqrt{3}＞0$，$3\sqrt{5}＞0$，
∴ $5\sqrt{3}＞3\sqrt{5}$，可通过计算器计算两数近似值验证。
(2) 用作差法比较大小：
$\frac{\sqrt{11}-1}{2}-1=\frac{\sqrt{11}-1-2}{2}=\frac{\sqrt{11}-3}{2}$，
∵ $11＞9$，
∴ $\sqrt{11}＞\sqrt{9}=3$，即$\sqrt{11}-3＞0$，
∴ $\frac{\sqrt{11}-3}{2}＞0$，也就是$\frac{\sqrt{11}-1}{2}-1＞0$，
∴ $\frac{\sqrt{11}-1}{2}＞1$，可通过计算器计算近似值验证。
【答案】
(1) $5×\sqrt{3}＞3×\sqrt{5}$，验证略
(2) $\frac{\sqrt{11}-1}{2}＞1$，验证略
【知识点】
实数大小比较、二次根式运算、无理数估算
【点评】
本题考查实数大小比较的常用技巧，平方法适合比较两个正的带二次根式的数的大小，作差法是比较数的大小的通用方法，掌握这类方法可避免复杂计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.75
7 教材 P75 例4变式 用计算器计算：
(1) $\sqrt{3}+\frac{3}{7}-π$；
(2) $4×\sqrt{6}-\frac{1}{3}×5×\sqrt[3]{7}$。
(1) $\sqrt{3}+\frac{3}{7}-π$；
(2) $4×\sqrt{6}-\frac{1}{3}×5×\sqrt[3]{7}$。
答案
(1) －0.980 970 417
(2) 6.609 740 333
(2) 6.609 740 333
解析
【分析】
这两道题是实数的混合运算，运算顺序与有理数混合运算顺序一致：先算开方运算，再算乘除运算，最后算加减运算。解题时我们可以先借助计算器分别算出各无理数的近似值，再按照运算顺序逐步计算，也可以直接将算式按正确顺序输入计算器得出结果，输入时要注意平方根、立方根、π、分数等功能键的正确使用，避免输入错误。
【解析】
(1) 先借助计算器分别计算各项的近似值：
$\sqrt{3}\approx1.732050808$，$\frac{3}{7}\approx0.428571429$，$π\approx3.141592654$
代入原式计算：
$\sqrt{3}+\frac{3}{7}-π\approx1.732050808 + 0.428571429 - 3.141592654 = -0.980970417$
(2) 先借助计算器分别计算开方的近似值：
$\sqrt{6}\approx2.449489743$，$\sqrt[3]{7}\approx1.912931183$
再按运算顺序先算乘法，再算减法：
$4×\sqrt{6}\approx4×2.449489743=9.797958972$
$\frac{1}{3}×5×\sqrt[3]{7}\approx\frac{5}{3}×1.912931183\approx3.188218639$
因此$4×\sqrt{6}-\frac{1}{3}×5×\sqrt[3]{7}\approx9.797958972 - 3.188218639 = 6.609740333$
【答案】
(1) －0.980 970 417
(2) 6.609 740 333
【知识点】
实数混合运算，计算器的使用，开方运算
【点评】
本题考查用计算器完成实数的混合运算，核心是熟练掌握实数运算顺序和计算器常用功能键的操作方法，计算时注意保证输入的算式正确，即可顺利得到结果。
【难度系数】
0.9
这两道题是实数的混合运算，运算顺序与有理数混合运算顺序一致：先算开方运算，再算乘除运算，最后算加减运算。解题时我们可以先借助计算器分别算出各无理数的近似值，再按照运算顺序逐步计算，也可以直接将算式按正确顺序输入计算器得出结果，输入时要注意平方根、立方根、π、分数等功能键的正确使用，避免输入错误。
【解析】
(1) 先借助计算器分别计算各项的近似值：
$\sqrt{3}\approx1.732050808$，$\frac{3}{7}\approx0.428571429$，$π\approx3.141592654$
代入原式计算：
$\sqrt{3}+\frac{3}{7}-π\approx1.732050808 + 0.428571429 - 3.141592654 = -0.980970417$
(2) 先借助计算器分别计算开方的近似值：
$\sqrt{6}\approx2.449489743$，$\sqrt[3]{7}\approx1.912931183$
再按运算顺序先算乘法，再算减法：
$4×\sqrt{6}\approx4×2.449489743=9.797958972$
$\frac{1}{3}×5×\sqrt[3]{7}\approx\frac{5}{3}×1.912931183\approx3.188218639$
因此$4×\sqrt{6}-\frac{1}{3}×5×\sqrt[3]{7}\approx9.797958972 - 3.188218639 = 6.609740333$
【答案】
(1) －0.980 970 417
(2) 6.609 740 333
【知识点】
实数混合运算，计算器的使用，开方运算
【点评】
本题考查用计算器完成实数的混合运算，核心是熟练掌握实数运算顺序和计算器常用功能键的操作方法，计算时注意保证输入的算式正确，即可顺利得到结果。
【难度系数】
0.9
8 爱探究思考的小亮,利用计算器计算得到如下数据:$\sqrt{0.0324}=0.18$;$\sqrt{0.324}\approx0.569$;$\sqrt{3.24}=1.8$;$\sqrt{32.4}\approx5.69$;$\sqrt{324}=18$;$\sqrt{3240}\approx56.9$;$\sqrt{32400}=180$;$···$.
(1) 通过观察,可以发现当被开方数扩大为原来的 100 倍时,它的算术平方根扩大为原来的
(2) 已知$\sqrt{2.06}\approx1.435$,求以下各数的算术平方根:$\sqrt{0.0206}\approx$
(3) 根据上述探究过程类比研究一个数的立方根.已知$\sqrt[3]{2}\approx1.260$,则$\sqrt[3]{2000}\approx$
(1) 通过观察,可以发现当被开方数扩大为原来的 100 倍时,它的算术平方根扩大为原来的
10
倍.(2) 已知$\sqrt{2.06}\approx1.435$,求以下各数的算术平方根:$\sqrt{0.0206}\approx$
0.143 5
;$\sqrt{206}\approx$ 14.35
.(3) 根据上述探究过程类比研究一个数的立方根.已知$\sqrt[3]{2}\approx1.260$,则$\sqrt[3]{2000}\approx$
12. 60
.答案
(1) 10
(2) 0.143 5 14.35
(3) 12. 60
(2) 0.143 5 14.35
(3) 12. 60
解析
【分析】
解题时首先从题干给出的多组算术平方根计算结果中，总结被开方数的小数点移动位数与算术平方根小数点移动位数的对应规律，先解答第(1)问；再将总结出的算术平方根变化规律直接应用到第(2)问的计算中；最后类比算术平方根的规律，推导立方根的对应变化规律，代入已知条件解答第(3)问即可。
【解析】
(1) 观察给出的算式：例如$\sqrt{0.0324}=0.18$，$\sqrt{3.24}=1.8$，被开方数从0.0324到3.24扩大为原来的100倍，对应的算术平方根从0.18到1.8扩大为原来的10倍，其余算式也符合该规律，因此当被开方数扩大为原来的100倍时，它的算术平方根扩大为原来的10倍。
(2) 根据上述规律：被开方数缩小为原来的$\frac{1}{100}$，算术平方根缩小为原来的$\frac{1}{10}$；被开方数扩大为原来的100倍，算术平方根扩大为原来的10倍。
① 0.0206是将2.06缩小为原来的$\frac{1}{100}$，因此$\sqrt{0.0206}\approx1.435÷10=0.1435$；
② 206是将2.06扩大为原来的100倍，因此$\sqrt{206}\approx1.435×10=14.35$。
(3) 类比算术平方根的变化规律，可得立方根的变化规律：被开方数扩大为原来的1000倍时，立方根扩大为原来的10倍。2000是将2扩大为原来的1000倍，因此$\sqrt[3]{2000}\approx1.260×10=12.60$。
【答案】
(1) 10
(2) 0.1435；14.35
(3) 12.60
【知识点】
算术平方根的变化规律；立方根的变化规律；类比探究应用
【点评】
本题侧重考查学生的规律探究与迁移应用能力，需要通过观察给定算式总结开平方运算的小数点移动规律，再将规律类比迁移到开立方运算中，是根式运算中非常典型的规律类应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题干给出的多组算术平方根计算结果中，总结被开方数的小数点移动位数与算术平方根小数点移动位数的对应规律，先解答第(1)问；再将总结出的算术平方根变化规律直接应用到第(2)问的计算中；最后类比算术平方根的规律，推导立方根的对应变化规律，代入已知条件解答第(3)问即可。
【解析】
(1) 观察给出的算式：例如$\sqrt{0.0324}=0.18$，$\sqrt{3.24}=1.8$，被开方数从0.0324到3.24扩大为原来的100倍，对应的算术平方根从0.18到1.8扩大为原来的10倍，其余算式也符合该规律，因此当被开方数扩大为原来的100倍时，它的算术平方根扩大为原来的10倍。
(2) 根据上述规律：被开方数缩小为原来的$\frac{1}{100}$，算术平方根缩小为原来的$\frac{1}{10}$；被开方数扩大为原来的100倍，算术平方根扩大为原来的10倍。
① 0.0206是将2.06缩小为原来的$\frac{1}{100}$，因此$\sqrt{0.0206}\approx1.435÷10=0.1435$；
② 206是将2.06扩大为原来的100倍，因此$\sqrt{206}\approx1.435×10=14.35$。
(3) 类比算术平方根的变化规律，可得立方根的变化规律：被开方数扩大为原来的1000倍时，立方根扩大为原来的10倍。2000是将2扩大为原来的1000倍，因此$\sqrt[3]{2000}\approx1.260×10=12.60$。
【答案】
(1) 10
(2) 0.1435；14.35
(3) 12.60
【知识点】
算术平方根的变化规律；立方根的变化规律；类比探究应用
【点评】
本题侧重考查学生的规律探究与迁移应用能力，需要通过观察给定算式总结开平方运算的小数点移动规律，再将规律类比迁移到开立方运算中，是根式运算中非常典型的规律类应用题。
【难度系数】
0.7
