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1.(2025·淮安期末)根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
答案
解:任务1:设该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是x,根据题意，
得1000(1+x)²=1440,解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2
(不合题意,舍去).
答:该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是20%.
任务2:设该款水果茶应该降价y元,则每杯的利润为
(21-y-9)元，
月销售量为(1600+100y)杯,根据题意,得
(21-y-9)(1600+100y)=16000，
整理,得y²+4y-32=0，
解得y₁=4,y₂=-8(不合题意,舍去).
答:该款水果茶应该降价4元.
得1000(1+x)²=1440,解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2
(不合题意,舍去).
答:该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是20%.
任务2:设该款水果茶应该降价y元,则每杯的利润为
(21-y-9)元，
月销售量为(1600+100y)杯,根据题意,得
(21-y-9)(1600+100y)=16000，
整理,得y²+4y-32=0，
解得y₁=4,y₂=-8(不合题意,舍去).
答:该款水果茶应该降价4元.
解析
【分析】
解题可分两个任务逐步完成：
1. 任务1求解月平均增长率：属于典型的增长率问题，通用公式为“初始量×(1+增长率)ⁿ=第n期后的量”，本题中5月销售量是初始量1000杯，到7月经过了2个月，最终销售量是1440杯，设月平均增长率为x，代入公式即可列方程求解，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的解。
2. 任务2求解降价幅度：属于销售利润问题，核心等量关系是“总利润=单杯利润×销售量”。设降价y元，单杯利润=原售价-成本-降价金额，销售量=原销售量+降价带来的新增销量，将两个量代入等量关系列方程，同样降价金额不能为负，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
任务1
设该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是x，根据题意得：
$1000(1+x)^2=1440$
解得：$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$
即$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
任务2
设该款水果茶应该降价y元，此时每杯的利润为$(21-y-9)$元，月销售量为$(1600+100y)$杯，根据总利润为16000元得：
$(21-y-9)(1600+100y)=16000$
整理得：$y^2+4y-32=0$
解得$y_1=4$，$y_2=-8$（降价金额不能为负，不合题意，舍去）。
【答案】
任务1：该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是20%；
任务2：该款水果茶应该降价4元。
【知识点】
1. 增长率问题
2. 销售利润问题
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合奶茶销售的生活实际场景，考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准不同场景下的等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，属于贴近生活的应用型题目，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题可分两个任务逐步完成：
1. 任务1求解月平均增长率：属于典型的增长率问题，通用公式为“初始量×(1+增长率)ⁿ=第n期后的量”，本题中5月销售量是初始量1000杯，到7月经过了2个月，最终销售量是1440杯，设月平均增长率为x，代入公式即可列方程求解，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的解。
2. 任务2求解降价幅度：属于销售利润问题，核心等量关系是“总利润=单杯利润×销售量”。设降价y元，单杯利润=原售价-成本-降价金额，销售量=原销售量+降价带来的新增销量，将两个量代入等量关系列方程，同样降价金额不能为负，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
任务1
设该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是x，根据题意得：
$1000(1+x)^2=1440$
解得：$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$
即$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
任务2
设该款水果茶应该降价y元，此时每杯的利润为$(21-y-9)$元，月销售量为$(1600+100y)$杯，根据总利润为16000元得：
$(21-y-9)(1600+100y)=16000$
整理得：$y^2+4y-32=0$
解得$y_1=4$，$y_2=-8$（降价金额不能为负，不合题意，舍去）。
【答案】
任务1：该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是20%；
任务2：该款水果茶应该降价4元。
【知识点】
1. 增长率问题
2. 销售利润问题
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合奶茶销售的生活实际场景，考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准不同场景下的等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，属于贴近生活的应用型题目，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
2.【项目介绍】
学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案.九年级(3)班的同学决定利用一节活动课展开此项目探究.
【任务一】测量矩形空地的长和宽.
经测量，矩形空地的长为8米，宽为6米.
【任务二】拟定设计方案，按照1：100的比例尺画出设计图纸.
(1)第一小组方案：
步骤一:在图纸上画出矩形ABCD的宽AB为6厘米，在AD边上确定中点H，则AH的长应为
步骤二:在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形进行绿化，其余部分作为花坛，如图①.该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半.
(2)第二小组方案：
按照如图②所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛.请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求.
(3)第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：
在图③中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度.
【任务三】学校后期从同学们的投稿中，选取合适的方案，按照图纸进行绿化.
学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案.九年级(3)班的同学决定利用一节活动课展开此项目探究.
【任务一】测量矩形空地的长和宽.
经测量，矩形空地的长为8米，宽为6米.
【任务二】拟定设计方案，按照1：100的比例尺画出设计图纸.
(1)第一小组方案：
步骤一:在图纸上画出矩形ABCD的宽AB为6厘米，在AD边上确定中点H，则AH的长应为
4厘米
；步骤二:在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形进行绿化，其余部分作为花坛，如图①.该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半.
(2)第二小组方案：
按照如图②所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛.请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求.
(3)第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：
在图③中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度.
【任务三】学校后期从同学们的投稿中，选取合适的方案，按照图纸进行绿化.
答案
(1)4厘米
(2)解:设小路的宽为x厘米时符合设计要求，
则(6-x)(8-x)=1/2×6×8,即x²-14x+24=0，
∴x₁=2,x₂=12(不符合题意,舍去)，
∴小路的宽为2厘米时符合设计要求.
(3)解:(答案不唯一)如答图,连接AC,BD交于点O.
∵四边形ABCD是矩形,AD=BC=8米,AB=CD=6米，
∴AC=BD=√(6²+8²)=10(米)，
∴OA=OC=5米,OB=OD=5米.
可证S△AOD=S△BOC=S△AOB=S△COD，
∴S阴影=1/2 S矩形ABCD,阴影部分是轴对称图形.
∴该设计符合要求.
解析
【分析】
(1) 首先根据比例尺1:100，将实际长8米换算为图纸上的长度，再结合中点的性质即可求出AH的长度。
(2) 要求绿化面积为矩形面积的一半，即花坛面积为原矩形面积的一半。将四个花坛向中间平移，可拼接为一个长为(8-x)厘米、宽为(6-x)厘米的矩形，根据拼接后矩形面积等于原矩形面积的一半列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根即可得到小路宽度。
(3) 设计需满足两个要求：花坛为轴对称图形，且面积为矩形面积的一半。可利用矩形对角线的性质设计：矩形对角线将矩形分成四个面积相等的三角形，选取相对的两个三角形作为花坛，既满足轴对称特征，面积也符合要求，也可设计其他合理方案。
【解析】
(1) 实际长AD为8米=800厘米，按照1:100的比例尺，图纸上AD的长度为$800×\frac{1}{100}=8$厘米，
∵H是AD的中点，
∴$AH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$厘米。
(2) 设小路的宽为x厘米时符合设计要求。
将四个花坛平移拼接后，可得新的矩形长为(8-x)厘米，宽为(6-x)厘米，根据花坛面积为原矩形面积的一半，列方程：
$(6-x)(8-x)=\frac{1}{2}×6×8$
整理得：$x^2-14x+24=0$
因式分解得：$(x-2)(x-12)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=12$。
∵矩形的宽仅为6厘米，$x=12$不符合实际，故舍去。
∴小路的宽为2厘米时符合设计要求。
(3) (答案不唯一)示例如下：
连接矩形ABCD的对角线AC、BD，交于点O，将△AOD和△BOC涂上阴影作为花坛。
∵四边形ABCD是矩形，
∴图纸上AD=BC=8厘米，AB=CD=6厘米，对角线AC、BD相等且互相平分，
∴$AC=BD=\sqrt{6^2+8^2}=10$厘米，$OA=OB=OC=OD=5$厘米。
可证$S_{△ AOD}=S_{△ BOC}=S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，因此$S_{阴影}=S_{△ AOD}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}$，且阴影部分是轴对称图形，符合设计要求。
【答案】
(1) 4厘米
(2) 小路的宽为2厘米时符合设计要求。
(3) 答案不唯一，示例如答图：
【知识点】
比例尺的应用；一元二次方程的实际应用；轴对称图形的性质
【点评】
本题结合校园设计的实际场景设置梯度合理的问题，既考查了比例尺计算、一元二次方程解决面积问题等基础知识点，又通过开放设计类问题培养学生的知识迁移能力和创新思维，贴近生活实际，能有效提升学生运用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据比例尺1:100，将实际长8米换算为图纸上的长度，再结合中点的性质即可求出AH的长度。
(2) 要求绿化面积为矩形面积的一半，即花坛面积为原矩形面积的一半。将四个花坛向中间平移，可拼接为一个长为(8-x)厘米、宽为(6-x)厘米的矩形，根据拼接后矩形面积等于原矩形面积的一半列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根即可得到小路宽度。
(3) 设计需满足两个要求：花坛为轴对称图形，且面积为矩形面积的一半。可利用矩形对角线的性质设计：矩形对角线将矩形分成四个面积相等的三角形，选取相对的两个三角形作为花坛，既满足轴对称特征，面积也符合要求，也可设计其他合理方案。
【解析】
(1) 实际长AD为8米=800厘米，按照1:100的比例尺，图纸上AD的长度为$800×\frac{1}{100}=8$厘米，
∵H是AD的中点，
∴$AH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$厘米。
(2) 设小路的宽为x厘米时符合设计要求。
将四个花坛平移拼接后，可得新的矩形长为(8-x)厘米，宽为(6-x)厘米，根据花坛面积为原矩形面积的一半，列方程：
$(6-x)(8-x)=\frac{1}{2}×6×8$
整理得：$x^2-14x+24=0$
因式分解得：$(x-2)(x-12)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=12$。
∵矩形的宽仅为6厘米，$x=12$不符合实际，故舍去。
∴小路的宽为2厘米时符合设计要求。
(3) (答案不唯一)示例如下：
连接矩形ABCD的对角线AC、BD，交于点O，将△AOD和△BOC涂上阴影作为花坛。
∵四边形ABCD是矩形，
∴图纸上AD=BC=8厘米，AB=CD=6厘米，对角线AC、BD相等且互相平分，
∴$AC=BD=\sqrt{6^2+8^2}=10$厘米，$OA=OB=OC=OD=5$厘米。
可证$S_{△ AOD}=S_{△ BOC}=S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，因此$S_{阴影}=S_{△ AOD}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}$，且阴影部分是轴对称图形，符合设计要求。
【答案】
(1) 4厘米
(2) 小路的宽为2厘米时符合设计要求。
(3) 答案不唯一，示例如答图：
【知识点】
比例尺的应用；一元二次方程的实际应用；轴对称图形的性质
【点评】
本题结合校园设计的实际场景设置梯度合理的问题，既考查了比例尺计算、一元二次方程解决面积问题等基础知识点，又通过开放设计类问题培养学生的知识迁移能力和创新思维，贴近生活实际，能有效提升学生运用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
