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9.四个数为：$-6,-9,2,7$.将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除运算，使其结果为24，用四种方法表示.
答案
解：
方法1：$2 - (-9) + 7 - (-6) = 24$
方法2：$(-6) × [(-9) + 7 - 2] = 24$
方法3：$2 × (-9) - 7 × (-6) = 24$
方法4：$(-6) × 2 × [7 + (-9)] = 24$
方法1：$2 - (-9) + 7 - (-6) = 24$
方法2：$(-6) × [(-9) + 7 - 2] = 24$
方法3：$2 × (-9) - 7 × (-6) = 24$
方法4：$(-6) × 2 × [7 + (-9)] = 24$
解析
【分析】
解决有理数凑24的问题，可从三类常用思路入手：①直接通过加减运算凑值，注意有理数中减去负数等于加上对应正数；②利用乘法组合凑24（如±3×±8、±4×±6、±2×±12等），再结合剩余数字调整运算符号和顺序；③通过乘加、乘减的组合凑值。运算时需注意每个数只能使用一次，严格遵循有理数运算法则，重点关注负号的运算规则。
【解析】
方法1：采用加减组合运算，将减负数转化为加正数计算：
$2 - (-9) + 7 - (-6) = 2 + 9 + 7 + 6 = 24$
方法2：先凑出与$-6$相乘得24的因数$-4$，再计算：
先算括号内：$(-9) + 7 - 2 = -4$，再算乘法：$(-6) × (-4) = 24$，即$(-6) × [(-9) + 7 - 2] = 24$
方法3：采用两个乘积的差凑24，遵循负负得正的规则：
先分别计算乘法：$2 × (-9) = -18$，$7 × (-6) = -42$，再算减法：$-18 - (-42) = -18 + 42 = 24$，即$2 × (-9) - 7 × (-6) = 24$
方法4：采用连乘凑24，负因数个数为偶数时积为正：
先算括号内：$7 + (-9) = -2$，再依次计算乘法：$(-6) × 2 = -12$，$-12 × (-2) = 24$，即$(-6) × 2 × [7 + (-9)] = 24$
【答案】
方法1：$2 - (-9) + 7 - (-6) = 24$
方法2：$(-6) × [(-9) + 7 - 2] = 24$
方法3：$2 × (-9) - 7 × (-6) = 24$
方法4：$(-6) × 2 × [7 + (-9)] = 24$
【知识点】
1.有理数四则混合运算 2.有理数符号运算规则
【点评】
本题是有理数运算的典型拓展题型，需要灵活运用四则运算法则，通过调整数字组合和运算顺序凑出目标值，能有效锻炼运算熟练度和思维灵活性。
【难度系数】
0.5
解决有理数凑24的问题，可从三类常用思路入手：①直接通过加减运算凑值，注意有理数中减去负数等于加上对应正数；②利用乘法组合凑24（如±3×±8、±4×±6、±2×±12等），再结合剩余数字调整运算符号和顺序；③通过乘加、乘减的组合凑值。运算时需注意每个数只能使用一次，严格遵循有理数运算法则，重点关注负号的运算规则。
【解析】
方法1：采用加减组合运算，将减负数转化为加正数计算：
$2 - (-9) + 7 - (-6) = 2 + 9 + 7 + 6 = 24$
方法2：先凑出与$-6$相乘得24的因数$-4$，再计算：
先算括号内：$(-9) + 7 - 2 = -4$，再算乘法：$(-6) × (-4) = 24$，即$(-6) × [(-9) + 7 - 2] = 24$
方法3：采用两个乘积的差凑24，遵循负负得正的规则：
先分别计算乘法：$2 × (-9) = -18$，$7 × (-6) = -42$，再算减法：$-18 - (-42) = -18 + 42 = 24$，即$2 × (-9) - 7 × (-6) = 24$
方法4：采用连乘凑24，负因数个数为偶数时积为正：
先算括号内：$7 + (-9) = -2$，再依次计算乘法：$(-6) × 2 = -12$，$-12 × (-2) = 24$，即$(-6) × 2 × [7 + (-9)] = 24$
【答案】
方法1：$2 - (-9) + 7 - (-6) = 24$
方法2：$(-6) × [(-9) + 7 - 2] = 24$
方法3：$2 × (-9) - 7 × (-6) = 24$
方法4：$(-6) × 2 × [7 + (-9)] = 24$
【知识点】
1.有理数四则混合运算 2.有理数符号运算规则
【点评】
本题是有理数运算的典型拓展题型，需要灵活运用四则运算法则，通过调整数字组合和运算顺序凑出目标值，能有效锻炼运算熟练度和思维灵活性。
【难度系数】
0.5
10. 数学老师布置了一道思考题“计算：$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$”. 小明和小红经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题.
小明的解法：
原式$=(-\frac{1}{30})÷[(\frac{2}{3}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{10}+\frac{2}{5})]$
$=(-\frac{1}{30})÷(\frac{5}{6}-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{30})×3=-\frac{1}{10}.$
小红的解法：
原式的倒数为$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)=-20+3-5+12=-10,$
故原式$=-\frac{1}{10}.$
(1)你觉得的解法更好；
(2)请你用自己喜欢的方法解答下面的问题.
计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}).$
小明的解法：
原式$=(-\frac{1}{30})÷[(\frac{2}{3}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{10}+\frac{2}{5})]$
$=(-\frac{1}{30})÷(\frac{5}{6}-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{30})×3=-\frac{1}{10}.$
小红的解法：
原式的倒数为$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)=-20+3-5+12=-10,$
故原式$=-\frac{1}{10}.$
(1)你觉得的解法更好；
(2)请你用自己喜欢的方法解答下面的问题.
计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}).$
答案
解：
(1) 小红
(2) 先求原式的倒数：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42) - \frac{3}{14}×(-42) + \frac{2}{3}×(-42) - \frac{2}{7}×(-42)\\=&-7 + 9 - 28 + 12\\=&-14\end{aligned}$
故原式$=-\frac{1}{14}$
(1) 小红
(2) 先求原式的倒数：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42) - \frac{3}{14}×(-42) + \frac{2}{3}×(-42) - \frac{2}{7}×(-42)\\=&-7 + 9 - 28 + 12\\=&-14\end{aligned}$
故原式$=-\frac{1}{14}$
解析
【分析】
(1) 对比两人的解法：小明的解法需要先对括号内的分数通分计算加减，再做除法，计算量较大；小红的解法利用倒数的性质，先求原式的倒数，将除法转化为乘法后用乘法分配律计算，不需要复杂通分，步骤更简便、出错率更低，因此小红的解法更好。
(2) 计算第二问时可参考小红的简便方法：先求原式的倒数，把除法运算转化为乘法运算，利用乘法分配律展开算出倒数的结果，最后对结果取倒数即可得到原式的值，比直接先算括号内的加减更简便。
【解析】
(1) 由上述分析可知，小红的解法更简便，故填小红。
(2) 先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42) - \frac{3}{14}×(-42) + \frac{2}{3}×(-42) - \frac{2}{7}×(-42)\\=&-7 + 9 - 28 + 12\\=&-14\end{aligned}$
因为倒数的计算结果为-14，因此原式$=-\frac{1}{14}$。
【答案】
(1) 小红；(2) $-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数的除法；倒数的性质；乘法分配律
【点评】
本题考查有理数除法的简便运算技巧，当除数是多个分数的加减运算时，先求原式的倒数，将除法转化为乘法后结合乘法分配律计算，能有效简化计算过程，降低计算失误率，解题时要灵活选择合适的运算方法。
【难度系数】
0.7
(1) 对比两人的解法：小明的解法需要先对括号内的分数通分计算加减，再做除法，计算量较大；小红的解法利用倒数的性质，先求原式的倒数，将除法转化为乘法后用乘法分配律计算，不需要复杂通分，步骤更简便、出错率更低，因此小红的解法更好。
(2) 计算第二问时可参考小红的简便方法：先求原式的倒数，把除法运算转化为乘法运算，利用乘法分配律展开算出倒数的结果，最后对结果取倒数即可得到原式的值，比直接先算括号内的加减更简便。
【解析】
(1) 由上述分析可知，小红的解法更简便，故填小红。
(2) 先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})\\=&(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)\\=&\frac{1}{6}×(-42) - \frac{3}{14}×(-42) + \frac{2}{3}×(-42) - \frac{2}{7}×(-42)\\=&-7 + 9 - 28 + 12\\=&-14\end{aligned}$
因为倒数的计算结果为-14，因此原式$=-\frac{1}{14}$。
【答案】
(1) 小红；(2) $-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数的除法；倒数的性质；乘法分配律
【点评】
本题考查有理数除法的简便运算技巧，当除数是多个分数的加减运算时，先求原式的倒数，将除法转化为乘法后结合乘法分配律计算，能有效简化计算过程，降低计算失误率，解题时要灵活选择合适的运算方法。
【难度系数】
0.7
11. 比较$\frac{7}{8}$与$\frac{6}{7}$的大小.
方法一:利用两数的差的正负来判断.
因为$\frac{7}{8}-\frac{6}{7}=\frac{49}{56}-\frac{48}{56}=\frac{1}{56}＞0$,所以$\frac{7}{8}＞\frac{6}{7}$.
方法二:利用两数的商,看商是大于1还是小于1来判断.
因为$\frac{7}{8}÷\frac{6}{7}=\frac{7}{8}×\frac{7}{6}=\frac{49}{48}$,因为$\frac{49}{48}＞1$,所以$\frac{7}{8}＞\frac{6}{7}$.
请从以上两种方法中任选一种你认为简单的方法比较下列有理数的大小:
(1)$-\frac{2}{5}$和$-\frac{5}{7}$;
(2)$-\frac{21}{2024}$和$-\frac{42}{2025}$.
方法一:利用两数的差的正负来判断.
因为$\frac{7}{8}-\frac{6}{7}=\frac{49}{56}-\frac{48}{56}=\frac{1}{56}＞0$,所以$\frac{7}{8}＞\frac{6}{7}$.
方法二:利用两数的商,看商是大于1还是小于1来判断.
因为$\frac{7}{8}÷\frac{6}{7}=\frac{7}{8}×\frac{7}{6}=\frac{49}{48}$,因为$\frac{49}{48}＞1$,所以$\frac{7}{8}＞\frac{6}{7}$.
请从以上两种方法中任选一种你认为简单的方法比较下列有理数的大小:
(1)$-\frac{2}{5}$和$-\frac{5}{7}$;
(2)$-\frac{21}{2024}$和$-\frac{42}{2025}$.
答案
解：
(1) 选用作差法比较：
因为 $-\frac{2}{5} - (-\frac{5}{7}) = -\frac{14}{35} + \frac{25}{35} = \frac{11}{35} ＞ 0$，
所以 $-\frac{2}{5} ＞ -\frac{5}{7}$。
(2) 选用作差法比较：
因为 $-\frac{21}{2024} - (-\frac{42}{2025}) = -\frac{21}{2024} + \frac{42}{2025}$
$= \frac{-21×2025 + 42×2024}{2024×2025}$
$= \frac{21×(-2025 + 2×2024)}{2024×2025}$
$= \frac{21×2023}{2024×2025} ＞ 0$，
所以 $-\frac{21}{2024} ＞ -\frac{42}{2025}$。
(1) 选用作差法比较：
因为 $-\frac{2}{5} - (-\frac{5}{7}) = -\frac{14}{35} + \frac{25}{35} = \frac{11}{35} ＞ 0$，
所以 $-\frac{2}{5} ＞ -\frac{5}{7}$。
(2) 选用作差法比较：
因为 $-\frac{21}{2024} - (-\frac{42}{2025}) = -\frac{21}{2024} + \frac{42}{2025}$
$= \frac{-21×2025 + 42×2024}{2024×2025}$
$= \frac{21×(-2025 + 2×2024)}{2024×2025}$
$= \frac{21×2023}{2024×2025} ＞ 0$，
所以 $-\frac{21}{2024} ＞ -\frac{42}{2025}$。
解析
【分析】
我们可以选用题目给出的作差法比较两个有理数的大小，作差法的核心规则为：若两个数a、b满足a - b ＞ 0，则a ＞ b；若a - b ＜ 0，则a ＜ b，该规则对负数的大小比较同样适用。解题步骤如下：①先对两个数作差，②通分后计算差的结果，③根据差的正负判断两个数的大小。第二问计算差的分子时，可提取公因式21简化计算，避免大数运算出错。
【解析】
(1) 选用作差法比较：
计算两数的差：$-\frac{2}{5} - (-\frac{5}{7}) = -\frac{14}{35} + \frac{25}{35} = \frac{11}{35}$，
因为$\frac{11}{35} ＞ 0$，所以$-\frac{2}{5} ＞ -\frac{5}{7}$。
(2) 选用作差法比较：
计算两数的差：$-\frac{21}{2024} - (-\frac{42}{2025}) = -\frac{21}{2024} + \frac{42}{2025}$
通分后可得：$\frac{-21×2025 + 42×2024}{2024×2025}$
对分子提取公因式21化简：$\frac{21×(-2025 + 2×2024)}{2024×2025}=\frac{21×2023}{2024×2025}$，
因为$\frac{21×2023}{2024×2025} ＞ 0$，所以$-\frac{21}{2024} ＞ -\frac{42}{2025}$。
【答案】
(1) $-\frac{2}{5} ＞ -\frac{5}{7}$；(2) $-\frac{21}{2024} ＞ -\frac{42}{2025}$
【知识点】
有理数大小比较，有理数减法运算，分数通分
【点评】
作差法是有理数大小比较的常用方法，解题时要注意通分的准确性，遇到大数运算时可观察式子特点，通过提取公因式简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
我们可以选用题目给出的作差法比较两个有理数的大小，作差法的核心规则为：若两个数a、b满足a - b ＞ 0，则a ＞ b；若a - b ＜ 0，则a ＜ b，该规则对负数的大小比较同样适用。解题步骤如下：①先对两个数作差，②通分后计算差的结果，③根据差的正负判断两个数的大小。第二问计算差的分子时，可提取公因式21简化计算，避免大数运算出错。
【解析】
(1) 选用作差法比较：
计算两数的差：$-\frac{2}{5} - (-\frac{5}{7}) = -\frac{14}{35} + \frac{25}{35} = \frac{11}{35}$，
因为$\frac{11}{35} ＞ 0$，所以$-\frac{2}{5} ＞ -\frac{5}{7}$。
(2) 选用作差法比较：
计算两数的差：$-\frac{21}{2024} - (-\frac{42}{2025}) = -\frac{21}{2024} + \frac{42}{2025}$
通分后可得：$\frac{-21×2025 + 42×2024}{2024×2025}$
对分子提取公因式21化简：$\frac{21×(-2025 + 2×2024)}{2024×2025}=\frac{21×2023}{2024×2025}$，
因为$\frac{21×2023}{2024×2025} ＞ 0$，所以$-\frac{21}{2024} ＞ -\frac{42}{2025}$。
【答案】
(1) $-\frac{2}{5} ＞ -\frac{5}{7}$；(2) $-\frac{21}{2024} ＞ -\frac{42}{2025}$
【知识点】
有理数大小比较，有理数减法运算，分数通分
【点评】
作差法是有理数大小比较的常用方法，解题时要注意通分的准确性，遇到大数运算时可观察式子特点，通过提取公因式简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
