1. ★★★(2025·安庆模拟)已知:四边形ABCD内接于$\odot O$,AB为$\odot O$直径,AD与BC的延长线相交于点E,AC平分$∠ BAD$,AC与BD相交于点F.
(1)如图①,若$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,求证:$AF=BE$;
(2)如图②,若$DE=2,CE=3$,求BD的长.

1. (1)$\because AB$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ BDE=180°-∠ ADB=90°.\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ DAF=∠ EBD.$
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD},\therefore AD=BD.$在$△ ADF$和$△ BDE$中,
$\begin{cases}∠ DAF=∠ DBE,\\AD=BD,\\∠ ADF=∠ BDE,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BDE(\mathrm{ASA}),\therefore AF=BE.$
(2)$\because AC$平分$∠ BAD,\therefore ∠ BAC=∠ EAC$,由(1)得$∠ ACE=180°-∠ ACB=90°=∠ ACB.$在$△ ACE$和$△ ACB$中,
$\begin{cases}∠ EAC=∠ BAC,\\AC=AC,\\∠ ACE=∠ ACB,\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ ACB(\mathrm{ASA}).\because CE=3,\therefore BC=CE=3,$
$\therefore BE=BC+CE=6,\therefore BD=\sqrt{BE^2-DE^2}=4\sqrt{2}.$

【分析】
(1) 要证明$AF=BE$，可通过证明$△ ADF$和$△ BDE$全等来实现。首先利用直径所对圆周角为直角，得到$∠ ADB=∠ ACB=∠ BDE=90°$；再结合同弧所对圆周角相等推出$∠ DAF=∠ EBD$，由等弧对等边得到$AD=BD$，即可满足全等的ASA判定条件，从而证得对应边相等。
(2) 要求$BD$的长，首先利用角平分线的性质和直径带来的直角，证明$△ ACE≌△ ACB$，得到$BC=CE$，进而求出$BE$的长度；再在$Rt△ BDE$中利用勾股定理即可计算出$BD$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BDE=180°-∠ ADB=90°$。
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore ∠ DAF=∠ EBD$。
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\therefore AD=BD$。
在$△ ADF$和$△ BDE$中，
$\begin{cases}∠ DAF=∠ DBE,\\AD=BD,\\∠ ADF=∠ BDE,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BDE(\mathrm{ASA})$，$\therefore AF=BE$。
(2) 解：$\because AC$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ BAC=∠ EAC$，
由(1)得$∠ ACE=180°-∠ ACB=90°=∠ ACB$。
在$△ ACE$和$△ ACB$中，
$\begin{cases}∠ EAC=∠ BAC,\\AC=AC,\\∠ ACE=∠ ACB,\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ ACB(\mathrm{ASA})$。
$\because CE=3$，$\therefore BC=CE=3$，
$\therefore BE=BC+CE=6$，
在$Rt△ BDE$中，$BD=\sqrt{BE^2-DE^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $AF=BE$，证明见解析；
(2) $BD=4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的关键是灵活运用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，结合角平分线找到全等三角形的判定条件，再结合勾股定理求解线段长度，要求熟练掌握圆的基本性质和三角形全等、勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7