4.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(4,2),点B坐标为(1,−3),在y轴上有一点P使PA+PB的值最小,则点P的坐标为().


A.(2,0)
B.(−2,0)
C.(0,2)
D.(0,−2)

D 解析 如图,设过点A,且分别与x轴、y轴垂直的直线分别交x轴、y轴于点H,E,作点B关于y轴的对称点B',BB'交y轴于点D,直线AH,BB'交于点C,连接AB',交y轴于点P,此时AP+PB=AP+PB'=AB'的值最小.

∵点B坐标为(1,−3),
∴B'(−1,−3),
∴B'C=AC=5,
∴∠AB'C=45°,
∴PD=B'D=1.
∵OD=|−3|=3,
∴OP=2,
∴P(0,−2).
故选D.

5. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 10$，$△ ABC$的面积是40，$AD$平分$∠ BAC$. 若$P,Q$分别是$AD$和$AC$上的动点，则$PC+PQ$的最小值是.

8 解析
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD垂直平分BC.
如图,过点B作BQ⊥AC于点Q,BQ交AD于点P,则此时PC+PQ取最小值,最小值为BQ的长.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BQ=\frac{1}{2}×10×BQ=40$,
∴BQ=8.

6.已知M,N两地间隔两条河流,第一条河流的河岸为直线j,k,第二条河流的河岸为直线l,g,所有的河岸皆平行.现要在两条河上分别修两座桥AB,CD,两座桥修在何处,才能使从M到N的路径M—A—B—C—D—N最短?且河上的桥必须与河岸垂直.(要求:保留作图痕迹,不写画法)

解 如图,两座桥AB,CD即为所求.

7. 如图，在$△ ABC$区域内，小羊从路边AB某点出发跑到水沟边AC喝水，然后跑向路边BC吃草，最后跑回到出发点处休息，为使所跑总路程最短，小羊应从AB边上的哪一点出发？又按怎样的路线奔跑？

解 如图①,在AB上取一点P.作点P关于AC的对称点P',关于BC的对称点P'',连接CP,CP',CP'',P'P'',P'P''交AC于点K,交BC于点T,

由对称性可知,CP'=CP=CP'',∠P'CA=∠PCA,∠P''CB=∠PCB,PK=P'K,PT=P''T,
∴PK+KT+PT=P'K+KT+P''T.
∵P',K,T,P''共线,
∴从点P出发,此时PK+KT+PT=P'P''最小.
∵∠P'CA=∠PCA,∠P''CB=∠PCB,
∴∠P'CA+∠P''CB=∠PCA+∠PCB=∠ACB,
∴∠P'CP''=2∠ACB,
∴△P'CP''是顶角固定的等腰三角形.
当腰长最小时,底边P'P''最小,即当CP最小时,小羊奔跑的路线最短,如图②,

∴过点C作AB的垂线,垂足P即为小羊出发的点,此时沿路线P→K→T→P奔跑,所跑总路程最短.