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2. 某数学兴趣小组在探究“$x^2+\frac{1}{x^2}$取值的规律”时，进行了如下活动.
(1)【尝试操作】取不同的$x$值，计算$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，并填写下表；
(2)【观察猜想】兴趣小组组员通过观察表格，提出以下猜想：
①代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值随着$x$的增大而减小；
②当$x=\pm1$时，代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$取得最小值2.
上述猜想中正确的是
(3)【验证猜想】请对正确的猜想进行证明；
(4)【归纳运用】求代数式$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10(x＞3)$的最小值，并求出此时$x$的值.
(1)【尝试操作】取不同的$x$值，计算$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，并填写下表；
(2)【观察猜想】兴趣小组组员通过观察表格，提出以下猜想：
①代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值随着$x$的增大而减小；
②当$x=\pm1$时，代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$取得最小值2.
上述猜想中正确的是
②
；(填序号)(3)【验证猜想】请对正确的猜想进行证明；
(4)【归纳运用】求代数式$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10(x＞3)$的最小值，并求出此时$x$的值.
答案
2. (1) 示例计算结果：$\frac{82}{9}$、$\frac{17}{4}$、2、$\frac{17}{4}$、$\frac{82}{9}$、$\frac{82}{9}$、$\frac{17}{4}$、2、$\frac{17}{4}$、$\frac{82}{9}$。
(2) ②
(3) 证明：$x^2+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}+2=(x-\frac{1}{x})^2+2$。$\because (x-\frac{1}{x})^2\ge0$，$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$，即$x=\pm1$时，等号成立。$\therefore$当$x=\pm1$时，代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$取得最小值2。
(4) 解：$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10=x^2-6x+9+\frac{1}{(x-3)^2}+1=(x-3)^2+\frac{1}{(x-3)^2}+1$。令$t=x-3$，由$x＞3$，得$t＞0$，则原式$=t^2+\frac{1}{t^2}+1$。由$t^2+\frac{1}{t^2}\ge2$，当且仅当$t=\frac{1}{t}$，即$t=1$(负值已舍去)时，等号成立，可知$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10\ge3$，当且仅当$x=4$时，等号成立。即代数式$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10$的最小值为3，此时$x=4$。
(2) ②
(3) 证明：$x^2+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}+2=(x-\frac{1}{x})^2+2$。$\because (x-\frac{1}{x})^2\ge0$，$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$，即$x=\pm1$时，等号成立。$\therefore$当$x=\pm1$时，代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$取得最小值2。
(4) 解：$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10=x^2-6x+9+\frac{1}{(x-3)^2}+1=(x-3)^2+\frac{1}{(x-3)^2}+1$。令$t=x-3$，由$x＞3$，得$t＞0$，则原式$=t^2+\frac{1}{t^2}+1$。由$t^2+\frac{1}{t^2}\ge2$，当且仅当$t=\frac{1}{t}$，即$t=1$(负值已舍去)时，等号成立，可知$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10\ge3$，当且仅当$x=4$时，等号成立。即代数式$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10$的最小值为3，此时$x=4$。
解析
【分析】
(1) 填写表格只需将给出的x值逐一代入$x^2+\frac{1}{x^2}$计算即可，因为平方运算不改变正负性，互为相反数的x对应代数式的值相等。
(2) 判断猜想：①可举反例验证，比如x从1增大到2时，代数式的值反而增大，故猜想①错误；②结合表格数据和配方法可判断正确性。
(3) 证明猜想②时，利用完全平方公式将代数式配成“完全平方+常数”的形式，再根据平方的非负性推导最小值和取等条件即可。
(4) 求给定代数式最值时，先对代数式配方变形，换元后转化为$t^2+\frac{1}{t^2}$的形式，再复用前面得到的结论求解即可。
【解析】
(1) 逐一代入x计算：
当$x=-3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$；
当$x=-2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$；
当$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=1+1=2$；
当$x=-\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$；
当$x=-\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9}+9=\frac{82}{9}$；
当$x=\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9}+9=\frac{82}{9}$；
当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$；
当$x=1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=1+1=2$；
当$x=2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$；
当$x=3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$。
(2) 分析猜想：①取$x=1$时，代数式值为2，取$x=2$时，代数式值为$\frac{17}{4}＞2$，可见x增大时代数式的值也增大，故①错误，仅②正确。
(3) 证明：对代数式变形得
$x^2+\frac{1}{x^2}=x^2-2· x· \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+2=(x-\frac{1}{x})^2+2$，
∵平方具有非负性，即$(x-\frac{1}{x})^2\ge0$，
∴$x^2+\frac{1}{x^2}\ge0+2=2$，
当且仅当$x-\frac{1}{x}=0$即$x=\pm1$时，等号成立，
故当$x=\pm1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$取得最小值2。
(4) 解：先对代数式配方变形：
$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10=(x^2-6x+9)+\frac{1}{(x-3)^2}+1=(x-3)^2+\frac{1}{(x-3)^2}+1$，
令$t=x-3$，
∵$x＞3$，
∴$t＞0$，原式变为$t^2+\frac{1}{t^2}+1$，
由(3)的结论可知$t^2+\frac{1}{t^2}\ge2$，当且仅当$t=\frac{1}{t}$即$t=1$（负值舍去）时等号成立，
∴原式$\ge2+1=3$，此时$t=1$即$x-3=1$，解得$x=4$。
【答案】
(1) 表格从左到右依次为$\frac{82}{9}$、$\frac{17}{4}$、$2$、$\frac{17}{4}$、$\frac{82}{9}$、$\frac{82}{9}$、$\frac{17}{4}$、$2$、$\frac{17}{4}$、$\frac{82}{9}$；
(2) ②；
(3) 证明见解析；
(4) 最小值为3，此时$x=4$。
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是规律探究类题型，从特殊值计算到规律猜想、证明，再到规律迁移应用，层层递进，既考查了完全平方公式的灵活运用，也锻炼了逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 填写表格只需将给出的x值逐一代入$x^2+\frac{1}{x^2}$计算即可，因为平方运算不改变正负性，互为相反数的x对应代数式的值相等。
(2) 判断猜想：①可举反例验证，比如x从1增大到2时，代数式的值反而增大，故猜想①错误；②结合表格数据和配方法可判断正确性。
(3) 证明猜想②时，利用完全平方公式将代数式配成“完全平方+常数”的形式，再根据平方的非负性推导最小值和取等条件即可。
(4) 求给定代数式最值时，先对代数式配方变形，换元后转化为$t^2+\frac{1}{t^2}$的形式，再复用前面得到的结论求解即可。
【解析】
(1) 逐一代入x计算：
当$x=-3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$；
当$x=-2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$；
当$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=1+1=2$；
当$x=-\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$；
当$x=-\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9}+9=\frac{82}{9}$；
当$x=\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9}+9=\frac{82}{9}$；
当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$；
当$x=1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=1+1=2$；
当$x=2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$；
当$x=3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$。
(2) 分析猜想：①取$x=1$时，代数式值为2，取$x=2$时，代数式值为$\frac{17}{4}＞2$，可见x增大时代数式的值也增大，故①错误，仅②正确。
(3) 证明：对代数式变形得
$x^2+\frac{1}{x^2}=x^2-2· x· \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+2=(x-\frac{1}{x})^2+2$，
∵平方具有非负性，即$(x-\frac{1}{x})^2\ge0$，
∴$x^2+\frac{1}{x^2}\ge0+2=2$，
当且仅当$x-\frac{1}{x}=0$即$x=\pm1$时，等号成立，
故当$x=\pm1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$取得最小值2。
(4) 解：先对代数式配方变形：
$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10=(x^2-6x+9)+\frac{1}{(x-3)^2}+1=(x-3)^2+\frac{1}{(x-3)^2}+1$，
令$t=x-3$，
∵$x＞3$，
∴$t＞0$，原式变为$t^2+\frac{1}{t^2}+1$，
由(3)的结论可知$t^2+\frac{1}{t^2}\ge2$，当且仅当$t=\frac{1}{t}$即$t=1$（负值舍去）时等号成立，
∴原式$\ge2+1=3$，此时$t=1$即$x-3=1$，解得$x=4$。
【答案】
(1) 表格从左到右依次为$\frac{82}{9}$、$\frac{17}{4}$、$2$、$\frac{17}{4}$、$\frac{82}{9}$、$\frac{82}{9}$、$\frac{17}{4}$、$2$、$\frac{17}{4}$、$\frac{82}{9}$；
(2) ②；
(3) 证明见解析；
(4) 最小值为3，此时$x=4$。
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是规律探究类题型，从特殊值计算到规律猜想、证明，再到规律迁移应用，层层递进，既考查了完全平方公式的灵活运用，也锻炼了逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
