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9.已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$(m+2)x^2+2(m-2)x+m+10=0$的两实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)已知等腰$△ ABC$的底边$BC=4$，若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长，求这个三角形的周长.
(1)求$m$的取值范围；
(2)已知等腰$△ ABC$的底边$BC=4$，若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长，求这个三角形的周长.
答案
9.解:(1)由题意,得$b^2-4ac=[2(m-2)]^2-4(m+2)(m+10)≥0$,解得$m≤-1$，
又
∵该方程是一元二次方程，
∴$m+2≠0$,解得$m≠-2$，
∴$m$的取值范围是$m≤-1$且$m≠-2$.
(2)由题意,得$b^2-4ac=[2(m-2)]^2-4(m+2)(m+10)=0$,解得$m=-1$，
此时方程为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$.
∵3,3,4能组成等腰三角形，
∴这个三角形的周长为$3+3+4=10$.
又
∵该方程是一元二次方程，
∴$m+2≠0$,解得$m≠-2$，
∴$m$的取值范围是$m≤-1$且$m≠-2$.
(2)由题意,得$b^2-4ac=[2(m-2)]^2-4(m+2)(m+10)=0$,解得$m=-1$，
此时方程为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$.
∵3,3,4能组成等腰三角形，
∴这个三角形的周长为$3+3+4=10$.
10. 一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$与$x^2 -x +3=0$的所有实数根的和等于 （
A.2
B.$-4$
C.$4$
D.$3$
D
）A.2
B.$-4$
C.$4$
D.$3$
答案
10.D
11.(2025·宿迁宿豫区期末)若$x_1$,$x_2$是关于$x$的一元二次方程$mx^2-(m+2)x+\frac{m}{4}=0$的两个不相等的实数根，且满足$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=4m$，则$m$的值为
2
.答案
11.2
12.关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有实数根，若两根为$x_1,x_2$且$x_1^2+x_2^2=7$.求$m$的值.
答案
12.解:
∵关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有实数根，
∴$b^2-4ac=(2m-1)^2-4×1× m^2=-4m+1≥0$，
解得$m≤\frac{1}{4}$.
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$的两个实数根，
∴$x_1+x_2=1-2m,x_1x_2=m^2$，
∴$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$，
即$(1-2m)^2-2m^2=7$，
整理,得$m^2-2m-3=0$,解得$m_1=-1,m_2=3$.
又
∵$m≤\frac{1}{4},\therefore m=-1$.
∵关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有实数根，
∴$b^2-4ac=(2m-1)^2-4×1× m^2=-4m+1≥0$，
解得$m≤\frac{1}{4}$.
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$的两个实数根，
∴$x_1+x_2=1-2m,x_1x_2=m^2$，
∴$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$，
即$(1-2m)^2-2m^2=7$，
整理,得$m^2-2m-3=0$,解得$m_1=-1,m_2=3$.
又
∵$m≤\frac{1}{4},\therefore m=-1$.
13.已知关于$x$的方程$x^2 - mx +10=0$的两根$a,b$是一个直角三角形的两直角边长，若该三角形的斜边长为5，则$m=$
$3\sqrt{5}$
。答案
13.$3\sqrt{5}$
14.△ABC的一边长为5，另外两边的长恰好是方程$2x^2 - 12x + m = 0$的两个根，则m的取值范围为
$\frac{11}{2}＜m≤18$
。答案
14.$\frac{11}{2}＜m≤18$
15.在等腰三角形ABC中,其两边长为方程$x^2 - mx + 3 = 0$的两个根,已知等腰三角形ABC的一边长为3,则△ABC的周长为
$2\sqrt{3}+3$或7
.答案
15.$2\sqrt{3}+3$或7
16.(2025·苏州一模)某商品进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克.后经市场调查发现,单价每降低1元,平均每天的销售量可增加10千克.商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元,且销售量尽可能大,则每千克这种商品应定价为
54
元.答案
16.54
17.在等腰三角形$ABC$中，两边的长分别为$a,b$，其中$a=5$，若关于$x$的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，求$△ ABC$的周长。
答案
17.解:
∵关于$x$的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴$(b+2)^2-4(6-b)=0$,即$b^2+8b-20=0$，
解得$b=2$或$b=-10$(舍去).
①当$a$为底,$b$为腰时,$2+2＜5$,构不成三角形,此种情况不成立.
②当$b$为底,$a$为腰时,$5-5＜2＜5+5$,能构成三角形，此时$△ABC$的周长为$5+5+2=12$.
综上,$△ABC$的周长是12.
∵关于$x$的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴$(b+2)^2-4(6-b)=0$,即$b^2+8b-20=0$，
解得$b=2$或$b=-10$(舍去).
①当$a$为底,$b$为腰时,$2+2＜5$,构不成三角形,此种情况不成立.
②当$b$为底,$a$为腰时,$5-5＜2＜5+5$,能构成三角形，此时$△ABC$的周长为$5+5+2=12$.
综上,$△ABC$的周长是12.
