1.下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是()

A.都含有一个$50°$的内角
B.都含有一个$70°$的内角
C.都含有一个$80°$的内角
D.都含有一个$100°$的内角

D

【分析】
要判定两个等腰三角形相似，需满足两角对应相等的相似判定条件。首先结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的特点分析：若给出的内角是锐角，它既可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会产生两种不同内角组合的三角形；若给出的内角是钝角，它只能作为等腰三角形的顶角（因为两个底角相等，若钝角为底角，内角和会超过180°），此时两个三角形的内角组合唯一确定，可判定相似。我们只需逐个分析选项中的角属于哪种情况即可。
【解析】
根据相似三角形判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，结合等腰三角形性质逐一分析：
A. 含50°内角的等腰三角形：若50°为顶角，底角为(180°-50°)÷2=65°，内角为50°、65°、65°；若50°为底角，顶角为180°-50°×2=80°，内角为50°、50°、80°，两种三角形角不对应相等，不一定相似，故A错误。
B. 含70°内角的等腰三角形：若70°为顶角，底角为(180°-70°)÷2=55°，内角为70°、55°、55°；若70°为底角，顶角为180°-70°×2=40°，内角为70°、70°、40°，两种三角形角不对应相等，不一定相似，故B错误。
C. 含80°内角的等腰三角形：若80°为顶角，底角为(180°-80°)÷2=50°，内角为80°、50°、50°；若80°为底角，顶角为180°-80°×2=20°，内角为80°、80°、20°，两种三角形角不对应相等，不一定相似，故C错误。
D. 含100°内角的等腰三角形：100°为钝角，只能作为顶角，底角均为(180°-100°)÷2=40°，两个三角形内角均为100°、40°、40°，两角对应相等，一定相似，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质和相似三角形判定的综合应用题，解题的关键是明确等腰三角形中钝角只能为顶角，锐角既可能是顶角也可能是底角，需分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7

2.如图,下列三个三角形中,相似的是（）


A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

A

【分析】
要判断三角形是否相似，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理分析。首先利用三角形内角和为180°，分别计算出三个三角形的未知内角，再对比各三角形的内角，看哪两个三角形的内角对应相等，即可判断是否相似。
【解析】
根据三角形内角和为180°，分别计算三个三角形的第三个内角：
1. 三角形①的第三个角：$180° -71° -65°=44°$，三个内角分别为$71°$、$65°$、$44°$；
2. 三角形②的第三个角：$180° -71° -44°=65°$，三个内角分别为$71°$、$44°$、$65°$；
3. 三角形③的第三个角：$180° -71° -67°=42°$，三个内角分别为$71°$、$67°$、$42°$。
可见①和②的三个内角对应相等，符合相似三角形的判定条件，因此①和②相似。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题核心是先通过内角和定理求出各三角形的未知角度，再结合相似三角形的判定定理对比判断，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8

3.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ADC相似的三角形是（写出一个即可）。

解：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴ ∠ADC = ∠ACB = 90°，
又∵ ∠A是△ADC和△ACB的公共角，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADC∽△ACB。
答：△ABC（答案不唯一，也可填写△CDB）。

【分析】
要找出与△ADC相似的三角形，首先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，因此∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°。我们可以利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理来找等角：①对比△ADC和△ABC，二者有公共角∠A，且都有直角，满足两角相等，因此相似；②也可通过同角的余角相等，得到∠A=∠BCD，结合两个直角相等，推出△ADC和△CDB也相似，任选其一即可。
【解析】
已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴ ∠ADC = ∠ACB = 90°，
又
∵ ∠A是△ADC和△ACB的公共角，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADC∽△ACB（即△ABC）。
（也可推导△ADC∽△CDB：
∵∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADC∽△CDB）
【答案】
△ABC（答案不唯一，也可填写△CDB）
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形的判定方法，解题时要善于挖掘图形中的公共角、互余关系得到相等的角，即可快速得到相似三角形。
【难度系数】
0.8

4.如图，若AB//EF，AE//BC，EF与AC相交于点G，则图中共有对相似三角形。

$\boldsymbol{3}$

【分析】
解题时先结合已知的两组平行线，运用相似三角形的判定定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，或两角分别相等的两个三角形相似）逐一找出相似三角形，再利用相似的传递性得到余下的相似对，最后统计时注意避免重复计数。首先根据AE//BC找到第一组相似三角形，再根据AB//EF找到第二组相似三角形，最后由相似的传递性得到第三组相似三角形即可。
【解析】
1. 已知AE//BC，可得∠E=∠CFG，∠EAG=∠C，根据两角分别相等的两个三角形相似，推出$△ AEG ∽ △ CFG$，为第1对相似三角形；
2. 已知AB//EF，可得∠CGF=∠CAB，∠CFG=∠B，根据两角分别相等的两个三角形相似，推出$△ CFG ∽ △ CAB$，为第2对相似三角形；
3. 根据相似三角形的传递性，由$△ AEG ∽ △ CFG$、$△ CFG ∽ △ CAB$，可推出$△ AEG ∽ △ CAB$，为第3对相似三角形。
综上，图中共有3对相似三角形。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质，相似的传递性
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的关键是熟练掌握由平行线推导角相等进而判定三角形相似的方法，计数时注意不要遗漏由相似传递性得到的相似对，也不要重复计数。
【难度系数】
0.7

5.如图,在等边三角形ABC中,点E,D分别在边BC,AB上,且∠AED=60°。求证:△AEC∽△EDB。

证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B = ∠C = 60°。
∵ 点E在边BC上，
∴ ∠BED + ∠AED + ∠AEC = 180°，
又∵ ∠AED = 60°，
∴ ∠BED + ∠AEC = 120°。
在△AEC中，∠EAC + ∠AEC + ∠C = 180°，
∴ ∠EAC + ∠AEC = 180° - 60° = 120°，
∴ ∠EAC = ∠BED。
又∵ ∠C = ∠B = 60°，
∴ △AEC ∽ △EDB（两角分别相等的两个三角形相似）。

【分析】
要证明两个三角形相似，优先考虑两角分别相等的相似判定定理。首先由等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，已经得到一组对应角相等，接下来只需再证明另一组对应角相等即可。结合已知∠AED=60°，根据平角的定义可推出∠BED+∠AEC=120°，再根据三角形内角和定理，在△AEC中可推出∠EAC+∠AEC=120°，通过等量代换就能得到∠EAC=∠BED，此时两组对应角分别相等，即可证得两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B = ∠C = 60°。
∵ 点E在边BC上，
∴ ∠BED + ∠AED + ∠AEC = 180°，
又
∵ ∠AED = 60°，
∴ ∠BED + ∠AEC = 120°。
在△AEC中，∠EAC + ∠AEC + ∠C = 180°，
∴ ∠EAC + ∠AEC = 180° - 60° = 120°，
∴ ∠EAC = ∠BED。
又
∵ ∠C = ∠B = 60°，
∴ △AEC ∽ △EDB（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
△AEC∽△EDB
【知识点】
等边三角形性质、相似三角形判定、三角形内角和定理
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的关键是结合等边三角形的性质，通过角的等量代换找到两组相等的对应角，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. 提升题 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，连接EF。过点B作BG⊥EF于点G，FH//CD，交AD于点H。求证：△BGF∽△FHE。

证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D = 90°，AD//BC。
∵ FH//CD，
∴ ∠FHE = ∠D = 90°。
∵ BG⊥EF，
∴ ∠BGF = 90°，
∴ ∠BGF = ∠FHE。
∵ AD//BC，
∴ ∠GFB = ∠HEF。
∴ △BGF∽△FHE（两角分别相等的两个三角形相似）。

【分析】
要证明△BGF∽△FHE，优先使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先结合矩形性质和平行线性质，证明两个三角形都有直角，得到第一组对应等角；再利用矩形对边平行的性质，得到一组内错角相等，作为第二组对应等角，两组角对应相等即可证明两三角形相似。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D = 90°，AD//BC。
∵ FH//CD，
∴ ∠FHE = ∠D = 90°。
∵ BG⊥EF，
∴ ∠BGF = 90°，
∴ ∠BGF = ∠FHE。
∵ AD//BC，
∴ ∠GFB = ∠HEF。
∴ △BGF∽△FHE（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
△BGF∽△FHE，证明过程如上。
【知识点】
矩形的性质；平行线的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，需要结合矩形和平行线的性质推导对应角相等，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8