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1. (2024·云南)如图,CD是$\odot O$的直径,点A、B在$\odot O$上.若$\widehat {AC}=\widehat {BC},∠AOC=36^{\circ }$,则$∠D$的度数为 (
A.$9^{\circ }$
B.$18^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$45^{\circ }$
B
)A.$9^{\circ }$
B.$18^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$45^{\circ }$
答案
1. B
解析
解：
∵$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，$\angle AOC=36°$，
∴$\angle BOC=\angle AOC=36°$，
∴$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC=72°$，
∵$\angle ADB=\frac{1}{2}\angle AOB$，
∴$\angle ADB=36°$，
∵CD是$\odot O$的直径，
∴$\angle CAD=90°$，
∵OA=OD，
∴$\angle OAD=\angle D$，
∵$\angle OAC+\angle CAD=\angle OAD$，
$\angle OAC=\frac{180°-\angle AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∴$\angle OAD=72°+90°=162°$，
∵$\angle OAD+\angle D+\angle AOD=180°$，
$\angle AOD=180°-\angle AOC=144°$，
∴$162°+\angle D+144°=180°$，
解得$\angle D=18°$。
B
∵$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，$\angle AOC=36°$，
∴$\angle BOC=\angle AOC=36°$，
∴$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC=72°$，
∵$\angle ADB=\frac{1}{2}\angle AOB$，
∴$\angle ADB=36°$，
∵CD是$\odot O$的直径，
∴$\angle CAD=90°$，
∵OA=OD，
∴$\angle OAD=\angle D$，
∵$\angle OAC+\angle CAD=\angle OAD$，
$\angle OAC=\frac{180°-\angle AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∴$\angle OAD=72°+90°=162°$，
∵$\angle OAD+\angle D+\angle AOD=180°$，
$\angle AOD=180°-\angle AOC=144°$，
∴$162°+\angle D+144°=180°$，
解得$\angle D=18°$。
B
2. 如图,点O为$\widehat {ACB}$所在圆的圆心,$∠AOC=108^{\circ }$,点D在AB的延长线上,$BD=BC$,则$∠D$的度数为 (
A.$27^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$33^{\circ }$
D.$54^{\circ }$
A
)A.$27^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$33^{\circ }$
D.$54^{\circ }$
答案
2. A
解析
解：
∵∠AOC=108°，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=54°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠D（等边对等角）。
∵∠ABC=∠BCD+∠D=2∠D，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠ABC=27°。
答案：A
∵∠AOC=108°，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=54°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠D（等边对等角）。
∵∠ABC=∠BCD+∠D=2∠D，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠ABC=27°。
答案：A
3. (2024·湖南)如图,AB、AC为$\odot O$的两条弦,连接OB、OC.若$∠A=45^{\circ }$,则$∠BOC$的度数为
$90^{\circ}$
.答案
3. $90^{\circ}$
解析
解：
∵∠A是$\odot O$的圆周角，∠BOC是$\odot O$的圆心角，且∠A与∠BOC所对的弧均为$\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BOC=2∠A。
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2×45°=90°。
故答案为$90^{\circ}$。
∵∠A是$\odot O$的圆周角，∠BOC是$\odot O$的圆心角，且∠A与∠BOC所对的弧均为$\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BOC=2∠A。
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2×45°=90°。
故答案为$90^{\circ}$。
4. (2024·重庆B卷改编)如图,AB是$\odot O$的弦,$OC⊥AB$交$\odot O$于点C,D是$\odot O$上一点,连接BD、CD.若$∠D=28^{\circ }$,则$∠OAB$的度数为
$34^{\circ}$
.答案
4. $34^{\circ}$
5. (2024·哈尔滨)如图,在$\odot O$中,弦AB、CD相交于点E,$AE=CE$,连接AC、BD.
(1) 求证:$AC// BD;$
(2) 连接EO并延长,交BD于点F,求证:$∠BEF=∠DEF.$
(1) 求证:$AC// BD;$
(2) 连接EO并延长,交BD于点F,求证:$∠BEF=∠DEF.$
答案
5. (1) $ \because AE = CE $，$ \therefore \angle A = \angle C $。$ \because \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AD} $，$ \therefore \angle C = \angle EBD $，$ \therefore \angle A = \angle EBD $，$ \therefore AC // BD $ (2) 连接 $ OD $、$ OB $。$ \because \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BC} $，$ \therefore \angle EDB = \angle A $。由(1)知，$ \angle EBD = \angle C $，$ \angle A = \angle C $，$ \therefore \angle EDB = \angle EBD $，$ \therefore EB = ED $。$ \because OE = OE $，$ OB = OD $，$ \therefore \triangle BOE \cong \triangle DOE $，$ \therefore \angle BEF = \angle DEF $
6. (2024·海南)如图,AD是半圆O的直径,点B、C在半圆上,且$\widehat {AB}=\widehat {BC}=\widehat {CD}$,点P在$\widehat {CD}$上.若$∠PCB=130^{\circ }$,则$∠PBA$的度数为 (
A.$105^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$70^{\circ }$
B
)A.$105^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$70^{\circ }$
答案
6. B
解析
解：连接AC、BD。
∵AD是半圆O的直径，$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴$\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=60°$。
∵OA=OB=OC=OD，
∴△AOB、△BOC、△COD均为等边三角形，
∴AB=BC=CD=OA=OC，$\angle ABC=60°$。
∵四边形ABCP内接于半圆O，
∴$\angle PAB+\angle PCB=180°$。
∵$\angle PCB=130°$，
∴$\angle PAB=50°$。
∵AB=BC，
∴$\angle BAC=\angle BCA=60°$，
∴$\angle PAC=\angle BAC-\angle PAB=10°$。
∵$\angle PBA$与$\angle PCA$所对弧均为$\widehat{PA}$，
∴$\angle PBA=\angle PCA$。
∵$\angle BCA=60°$，$\angle PCB=130°$，
∴$\angle PCA=\angle PCB-\angle BCA=70°$，
∴$\angle PBA=70°$。
答案：D
∵AD是半圆O的直径，$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴$\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=60°$。
∵OA=OB=OC=OD，
∴△AOB、△BOC、△COD均为等边三角形，
∴AB=BC=CD=OA=OC，$\angle ABC=60°$。
∵四边形ABCP内接于半圆O，
∴$\angle PAB+\angle PCB=180°$。
∵$\angle PCB=130°$，
∴$\angle PAB=50°$。
∵AB=BC，
∴$\angle BAC=\angle BCA=60°$，
∴$\angle PAC=\angle BAC-\angle PAB=10°$。
∵$\angle PBA$与$\angle PCA$所对弧均为$\widehat{PA}$，
∴$\angle PBA=\angle PCA$。
∵$\angle BCA=60°$，$\angle PCB=130°$，
∴$\angle PCA=\angle PCB-\angle BCA=70°$，
∴$\angle PBA=70°$。
答案：D
