15 深圳华强北某电子商城中的一家商店销售 A 型和 B 型两种型号的电脑,已知销售一台 A 型电脑可获利 120 元,销售一台 B 型电脑可获利 140 元.该商店计划一次购进这两种型号的电脑共100 台,其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑进货量的3倍.设购进 A 型电脑x台,这100 台电脑的销售总利润为 y 元.
(1)求 y 关于 x 的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围.
(2)该商店购进 A 型电脑、B 型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?最大总利润是多少?

解:(1)由题意,得销售 A 型电脑的利润为 120x 元,购进 B 型电脑(100 - x)台,
销售 B 型电脑的利润为 140(100 - x)元,
∴ 这 100 台电脑的销售总利润 $y = 120x + 140(100 - x) = - 20x + 14\ 000$,
∴ y 关于 x 的函数关系式为 $y = - 20x + 14\ 000$.
∵ B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑进货量的 3 倍,
∴ $100 - x ≤ 3x$,
解得 $x ≥ 25$,
∴ 自变量 x 的取值范围为 $25 ≤ x ＜ 100$,且 x 为正整数,
∴ $y = - 20x + 14\ 000 (25 ≤ x ＜ 100$,且 x 为正整数).
(2)
∵ $y = - 20x + 14\ 000$,且 $- 20 ＜ 0$,
∴ y 随 x 的增大而减小.
又
∵ $25 ≤ x ＜ 100$,且 x 为正整数,
∴ 当 $x = 25$ 时,y 有最大值,最大值是 $- 20 × 25 + 14\ 000 = 13\ 500$,此时 $100 - x = 100 - 25 = 75$,
∴ 该商店购进 A 型电脑 25 台,B 型电脑 75 台,才能使销售总利润最大,最大总利润是 13 500 元.

16 暑假期间,某健身俱乐部面向学生推出暑假优惠活动,方案如下:
方案一:购买一张学生暑假专享卡,每次健身费用按六折收费;
方案二:不购买学生暑假专享卡,每次健身费用按八折收费.
假如某学生暑假健身x次,按照方案一所需费用为$y_1$元,且$y_1 = k_1x + b$;按照方案二所需费用为$y_2$元,且$y_2 = k_2x$. $y_1$与$y_2$的函数图象如图所示.
(1)求$k_1$和$b$的值,并说明它们的实际意义.
(2)求打折前的每次健身费用和$k_2$的值.
(3)八年级学生小华计划暑假前往该俱乐部健身8次,他选择哪种方案所需费用较少?请说明理由.

解:(1)
∵ 一次函数 $y_1 = k_1x + b$ 的图象过点(0,30)和点(10,180),
∴ $\begin{cases} 30 = b, \\ 180 = 10k_1 + b, \end{cases}$
∴ $\begin{cases} k_1 = 15, \\ b = 30. \end{cases}$
$k_1$ 的实际意义是购买一张学生暑假专享卡后每次健身费用为 15 元.
$b$ 的实际意义是购买一张学生暑假专享卡的费用为 30 元.
(2)打折前的每次健身费用为 $15 ÷ 0.6 = 25$(元).
$k_2 = 25 × 0.8 = 20$.
(3)选择方案一所需要费用较少.
理由:
∵ $k_1 = 15,b = 30,∴ y_1 = 15x + 30$.
∵ $k_2 = 20,∴ y_2 = 20x$.
当 $y_1 = y_2$ 时,$15x + 30 = 20x$,
解得 $x = 6$.
结合函数图象可知,小华暑假前往该俱乐部健身 8 次,他选择方案一所需费用较少.