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【例1】如图26－1，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于点$(x_1,0),(2,0)$，其中$0＜x_1＜1$.下列四个结论：①$abc＜0$；②$a+b+c＞0$；③$2b+3c＜0$；④不等式$ax^2+bx+c＜-\frac{c}{2}x+c$的解集为$0＜x＜2$.
其中正确结论的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析：∵抛物线开口向上，与$y$轴交于正半轴，∴$a＞0,c＞0$.
又∵抛物线的对称轴在$y$轴右侧，∴$b＜0$.
∴$abc＜0$，故①正确.
∵当$x=1$时，$y＜0$，∴$a+b+c＜0$，故②错误.
∵抛物线过点$(2,0)$，∴$4a+2b+c=0$，
∴$b=-2a-\frac{c}{2},a=-\frac{1}{2}b-\frac{1}{4}c$.
∵$a+b+c＜0$，
∴$a-2a-\frac{c}{2}+c＜0$，
∴$2a-c＞0$，
∴$-b-\frac{1}{2}c -c＞0$，
∴$2b+3c＜0$，故③正确.
设$y_1=ax^2+bx+c,y_2=-\frac{c}{2}x+c$，如图26－2，
由图知，当$y_1＜y_2$时，$0＜x＜2$，故④正确.
答案:C
其中正确结论的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析：∵抛物线开口向上，与$y$轴交于正半轴，∴$a＞0,c＞0$.
又∵抛物线的对称轴在$y$轴右侧，∴$b＜0$.
∴$abc＜0$，故①正确.
∵当$x=1$时，$y＜0$，∴$a+b+c＜0$，故②错误.
∵抛物线过点$(2,0)$，∴$4a+2b+c=0$，
∴$b=-2a-\frac{c}{2},a=-\frac{1}{2}b-\frac{1}{4}c$.
∵$a+b+c＜0$，
∴$a-2a-\frac{c}{2}+c＜0$，
∴$2a-c＞0$，
∴$-b-\frac{1}{2}c -c＞0$，
∴$2b+3c＜0$，故③正确.
设$y_1=ax^2+bx+c,y_2=-\frac{c}{2}x+c$，如图26－2，
由图知，当$y_1＜y_2$时，$0＜x＜2$，故④正确.
答案:C
答案
C
解析
【分析】
解题时先从二次函数的图像特征入手，先判断a、b、c的符号，再结合特殊点的函数值、二次函数与方程/不等式的关系逐个验证结论：1. 由开口方向、与y轴交点、对称轴位置判断a、b、c符号，验证结论①；2. 代入x=1，根据对应函数值的正负验证结论②；3. 利用抛物线过(2,0)得到a、b、c的等量关系，结合x=1时的函数值不等式变形推导，验证结论③；4. 将不等式转化为两个函数值大小比较问题，通过求两个函数的交点结合图像判断解集，验证结论④。
【解析】
1. 判断结论①：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
∵抛物线对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
∴$abc＜0$，结论①正确。
2. 判断结论②：
由图像可知，当$x=1$时，对应的抛物线上的点在x轴下方，即函数值$y＜0$，
代入得$y=a+b+c＜0$，故结论②错误。
3. 判断结论③：
∵抛物线过点$(2,0)$，代入解析式得$4a+2b+c=0$，整理得$a=\frac{-2b-c}{4}$；
将$a=\frac{-2b-c}{4}$代入$a+b+c＜0$：
$\frac{-2b-c}{4}+b+c＜0$，
两边同乘4得：$-2b -c +4b +4c ＜0$，
合并同类项得$2b+3c＜0$，结论③正确。
4. 判断结论④：
设$y_1=ax^2+bx+c$，$y_2=-\frac{c}{2}x+c$，不等式$ax^2+bx+c＜-\frac{c}{2}x+c$的解集即$y_1＜y_2$时x的取值范围；
令$y_1=y_2$，得$ax^2+bx+c=-\frac{c}{2}x+c$，
整理得$ax^2+(b+\frac{c}{2})x=0$，即$x(ax + b + \frac{c}{2})=0$，
解得$x=0$或$x=-\frac{b+\frac{c}{2}}{a}$；
由$4a+2b+c=0$，两边同除以2得$2a + b + \frac{c}{2}=0$，即$b+\frac{c}{2}=-2a$，代入得另一个根为$x=-\frac{-2a}{a}=2$，
即两函数交于$(0,c)$和$(2,0)$两点，结合图像可知，当$0＜x＜2$时，抛物线在直线下方，即$y_1＜y_2$，故结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与性质，二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数综合类题目，需要熟练掌握二次函数系数与图像的对应关系，同时结合特殊点代入、数形结合的方法分析问题，对逻辑推导和图像应用能力有一定要求，是二次函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.6
解题时先从二次函数的图像特征入手，先判断a、b、c的符号，再结合特殊点的函数值、二次函数与方程/不等式的关系逐个验证结论：1. 由开口方向、与y轴交点、对称轴位置判断a、b、c符号，验证结论①；2. 代入x=1，根据对应函数值的正负验证结论②；3. 利用抛物线过(2,0)得到a、b、c的等量关系，结合x=1时的函数值不等式变形推导，验证结论③；4. 将不等式转化为两个函数值大小比较问题，通过求两个函数的交点结合图像判断解集，验证结论④。
【解析】
1. 判断结论①：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
∵抛物线对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
∴$abc＜0$，结论①正确。
2. 判断结论②：
由图像可知，当$x=1$时，对应的抛物线上的点在x轴下方，即函数值$y＜0$，
代入得$y=a+b+c＜0$，故结论②错误。
3. 判断结论③：
∵抛物线过点$(2,0)$，代入解析式得$4a+2b+c=0$，整理得$a=\frac{-2b-c}{4}$；
将$a=\frac{-2b-c}{4}$代入$a+b+c＜0$：
$\frac{-2b-c}{4}+b+c＜0$，
两边同乘4得：$-2b -c +4b +4c ＜0$，
合并同类项得$2b+3c＜0$，结论③正确。
4. 判断结论④：
设$y_1=ax^2+bx+c$，$y_2=-\frac{c}{2}x+c$，不等式$ax^2+bx+c＜-\frac{c}{2}x+c$的解集即$y_1＜y_2$时x的取值范围；
令$y_1=y_2$，得$ax^2+bx+c=-\frac{c}{2}x+c$，
整理得$ax^2+(b+\frac{c}{2})x=0$，即$x(ax + b + \frac{c}{2})=0$，
解得$x=0$或$x=-\frac{b+\frac{c}{2}}{a}$；
由$4a+2b+c=0$，两边同除以2得$2a + b + \frac{c}{2}=0$，即$b+\frac{c}{2}=-2a$，代入得另一个根为$x=-\frac{-2a}{a}=2$，
即两函数交于$(0,c)$和$(2,0)$两点，结合图像可知，当$0＜x＜2$时，抛物线在直线下方，即$y_1＜y_2$，故结论④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与性质，二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数综合类题目，需要熟练掌握二次函数系数与图像的对应关系，同时结合特殊点代入、数形结合的方法分析问题，对逻辑推导和图像应用能力有一定要求，是二次函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.6
【例2】如图26－3①是一座抛物线形拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24 m,在距离D点6 m的E处,测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m,以桥拱顶点O为原点,桥面为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求桥拱顶部O与水面之间的距离.
(2)如图26－3②,桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆所在抛物线对应的函数解析式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.
解:(1)根据题意可知点F的坐标为(6,－1.5),可设桥拱所在抛物线对应的函数解析式为$y_1 = a_1 x^2$.
将点F(6,－1.5)的坐标代入$y_1 = a_1 x^2$,得$-1.5 = 36 a_1$,解得$a_1 = -\frac{1}{24}$, $\therefore y_1 = -\frac{1}{24} x^2$.
当$x = 12$时, $y_1 = -\frac{1}{24} × 12^2 = -6$.
故桥顶部O与水面之间的距离为6 m.
(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6,1),设该抛物线对应的函数解析式为$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$.
将点H(0,4)的坐标代入$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$,
得$4 = a_2 (0 - 6)^2 + 1$,解得$a_2 = \frac{1}{12}$.
$\therefore$右边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_2 = \frac{1}{12} (x - 6)^2 + 1$.
易知左边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_3 = \frac{1}{12} (x + 6)^2 + 1$.
②设彩带的长度为$L$ m,则$L = y_2 - y_1 = \frac{1}{12} (x - 6)^2 + 1 - (-\frac{1}{24} x^2) = \frac{1}{8} x^2 - x + 4 = \frac{1}{8} (x - 4)^2 + 2$, $\therefore$当$x = 4$时, $L_{最小} = 2$.
故彩带长度的最小值是2 m.
(1)求桥拱顶部O与水面之间的距离.
(2)如图26－3②,桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆所在抛物线对应的函数解析式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.
解:(1)根据题意可知点F的坐标为(6,－1.5),可设桥拱所在抛物线对应的函数解析式为$y_1 = a_1 x^2$.
将点F(6,－1.5)的坐标代入$y_1 = a_1 x^2$,得$-1.5 = 36 a_1$,解得$a_1 = -\frac{1}{24}$, $\therefore y_1 = -\frac{1}{24} x^2$.
当$x = 12$时, $y_1 = -\frac{1}{24} × 12^2 = -6$.
故桥顶部O与水面之间的距离为6 m.
(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6,1),设该抛物线对应的函数解析式为$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$.
将点H(0,4)的坐标代入$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$,
得$4 = a_2 (0 - 6)^2 + 1$,解得$a_2 = \frac{1}{12}$.
$\therefore$右边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_2 = \frac{1}{12} (x - 6)^2 + 1$.
易知左边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_3 = \frac{1}{12} (x + 6)^2 + 1$.
②设彩带的长度为$L$ m,则$L = y_2 - y_1 = \frac{1}{12} (x - 6)^2 + 1 - (-\frac{1}{24} x^2) = \frac{1}{8} x^2 - x + 4 = \frac{1}{8} (x - 4)^2 + 2$, $\therefore$当$x = 4$时, $L_{最小} = 2$.
故彩带长度的最小值是2 m.
答案
解：(1) 根据题意可知点F的坐标为$(6,-1.5)$，设桥拱所在抛物线对应的函数解析式为$y_1 = a_1 x^2$。
将点$F(6,-1.5)$的坐标代入$y_1 = a_1 x^2$，得$-1.5 = 36 a_1$，解得$a_1 = -\frac{1}{24}$，
$\therefore y_1 = -\frac{1}{24} x^2$。
由$CD=24\ \mathrm{m}$，可得点B的横坐标为12，当$x = 12$时，$y_1 = -\frac{1}{24} × 12^2 = -6$。
故桥拱顶部O与水面之间的距离为$6\ \mathrm{m}$。
(2) ① 由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为$(6,1)$，设该抛物线对应的函数解析式为$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$。
将点$H(0,4)$的坐标代入$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$，
得$4 = a_2 (0 - 6)^2 + 1$，解得$a_2 = \frac{1}{12}$。
$\therefore$右边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_2 = \frac{1}{12} (x - 6)^2 + 1$。
由对称性可得左边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_3 = \frac{1}{12}(x+6)^2+1$。
② 设彩带的长度为$L\ \mathrm{m}$，在右侧钢缆对应的区间内：
$\begin{aligned}L &= y_2 - y_1\\&= \frac{1}{12}(x-6)^2 + 1 - (-\frac{1}{24}x^2)\\&= \frac{1}{8}x^2 - x + 4\\&= \frac{1}{8}(x-4)^2 + 2\end{aligned}$
$\because \frac{1}{8}＞0$，$\therefore$当$x=4$时，$L_{\mathrm{最小}}=2$。
由对称性可知左侧区间内彩带的最小值同样为2。
答：(1) 桥拱顶部O与水面之间的距离为6 m；(2) ① 右侧钢缆的函数解析式为$y=\frac{1}{12}(x-6)^2+1$（或左侧钢缆解析式为$y=\frac{1}{12}(x+6)^2+1$）；② 彩带长度的最小值是2 m。
将点$F(6,-1.5)$的坐标代入$y_1 = a_1 x^2$，得$-1.5 = 36 a_1$，解得$a_1 = -\frac{1}{24}$，
$\therefore y_1 = -\frac{1}{24} x^2$。
由$CD=24\ \mathrm{m}$，可得点B的横坐标为12，当$x = 12$时，$y_1 = -\frac{1}{24} × 12^2 = -6$。
故桥拱顶部O与水面之间的距离为$6\ \mathrm{m}$。
(2) ① 由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为$(6,1)$，设该抛物线对应的函数解析式为$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$。
将点$H(0,4)$的坐标代入$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$，
得$4 = a_2 (0 - 6)^2 + 1$，解得$a_2 = \frac{1}{12}$。
$\therefore$右边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_2 = \frac{1}{12} (x - 6)^2 + 1$。
由对称性可得左边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_3 = \frac{1}{12}(x+6)^2+1$。
② 设彩带的长度为$L\ \mathrm{m}$，在右侧钢缆对应的区间内：
$\begin{aligned}L &= y_2 - y_1\\&= \frac{1}{12}(x-6)^2 + 1 - (-\frac{1}{24}x^2)\\&= \frac{1}{8}x^2 - x + 4\\&= \frac{1}{8}(x-4)^2 + 2\end{aligned}$
$\because \frac{1}{8}＞0$，$\therefore$当$x=4$时，$L_{\mathrm{最小}}=2$。
由对称性可知左侧区间内彩带的最小值同样为2。
答：(1) 桥拱顶部O与水面之间的距离为6 m；(2) ① 右侧钢缆的函数解析式为$y=\frac{1}{12}(x-6)^2+1$（或左侧钢缆解析式为$y=\frac{1}{12}(x+6)^2+1$）；② 彩带长度的最小值是2 m。
解析
【分析】
(1) 桥拱抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此可设其解析式为$y_1=a_1x^2$；结合CD长24m、E距D点6m，可得F点坐标为$(6,-1.5)$，代入解析式即可求出$a_1$；再由水面宽AB=24m得B点横坐标为12，代入解析式求出对应y值，其绝对值就是桥拱顶部O到水面的距离。
(2) ① 右侧钢缆抛物线的最低点到桥面距离为1m，且过高度均为4m的OH、DI顶端，因此对称轴为x=6，顶点坐标为$(6,1)$，设顶点式解析式后代入H点坐标即可求出参数，结合对称性还可得到左侧钢缆的解析式。
② 彩带长度为同横坐标下钢缆的函数值减去桥拱的函数值，列式后得到关于x的二次函数，配方为顶点式后结合二次函数性质即可求出最小值。
【解析】
(1) 根据题意可知点F的坐标为$(6,-1.5)$，设桥拱所在抛物线对应的函数解析式为$y_1 = a_1 x^2$。
将点$F(6,-1.5)$的坐标代入$y_1 = a_1 x^2$，得$-1.5 = 36 a_1$，解得$a_1 = -\frac{1}{24}$，
$\therefore y_1 = -\frac{1}{24} x^2$。
由$CD=24\ \mathrm{m}$，可得点B的横坐标为12，当$x = 12$时，$y_1 = -\frac{1}{24} × 12^2 = -6$。
故桥拱顶部O与水面之间的距离为$6\ \mathrm{m}$。
(2) ① 由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为$(6,1)$，设该抛物线对应的函数解析式为$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$。
将点$H(0,4)$的坐标代入$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$，
得$4 = a_2 (0 - 6)^2 + 1$，解得$a_2 = \frac{1}{12}$。
$\therefore$右边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_2 = \frac{1}{12} (x - 6)^2 + 1$。
由对称性可得左边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_3 = \frac{1}{12}(x+6)^2+1$。
② 设彩带的长度为$L\ \mathrm{m}$，在右侧钢缆对应的区间内：
$\begin{aligned}L &= y_2 - y_1\\&= \frac{1}{12}(x-6)^2 + 1 - (-\frac{1}{24}x^2)\\&= \frac{1}{8}x^2 - x + 4\\&= \frac{1}{8}(x-4)^2 + 2\end{aligned}$
$\because \frac{1}{8}＞0$，$\therefore$当$x=4$时，$L_{\mathrm{最小}}=2$。
由对称性可知左侧区间内彩带的最小值同样为2。
【答案】
(1) 桥拱顶部O与水面之间的距离为6 m；(2) ① 右侧钢缆对应的函数解析式为$y=\frac{1}{12}(x-6)^2+1$（或左侧钢缆解析式为$y=\frac{1}{12}(x+6)^2+1$）；② 彩带长度的最小值是2 m。
【知识点】
二次函数的应用、待定系数法求解析式、二次函数的最值
【点评】
本题以实际生活中的拱桥、钢缆场景为载体，考查二次函数的相关知识，解题时需要结合图形特征确定关键点坐标，灵活运用待定系数法求函数解析式，再结合二次函数性质求解最值，能够较好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 桥拱抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此可设其解析式为$y_1=a_1x^2$；结合CD长24m、E距D点6m，可得F点坐标为$(6,-1.5)$，代入解析式即可求出$a_1$；再由水面宽AB=24m得B点横坐标为12，代入解析式求出对应y值，其绝对值就是桥拱顶部O到水面的距离。
(2) ① 右侧钢缆抛物线的最低点到桥面距离为1m，且过高度均为4m的OH、DI顶端，因此对称轴为x=6，顶点坐标为$(6,1)$，设顶点式解析式后代入H点坐标即可求出参数，结合对称性还可得到左侧钢缆的解析式。
② 彩带长度为同横坐标下钢缆的函数值减去桥拱的函数值，列式后得到关于x的二次函数，配方为顶点式后结合二次函数性质即可求出最小值。
【解析】
(1) 根据题意可知点F的坐标为$(6,-1.5)$，设桥拱所在抛物线对应的函数解析式为$y_1 = a_1 x^2$。
将点$F(6,-1.5)$的坐标代入$y_1 = a_1 x^2$，得$-1.5 = 36 a_1$，解得$a_1 = -\frac{1}{24}$，
$\therefore y_1 = -\frac{1}{24} x^2$。
由$CD=24\ \mathrm{m}$，可得点B的横坐标为12，当$x = 12$时，$y_1 = -\frac{1}{24} × 12^2 = -6$。
故桥拱顶部O与水面之间的距离为$6\ \mathrm{m}$。
(2) ① 由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为$(6,1)$，设该抛物线对应的函数解析式为$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$。
将点$H(0,4)$的坐标代入$y_2 = a_2 (x - 6)^2 + 1$，
得$4 = a_2 (0 - 6)^2 + 1$，解得$a_2 = \frac{1}{12}$。
$\therefore$右边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_2 = \frac{1}{12} (x - 6)^2 + 1$。
由对称性可得左边钢缆所在抛物线对应的函数解析式为$y_3 = \frac{1}{12}(x+6)^2+1$。
② 设彩带的长度为$L\ \mathrm{m}$，在右侧钢缆对应的区间内：
$\begin{aligned}L &= y_2 - y_1\\&= \frac{1}{12}(x-6)^2 + 1 - (-\frac{1}{24}x^2)\\&= \frac{1}{8}x^2 - x + 4\\&= \frac{1}{8}(x-4)^2 + 2\end{aligned}$
$\because \frac{1}{8}＞0$，$\therefore$当$x=4$时，$L_{\mathrm{最小}}=2$。
由对称性可知左侧区间内彩带的最小值同样为2。
【答案】
(1) 桥拱顶部O与水面之间的距离为6 m；(2) ① 右侧钢缆对应的函数解析式为$y=\frac{1}{12}(x-6)^2+1$（或左侧钢缆解析式为$y=\frac{1}{12}(x+6)^2+1$）；② 彩带长度的最小值是2 m。
【知识点】
二次函数的应用、待定系数法求解析式、二次函数的最值
【点评】
本题以实际生活中的拱桥、钢缆场景为载体，考查二次函数的相关知识，解题时需要结合图形特征确定关键点坐标，灵活运用待定系数法求函数解析式，再结合二次函数性质求解最值，能够较好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
