1. ★★★（2024·海南中考）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东(沿AC方向)以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示.
航行记录
记录一:上午8时,渔船到达木兰灯塔P北偏西$60°$方向上的A处.
记录二:上午8时30分,渔船到达木兰灯塔P北偏西$45°$方向上的B处.
记录三:根据气象观测,当天凌晨4时到上午9时,受天文大潮和天气影响,琼州海峡C点周围5海里内,会出现异常海况,C点位于木兰灯塔P北偏东$15°$方向.
请你根据以上信息解决下列问题:
(1)填空:$∠ PAB=$ $°$,$∠ APC=$ $°$,$AB=$ 海里.
(2)若该渔船不改变航线与速度,是否会进入“海况异常”区?请计算说明.
(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73,\sqrt{6}\approx2.45$)

1.(1)30 75 5 解析:
如图所示,过点P作PD⊥AC于点D,由题意得,∠APD=60°,∠BPD=45°,∠CPD=15°,
∴∠PAB=90°-∠APD=30°, ∠APC = ∠APD + ∠CPD=75°.
∵一艘渔船自西向东(沿AC方向)以每小时10海里的速度在琼州海峡航行,上午8时从A处出发,上午8时30分到达B处,在这期间经过了30分钟,即0.5小时,
∴AB=10×0.5=5(海里).
(2)设PD=x海里,在Rt△PDB中,
∵∠DPB=45°,
∴BD=PD·tan∠DPB=x海里.在Rt△APD中,AD=PD/tanA=√3 x 海里,AP=PD/sinA=2x海里,
∵AD=AB+BD,
∴x+5=√3 x,解得x=5/(√3-1)=(5√3+5)/2,
∴AP=2x=(5√3+5)海里.
∵∠C=180°-∠A-∠APC=75°,
∴∠C=∠APC,
∴AC=AP=(5√3+5)海里.上午9时,渔船距离A处的距离为10×1=10(海里),
∵5√3+5-10=5√3-5≈5×1.73-5=3.65(海里),3.65＜5,
∴若该渔船不改变航线与速度,会进入“海况异常”区.

【分析】
(1) 首先根据方位角的定义，东西方向与南北方向互相垂直，因此∠PAB和∠APD互余，可直接求出∠PAB的度数；∠APC是北偏西60°与北偏东15°的和，相加即可得结果；AB的长度根据路程=速度×时间计算，航行时间为30分钟即0.5小时，代入速度即可求解。
(2) 要判断渔船是否进入海况异常区，需计算上午9时渔船到C点的距离是否小于5海里。首先过点P作PD⊥AC于D，构造Rt△PDB和Rt△APD两个直角三角形，利用45°、30°的三角函数值用PD分别表示BD、AD，再结合AD=AB+BD列方程求出PD的长度，进而求出AP的长；再通过三角形内角和求出∠C的度数，可得∠C=∠APC，即AC=AP；最后计算9时渔船航行的总路程，求出此时渔船到C点的距离，和5海里比较即可得出结论。
【解析】
(1) 过点P作PD⊥AC于点D，由题意得∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°。
因为AC为东西方向，正北方向与AC垂直，所以：
∠PAB=90°-∠APD=90°-60°=30°，
∠APC=∠APD+∠CPD=60°+15°=75°。
渔船从A到B的航行时间为8时30分-8时=30分钟=0.5小时，
所以AB=10×0.5=5（海里）。
(2) 设PD=x海里，
在Rt△PDB中，∠DPB=45°，所以BD=PD·tan45°=x海里；
在Rt△APD中，∠PAD=30°，所以AD=PD/tan30°=√3 x 海里，AP=PD/sin30°=2x海里。
因为AD=AB+BD，所以√3 x = 5 + x，
解得x=5/(√3-1)=(5√3+5)/2，因此AP=2x=5√3+5 海里。
在△APC中，∠C=180°-∠PAC-∠APC=180°-30°-75°=75°，
所以∠C=∠APC，因此AC=AP=5√3+5 海里。
上午9时，渔船共航行1小时，航行路程为10×1=10海里，
此时渔船到C点的距离为：AC - 10 = (5√3+5) -10 =5√3 -5 ≈5×1.73 -5=3.65海里，
因为3.65＜5，所以该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区。
【答案】
(1) 30，75，5
(2) 该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区。
【知识点】
方位角的概念，解直角三角形，等腰三角形的判定
【点评】
本题以实际航海场景为背景，融合了方位角、解直角三角形、等腰三角形判定等多个知识点，既考查了学生对特殊角三角函数值的掌握程度，也考查了学生通过作辅助线构造直角三角形解决实际问题的能力，题目贴合生活实际，具有较强的实用性。
【难度系数】
0.65

2. (2025·重庆中考)为加强森林防火,某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图,A,B,C,D在同一平面内.A是瞭望台,某一时刻,观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处,乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视,D位于C的正西方向上,B位于C的北偏西30°方向上.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73,\sqrt{5}\approx2.24,\sqrt{7}\approx2.65$)
(1)求BD的长度.(结果保留小数点后一位)
(2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视,乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时,它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时,两无人机可以开始相互接收到信号?(结果保留小数点后一位)

2.(1)
如图①所示,过点A作AE⊥CD于E,过点B作BF⊥CD于F,
∴∠AED=∠BFC=90°.由题意得,∠DAE=30°,在Rt△ADE中,AE=AD·cos∠DAE=20·cos30°=10√3 (千米),DE=AD·sin∠DAE=20·sin30°=10(千米).
∵甲无人机位于A的正东方向10千米的B处,D位于C的正西方向上,
∴AB//CD,
∴AE⊥AB,BF⊥AB,
∴四边形AEFB是矩形,
∴EF=AB=10千米,BF=AE=10√3千米,
∴DF=DE+EF=20千米,
∴BD=√(DF²+BF²)=√(20²+(10√3)²)=10√7≈26.5(千米).答:BD的长度约为26.5千米.
(2)如图②所示,当甲无人机运动到M,乙无人机运动到N时,此时满足MN=20千米.过点M作MT⊥CD于T,由题意得,∠BCF=90°-30°=60°,在Rt△FBC中,BC=BF/sin∠BCF=10√3/sin60°=20(千米),CF=BF/tan∠BCF=10√3/tan60°=10(千米),
∴CD=DF+CF=30千米.设BM=x千米,则DN=2x千米,CM=(20-x)千米,在Rt△CMT中,CT=CM·cos∠MCT=(20-x)·cos60°=(10-1/2 x)千米,MT=CM·sin∠MCT=(20-x)·sin60°=(10√3 - (√3/2)x)千米,
∴TN=CD-DN-CT=30-2x-(10-1/2 x)=(20 - 3/2 x)千米.在Rt△MNT中,由勾股定理得MN²=MT²+NT²,
∴20²=(10√3 - (√3/2)x)² + (20 - 3/2 x)²,
∴x=15-5√5或x=15+5√5(此时大于BC的长,舍去),
∴BM=15-5√5≈3.8(千米).答:甲无人机飞离B处3.8千米时,两无人机可以开始相互接收到信号.

【分析】
(1) 求BD的长度时，考虑通过作高构造直角三角形，将BD转化为直角三角形的斜边求解。首先结合方位角条件，过A作AE⊥CD、过B作BF⊥CD，先在Rt△ADE中利用锐角三角函数求出DE、AE的长度；再根据AB与CD平行的位置关系，判定四边形AEFB是矩形，得到BF、DF的长度，最后用勾股定理计算BD即可。
(2) 先在Rt△BFC中利用锐角三角函数求出BC、CF的长度，得到CD的总长度；设甲无人机飞离B处x千米，根据速度关系表示出乙无人机飞行的距离，过M作MT⊥CD构造直角三角形，用含x的代数式分别表示出MT、TN的长度，结合两机相距20千米的条件，利用勾股定理列方程求解，最后结合实际意义舍去不符合要求的根即可得到结果。
【解析】
(1) 如图①所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，
∴∠AED=∠BFC=90°。由题意得∠DAE=30°，在Rt△ADE中，
$AE=AD·\cos∠DAE=20×\cos30°=10\sqrt{3}$ (千米)，
$DE=AD·\sin∠DAE=20×\sin30°=10$(千米)。
∵甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴$AB// CD$，
∴$AE⊥AB$，$BF⊥AB$，
∴四边形AEFB是矩形，
∴$EF=AB=10$千米，$BF=AE=10\sqrt{3}$千米，
∴$DF=DE+EF=10+10=20$千米，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{DF^2+BF^2}=\sqrt{20^2+(10\sqrt{3})^2}=\sqrt{700}=10\sqrt{7}\approx26.5$(千米)。
(2) 如图②所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，两机相距20千米，此时可接收信号。过点M作MT⊥CD于T，由题意得$∠BCF=90°-30°=60°$，
在Rt△FBC中，$BC=\frac{BF}{\sin∠BCF}=\frac{10\sqrt{3}}{\sin60°}=20$(千米)，
$CF=\frac{BF}{\tan∠BCF}=\frac{10\sqrt{3}}{\tan60°}=10$(千米)，
∴$CD=DF+CF=20+10=30$千米。
设$BM=x$千米，已知乙的速度是甲的2倍，故$DN=2x$千米，$CM=(20-x)$千米，
在Rt△CMT中，
$CT=CM·\cos∠MCT=(20-x)×\cos60°=(10-\frac{1}{2}x)$千米，
$MT=CM·\sin∠MCT=(20-x)×\sin60°=(10\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)$千米，
∴$TN=CD-DN-CT=30-2x-(10-\frac{1}{2}x)=(20-\frac{3}{2}x)$千米。
在Rt△MNT中，由勾股定理得$MN^2=MT^2+TN^2$，
代入数据得：$20^2=(10\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + (20-\frac{3}{2}x)^2$，
化简解得$x=15-5\sqrt{5}$或$x=15+5\sqrt{5}$，
∵$x=15+5\sqrt{5}\approx26.2＞20$，超出BC的长度，不符合实际，故舍去，
∴$BM=15-5\sqrt{5}\approx15-5×2.24=3.8$(千米)。
【答案】

(1) BD的长度约为26.5千米；
(2) 甲无人机飞离B处约3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号。
【知识点】
解直角三角形应用，勾股定理，方位角问题
【点评】
本题结合实际应用场景考查方位角相关的解直角三角形问题，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，将线段和角度关系转化到直角三角形中计算，同时要注意结合实际意义对方程的解进行取舍，较好地考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6