14. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的部分图象如图所示,根据图象解答下列问题：
(1)方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根为______；
(2)不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集为______；
(3)若方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个不相等的实数根,直接写出$k$的取值范围______．

(1) $x_{1}=1,x_{2}=3$
(2) $1＜x＜3$
(3) $k＜2$

15. (2024兰州中考改)图1是某型号水火箭的实物图,水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能,同学们进一步展开研究,按如图2建立直角坐标系,水火箭发射后落在水平地面$A$处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时,从发射到着陆过程中,水火箭距离地面$OA的竖直高度y(\text{m})与离发射点O的水平距离x(\text{m})$的几组关系数据如下：

(1)请根据表格数据,确定抛物线的解析式；
(2)当水火箭飞行至离发射点$O的水平距离为5\ \text{m}$时,求水火箭距离地面的竖直高度．

解: (1) 由题意可得, 抛物线的对称轴是 $x=\frac{10+20}{2}=15$,
∴ 抛物线的顶点为 $(15,9)$,
∴ 可设抛物线为 $y=a(x-15)^{2}+9$, 把 $(10,8)$ 代入, 可得 $25a=-1$.
∴ $a=-\frac{1}{25}$,
∴ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{25}(x-15)^{2}+9$;
(2) 当 $x=5$ 时,
$y=-\frac{1}{25}(5-15)^{2}+9=5$.
∴ 水火箭距离地面的竖直高度为 5 m.

16. 商店出售某品牌护眼灯,每台进价为$40$元,在销售过程中发现,月销量$y$(台)与销售单价$x$(元)之间满足一次函数关系,规定销售单价不低于进价,且不高于进价的$2$倍,其部分对应数据如下表所示：

(1)求$y与x$之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？

解: (1) 设 $y=kx+b$,
则 $\left\{\begin{array}{l}90=50k+b,\\80=60k+b,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-1,\\b=140,\end{array}\right.$
∴ $y=-x+140$;
(2) 设每月出售这种护眼灯所获的利润为 $w$ 元,
则 $w=(x-40)y$
$=(x-40)(-x+140)$
$=-(x-90)^{2}+2500$.
∵ $a=-1＜0$,
对称轴为直线 $x=90$,
∴ 当 $x\leqslant90$ 时,
$w$ 随 $x$ 的增大而增大.
∵ 规定销售单价不低于进价, 且不高于进价的 2 倍,
∴ $40\leqslant x\leqslant80$, ∴ 当 $x=80$ 时, $w$ 取得最大值 2400,
∴ 当护眼灯销售单价定为 80 元时, 商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大, 最大月利润为 2400 元.