2. (2025·亳州期末)如图,AB是$\odot O$的直径,$△ ABC$内接于$\odot O$,点I为$△ ABC$的内心,连结CI并延长交$\odot O$于点D,E是$\overset{\frown}{BC}$上任意一点,连结AD,BD,BE,CE.
(1)若$∠ ABC=25°$,求$∠ CEB$的度数;
(2)求证:$DI=DA$.

2. (1)$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=90°.$又$∠ ABC=25°$,
$\therefore ∠ CAB=90°-25°=65°.\because$ 四边形$ABEC$是$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠ CEB+∠ CAB=180°,\therefore ∠ CEB=180°-∠ CAB=115°.$
(2)如图,连结$AI$,$\because$ 点$I$为$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ CAI=∠ BAI,∠ ACI=∠ BCI=\frac{1}{2}∠ ACB=45°,$$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD},\therefore ∠ DAB=∠ DCB=∠ ACI,AD=BD.$$\because ∠ DAI=∠ DAB+∠ BAI,∠ DIA=∠ ACI+∠ CAI,\therefore ∠ DAI=∠ DIA,\therefore DI=DA.$

【分析】
(1) 求解∠CEB时，先利用直径所对圆周角为直角的性质，在Rt△ABC中求出∠CAB的度数，再根据圆内接四边形对角互补的性质，即可计算得到∠CEB的度数。
(2) 要证明DI=DA，可通过证明∠DAI=∠DIA，利用等角对等边推导：首先连接辅助线AI，结合三角形内心是角平分线交点的性质得到两组相等的角，再根据同弧所对圆周角相等推导角的等量关系，最后将∠DAI和∠DIA分别拆分为两个角的和，证明两角相等即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
已知∠ABC=25°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=90°-25°=65°。
∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB=180°，
∴∠CEB=180°-65°=115°。
(2) 证明：连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，CI平分∠ACB，即∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，可得∠DAB=∠DCB=∠ACI，AD=BD。
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI，∠DIA=∠ACI+∠CAI（三角形外角的性质），
且∠DAB=∠ACI，∠BAI=∠CAI，
∴∠DAI=∠DIA，
∴DI=DA。
【答案】
2. (1)$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=90°.$又$∠ ABC=25°$,
$\therefore ∠ CAB=90°-25°=65°.\because$ 四边形$ABEC$是$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠ CEB+∠ CAB=180°,\therefore ∠ CEB=180°-∠ CAB=115°.$
(2)如图,连结$AI$,$\because$ 点$I$为$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ CAI=∠ BAI,∠ ACI=∠ BCI=\frac{1}{2}∠ ACB=45°,$$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD},\therefore ∠ DAB=∠ DCB=∠ ACI,AD=BD.$$\because ∠ DAI=∠ DAB+∠ BAI,∠ DIA=∠ ACI+∠ CAI,\therefore ∠ DAI=∠ DIA,\therefore DI=DA.$

【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，三角形内心性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的常见题型，第一问侧重基础性质的直接应用，难度较低；第二问需要合理构造辅助线，通过角的等量代换证明等角对等边，能很好地考查学生对几何性质的综合应用能力，掌握基础性质、学会角的转化是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.65

3. 如图，I是$△ ABC$的内心，AI的延长线和$△ ABC$的外接圆$\odot O$相交于点$D$，$OI⊥ AD$.
(1)求证:$AD=2BD$；
(2)若$IM⊥ AB$于点$M$,求证:$BC=2AM$.

3. (1)连结$BI$,如图.$\because I$是$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,$∠ ABI=∠ CBI,\therefore ∠ BAD+∠ ABI=∠ CAD+∠ CBI.$$\because ∠ CAD=∠ CBD$,
$\therefore ∠ BAD+∠ ABI=∠ CBD+∠ CBI.$$\because ∠ BID=∠ BAD+∠ ABI,∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI,\therefore ∠ BID=∠ IBD,\therefore DB=DI.$$\because OI⊥ AD,\therefore AI=DI$,
$\therefore AD=2BD.$
(2)如图,连结$OD$交$BC$于点$E$,$\because ∠ BAD=∠ CAD,\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore OD⊥ BC,BE=CE.$$\because OI⊥ AD,IM⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ AMI=90°,IA=DI.$由(1)知$DB=DI,\therefore DB=IA.$$\because ∠ DBE=∠ DAC,∠ IAM=∠ DAC$,
$\therefore ∠ DBE=∠ IAM.$在$△ DBE$和$△ IAM$中,
$\begin{cases}∠ BED=∠ AMI,\\∠ DBE=∠ IAM,\\DB=IA,\end{cases}$
$\therefore △ DBE≌△ IAM(\mathrm{AAS}),\therefore BE=AM,\therefore 2BE=2AM.$$\because BC=2BE$,
$\therefore BC=2AM.$

【分析】
(1) 要证AD=2BD，首先由OI⊥AD且O是圆心，根据垂径定理可得AI=DI，因此只需证明BD=DI即可。结合三角形内心的角平分线性质，利用三角形外角性质和同弧所对圆周角相等，推导∠BID=∠IBD，即可得到BD=DI，进而得证结论。
(2) 要证BC=2AM，首先由∠BAD=∠CAD可得弧BD=弧CD，根据垂径定理可知OD⊥BC，即BC=2BE，因此只需证明BE=AM即可。通过推导△DBE和△IAM的对应角相等、对应边相等，证明两三角形全等，得到BE=AM，进而推导出BC=2AM。
【解析】
(1) 连接BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠CBI，
∵∠CAD与∠CBD同为弧CD所对的圆周角，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI，
∵∠BID是△ABI的外角，
∴∠BID=∠BAD+∠ABI，
又∠IBD=∠CBD+∠CBI，
∴∠BID=∠IBD，
∴DB=DI，
∵OI⊥AD，O为圆心，
∴AI=DI，
∴AD=AI+DI=2DI=2BD。
(2) 连接OD交BC于点E，
∵∠BAD=∠CAD，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∵OD为$\odot O$的半径，
∴OD⊥BC，BE=CE，即BC=2BE，
∵OI⊥AD，IM⊥AB，
∴∠BED=∠AMI=90°，
由(1)可知AI=DI，DB=DI，
∴DB=IA，
∵∠DBE与∠DAC同为弧DC所对的圆周角，
∴∠DBE=∠DAC，
又
∵∠IAM=∠DAC，
∴∠DBE=∠IAM，
在△DBE和△IAM中：
$\begin{cases}∠BED=∠AMI \\∠DBE=∠IAM \\DB=IA\end{cases}$
∴△DBE≌△IAM(AAS)，
∴BE=AM，
∴2BE=2AM，
又
∵BC=2BE，
∴BC=2AM。
【答案】
(1) 连结$BI$,如图.$\because I$是$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,$∠ ABI=∠ CBI,\therefore ∠ BAD+∠ ABI=∠ CAD+∠ CBI.$$\because ∠ CAD=∠ CBD$,
$\therefore ∠ BAD+∠ ABI=∠ CBD+∠ CBI.$$\because ∠ BID=∠ BAD+∠ ABI,∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI,\therefore ∠ BID=∠ IBD,\therefore DB=DI.$$\because OI⊥ AD,\therefore AI=DI$,
$\therefore AD=2BD.$
(2) 如图,连结$OD$交$BC$于点$E$,$\because ∠ BAD=∠ CAD,\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore OD⊥ BC,BE=CE.$$\because OI⊥ AD,IM⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ AMI=90°,IA=DI.$由(1)知$DB=DI,\therefore DB=IA.$$\because ∠ DBE=∠ DAC,∠ IAM=∠ DAC$,
$\therefore ∠ DBE=∠ IAM.$在$△ DBE$和$△ IAM$中,
$\begin{cases}∠ BED=∠ AMI,\\∠ DBE=∠ IAM,\\DB=IA,\end{cases}$
$\therefore △ DBE≌△ IAM(\mathrm{AAS}),\therefore BE=AM,\therefore 2BE=2AM.$$\because BC=2BE$,
$\therefore BC=2AM.$

【知识点】
三角形内心性质，圆周角定理，全等三角形判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合典型题，重点考查几何逻辑推导能力，解题的核心是合理构造辅助线，结合角的等量关系转化线段关系，再通过全等三角形完成线段的等量代换，对综合运用几何知识点的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6