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9.已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$(m+2)x^2+2(m-2)x+m+10=0$的两实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)已知等腰$△ ABC$的底边$BC=4$，若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长，求这个三角形的周长.
(1)求$m$的取值范围；
(2)已知等腰$△ ABC$的底边$BC=4$，若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长，求这个三角形的周长.
答案
9.解:(1)由题意,得$b^2-4ac=[2(m-2)]^2-4(m+2)(m+10)≥0$,解得$m≤-1$，
又
∵该方程是一元二次方程，
∴$m+2≠0$,解得$m≠-2$，
∴$m$的取值范围是$m≤-1$且$m≠-2$.
(2)由题意,得$b^2-4ac=[2(m-2)]^2-4(m+2)(m+10)=0$,解得$m=-1$，
此时方程为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$.
∵3,3,4能组成等腰三角形，
∴这个三角形的周长为$3+3+4=10$.
又
∵该方程是一元二次方程，
∴$m+2≠0$,解得$m≠-2$，
∴$m$的取值范围是$m≤-1$且$m≠-2$.
(2)由题意,得$b^2-4ac=[2(m-2)]^2-4(m+2)(m+10)=0$,解得$m=-1$，
此时方程为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$.
∵3,3,4能组成等腰三角形，
∴这个三角形的周长为$3+3+4=10$.
解析
【分析】
(1) 求解m的取值范围需同时满足两个条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
(2) 等腰三角形底边为4，说明另外两边是腰，长度相等，即一元二次方程有两个相等的实数根，因此根的判别式等于0，先求出m的值，再代入方程求解得到腰长，最后验证三边满足三角形三边关系后计算周长即可。
【解析】
(1) 由题意得，方程有两个实数根且为一元二次方程：
首先计算根的判别式：
$b^2-4ac=[2(m-2)]^2-4(m+2)(m+10)≥0$
化简得：$-16m-16≥0$，解得$m≤-1$
又
∵该方程是一元二次方程，
∴$m+2≠0$，解得$m≠-2$
综上，m的取值范围是$m≤-1$且$m≠-2$。
(2)
∵等腰△ABC的底边BC=4，$x_1,x_2$是另外两边的边长，因此$x_1=x_2$，即方程有两个相等的实数根
∴$b^2-4ac=[2(m-2)]^2-4(m+2)(m+10)=0$，解得$m=-1$
将$m=-1$代入原方程得：$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$
∵3、3、4满足三角形三边关系，可构成等腰三角形
∴三角形周长为$3+3+4=10$
【答案】
(1) $m≤-1$且$m≠-2$；(2) 10
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，等腰三角形的性质
【点评】
本题是代数与几何的综合题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时要结合等腰三角形的性质准确判断方程根的情况，最后注意验证三边是否满足三角形三边关系，避免出现错误结果。
【难度系数】
0.7
(1) 求解m的取值范围需同时满足两个条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
(2) 等腰三角形底边为4，说明另外两边是腰，长度相等，即一元二次方程有两个相等的实数根，因此根的判别式等于0，先求出m的值，再代入方程求解得到腰长，最后验证三边满足三角形三边关系后计算周长即可。
【解析】
(1) 由题意得，方程有两个实数根且为一元二次方程：
首先计算根的判别式：
$b^2-4ac=[2(m-2)]^2-4(m+2)(m+10)≥0$
化简得：$-16m-16≥0$，解得$m≤-1$
又
∵该方程是一元二次方程，
∴$m+2≠0$，解得$m≠-2$
综上，m的取值范围是$m≤-1$且$m≠-2$。
(2)
∵等腰△ABC的底边BC=4，$x_1,x_2$是另外两边的边长，因此$x_1=x_2$，即方程有两个相等的实数根
∴$b^2-4ac=[2(m-2)]^2-4(m+2)(m+10)=0$，解得$m=-1$
将$m=-1$代入原方程得：$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$
∵3、3、4满足三角形三边关系，可构成等腰三角形
∴三角形周长为$3+3+4=10$
【答案】
(1) $m≤-1$且$m≠-2$；(2) 10
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，等腰三角形的性质
【点评】
本题是代数与几何的综合题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时要结合等腰三角形的性质准确判断方程根的情况，最后注意验证三边是否满足三角形三边关系，避免出现错误结果。
【难度系数】
0.7
10. 一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$与$x^2 -x +3=0$的所有实数根的和等于 （
A.2
B.$-4$
C.$4$
D.$3$
D
）A.2
B.$-4$
C.$4$
D.$3$
答案
10.D
解析
【分析】
要计算两个一元二次方程所有实数根的和，首先需要通过判别式判断每个方程是否存在实数根：若判别式小于0，则方程无实数根，无需计算根的和；若判别式大于等于0，再利用根与系数的关系计算该方程两根之和，最后将所有有实根的方程的根的和相加即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta≥0$时方程有实数根，且两根之和为$-\frac{b}{a}$。
① 分析方程$x^2 - 3x -1=0$：
此处$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，
$\Delta=(-3)^2 - 4×1×(-1)=13＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根，两根之和为$-\frac{-3}{1}=3$。
② 分析方程$x^2 -x +3=0$：
此处$a=1$，$b=-1$，$c=3$，
$\Delta=(-1)^2 - 4×1×3=-11＜0$，因此该方程没有实数根，无需计算根的和。
综上，两个方程的所有实数根的和为3，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于易错题，解题时要先判断方程是否有实数根，不能直接对两个方程都用韦达定理计算根的和再相加，否则容易误将无实根方程的两根之和算入，得到错误结果。
【难度系数】
0.6
要计算两个一元二次方程所有实数根的和，首先需要通过判别式判断每个方程是否存在实数根：若判别式小于0，则方程无实数根，无需计算根的和；若判别式大于等于0，再利用根与系数的关系计算该方程两根之和，最后将所有有实根的方程的根的和相加即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta≥0$时方程有实数根，且两根之和为$-\frac{b}{a}$。
① 分析方程$x^2 - 3x -1=0$：
此处$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，
$\Delta=(-3)^2 - 4×1×(-1)=13＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根，两根之和为$-\frac{-3}{1}=3$。
② 分析方程$x^2 -x +3=0$：
此处$a=1$，$b=-1$，$c=3$，
$\Delta=(-1)^2 - 4×1×3=-11＜0$，因此该方程没有实数根，无需计算根的和。
综上，两个方程的所有实数根的和为3，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于易错题，解题时要先判断方程是否有实数根，不能直接对两个方程都用韦达定理计算根的和再相加，否则容易误将无实根方程的两根之和算入，得到错误结果。
【难度系数】
0.6
11.(2025·宿迁宿豫区期末)若$x_1$,$x_2$是关于$x$的一元二次方程$mx^2-(m+2)x+\frac{m}{4}=0$的两个不相等的实数根，且满足$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=4m$，则$m$的值为
2
.答案
11.2
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，题干明确是一元二次方程且有两个不相等的实数根，因此首先要确定参数m的限制条件：①二次项系数不为0；②根的判别式Δ＞0，先得到m的初步取值范围。其次，给出的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$可通过通分转化为用两根之和、两根之积表达的形式，再结合韦达定理（根与系数的关系），将两根和、两根积用含m的代数式代入，即可得到关于m的方程，最后求解方程并结合之前得到的m的取值范围舍去不符合要求的解，就能得到正确结果。
【解析】
∵ 方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根
∴ 满足以下条件：
1. 二次项系数不为0：$m≠0$
2. 判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=[-(m+2)]^2 - 4× m× \frac{m}{4}=m^2+4m+4 - m^2=4m+4＞0$
解得$m＞-1$
综上，$m$的取值范围为$m＞-1$且$m≠0$
根据韦达定理，方程的两根满足：
$x_1+x_2=\frac{m+2}{m}$，$x_1x_2=\frac{\frac{m}{4}}{m}=\frac{1}{4}$
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
代入已知条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=4m$，得：
$\frac{\frac{m+2}{m}}{\frac{1}{4}}=4m$
化简得：$\frac{4(m+2)}{m}=4m$
两边同除以4得：$\frac{m+2}{m}=m$
两边同乘$m$（$m≠0$）得：$m+2=m^2$
整理为一元二次方程标准形式：$m^2 - m - 2=0$
因式分解得：$(m-2)(m+1)=0$
解得$m=2$或$m=-1$
结合之前得到的$m＞-1$且$m≠0$的取值范围，舍去$m=-1$，故$m=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的综合应用题型，易错点是求解出m的解后，容易忽略二次项系数不为0、判别式大于0的限制条件，导致得到增根。解题时要养成先确定参数取值范围，再求解方程，最后验证解是否符合范围的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：首先，题干明确是一元二次方程且有两个不相等的实数根，因此首先要确定参数m的限制条件：①二次项系数不为0；②根的判别式Δ＞0，先得到m的初步取值范围。其次，给出的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$可通过通分转化为用两根之和、两根之积表达的形式，再结合韦达定理（根与系数的关系），将两根和、两根积用含m的代数式代入，即可得到关于m的方程，最后求解方程并结合之前得到的m的取值范围舍去不符合要求的解，就能得到正确结果。
【解析】
∵ 方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根
∴ 满足以下条件：
1. 二次项系数不为0：$m≠0$
2. 判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=[-(m+2)]^2 - 4× m× \frac{m}{4}=m^2+4m+4 - m^2=4m+4＞0$
解得$m＞-1$
综上，$m$的取值范围为$m＞-1$且$m≠0$
根据韦达定理，方程的两根满足：
$x_1+x_2=\frac{m+2}{m}$，$x_1x_2=\frac{\frac{m}{4}}{m}=\frac{1}{4}$
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
代入已知条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=4m$，得：
$\frac{\frac{m+2}{m}}{\frac{1}{4}}=4m$
化简得：$\frac{4(m+2)}{m}=4m$
两边同除以4得：$\frac{m+2}{m}=m$
两边同乘$m$（$m≠0$）得：$m+2=m^2$
整理为一元二次方程标准形式：$m^2 - m - 2=0$
因式分解得：$(m-2)(m+1)=0$
解得$m=2$或$m=-1$
结合之前得到的$m＞-1$且$m≠0$的取值范围，舍去$m=-1$，故$m=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的综合应用题型，易错点是求解出m的解后，容易忽略二次项系数不为0、判别式大于0的限制条件，导致得到增根。解题时要养成先确定参数取值范围，再求解方程，最后验证解是否符合范围的习惯。
【难度系数】
0.6
12.关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有实数根，若两根为$x_1,x_2$且$x_1^2+x_2^2=7$.求$m$的值.
答案
12.解:
∵关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有实数根，
∴$b^2-4ac=(2m-1)^2-4×1× m^2=-4m+1≥0$，
解得$m≤\frac{1}{4}$.
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$的两个实数根，
∴$x_1+x_2=1-2m,x_1x_2=m^2$，
∴$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$，
即$(1-2m)^2-2m^2=7$，
整理,得$m^2-2m-3=0$,解得$m_1=-1,m_2=3$.
又
∵$m≤\frac{1}{4},\therefore m=-1$.
∵关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有实数根，
∴$b^2-4ac=(2m-1)^2-4×1× m^2=-4m+1≥0$，
解得$m≤\frac{1}{4}$.
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$的两个实数根，
∴$x_1+x_2=1-2m,x_1x_2=m^2$，
∴$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$，
即$(1-2m)^2-2m^2=7$，
整理,得$m^2-2m-3=0$,解得$m_1=-1,m_2=3$.
又
∵$m≤\frac{1}{4},\therefore m=-1$.
解析
【分析】
本题求解一元二次方程的参数m，解题可按四步展开：①先利用“方程有实数根”的前提条件，结合根的判别式Δ≥0，先求出m的取值范围，避免后续出现增解；②根据一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和、两根之积关于m的表达式；③利用完全平方公式，将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入已知条件列关于m的方程，解出m的候选值；④结合第一步得到的m取值范围，舍去不符合要求的候选值，得到最终结果。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有实数根，
∴$\Delta = b^2-4ac=(2m-1)^2-4×1× m^2=-4m+1≥0$，
解得$m≤\frac{1}{4}$。
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=1-2m$，$x_1x_2=m^2$，
∵$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$，
代入得$(1-2m)^2-2m^2=7$，
整理得$m^2-2m-3=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=3$。
结合$m≤\frac{1}{4}$的取值范围，舍去不符合的$m=3$，
∴$m=-1$。
【答案】
$m=-1$
【知识点】
根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常考易错题，易错点是容易忽略“方程有实数根”的隐含条件，未用判别式限定参数范围，误将m=3也作为最终答案，求解参数类题目要养成先确定参数取值范围、最后验根的习惯。
【难度系数】
0.6
本题求解一元二次方程的参数m，解题可按四步展开：①先利用“方程有实数根”的前提条件，结合根的判别式Δ≥0，先求出m的取值范围，避免后续出现增解；②根据一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和、两根之积关于m的表达式；③利用完全平方公式，将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入已知条件列关于m的方程，解出m的候选值；④结合第一步得到的m取值范围，舍去不符合要求的候选值，得到最终结果。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有实数根，
∴$\Delta = b^2-4ac=(2m-1)^2-4×1× m^2=-4m+1≥0$，
解得$m≤\frac{1}{4}$。
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=1-2m$，$x_1x_2=m^2$，
∵$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7$，
代入得$(1-2m)^2-2m^2=7$，
整理得$m^2-2m-3=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=3$。
结合$m≤\frac{1}{4}$的取值范围，舍去不符合的$m=3$，
∴$m=-1$。
【答案】
$m=-1$
【知识点】
根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常考易错题，易错点是容易忽略“方程有实数根”的隐含条件，未用判别式限定参数范围，误将m=3也作为最终答案，求解参数类题目要养成先确定参数取值范围、最后验根的习惯。
【难度系数】
0.6
13.已知关于$x$的方程$x^2 - mx +10=0$的两根$a,b$是一个直角三角形的两直角边长，若该三角形的斜边长为5，则$m=$
$3\sqrt{5}$
。答案
13.$3\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题可结合一元二次方程根与系数的关系与直角三角形勾股定理求解：首先根据韦达定理得到两根之和、两根之积与m的关系，再利用勾股定理得到两直角边的平方和，最后通过完全平方公式将平方和转化为两根之和与两根之积的表达式，代入计算即可，注意结合边长为正数的实际意义舍去不符合条件的解。
【解析】
解：
∵a，b是方程$x^2 - mx +10=0$的两根
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=m$，$ab=10$
∵a，b是直角三角形的两直角边长，斜边长为5
∴由勾股定理得：$a^2 + b^2 = 5^2 =25$
根据完全平方公式变形得：$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=m$，$ab=10$，$a^2 + b^2=25$代入上式得：
$m^2 - 2×10=25$
解得$m^2=45$，即$m=\pm3\sqrt{5}$
∵a，b为三角形边长，均为正数，
∴$a+b=m＞0$
∴舍去$m=-3\sqrt{5}$，即$m=3\sqrt{5}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
韦达定理，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合基础题，解题关键是熟练掌握根与系数的关系和勾股定理，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，避免漏判导致错误。
【难度系数】
0.7
本题可结合一元二次方程根与系数的关系与直角三角形勾股定理求解：首先根据韦达定理得到两根之和、两根之积与m的关系，再利用勾股定理得到两直角边的平方和，最后通过完全平方公式将平方和转化为两根之和与两根之积的表达式，代入计算即可，注意结合边长为正数的实际意义舍去不符合条件的解。
【解析】
解：
∵a，b是方程$x^2 - mx +10=0$的两根
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=m$，$ab=10$
∵a，b是直角三角形的两直角边长，斜边长为5
∴由勾股定理得：$a^2 + b^2 = 5^2 =25$
根据完全平方公式变形得：$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=m$，$ab=10$，$a^2 + b^2=25$代入上式得：
$m^2 - 2×10=25$
解得$m^2=45$，即$m=\pm3\sqrt{5}$
∵a，b为三角形边长，均为正数，
∴$a+b=m＞0$
∴舍去$m=-3\sqrt{5}$，即$m=3\sqrt{5}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
韦达定理，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合基础题，解题关键是熟练掌握根与系数的关系和勾股定理，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，避免漏判导致错误。
【难度系数】
0.7
14.△ABC的一边长为5，另外两边的长恰好是方程$2x^2 - 12x + m = 0$的两个根，则m的取值范围为
$\frac{11}{2}＜m≤18$
。答案
14.$\frac{11}{2}＜m≤18$
解析
【分析】
解题需抓住两个核心限制条件：一是方程有两个实数根，因此根的判别式需大于等于0；二是三角形三边满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”。首先用韦达定理求出两根之和与两根之积，可先判断两根之和为6，已经大于已知边长5，因此只需保证两根之差的绝对值小于5，再联立判别式的条件，即可求出m的取值范围。
【解析】
设方程$2x^2 - 12x + m = 0$的两个根为$x_1$、$x_2$：
1. 根据韦达定理可得：$x_1 + x_2 = \frac{12}{2}=6$，$x_1x_2=\frac{m}{2}$。
2. 方程有两个实根，因此判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(-12)^2 - 4×2× m=144-8m≥0$
解得：$m≤18$。
3. 根据三角形三边关系，两边之差的绝对值小于第三边5，即$|x_1 - x_2|＜5$：
两边平方得$(x_1 - x_2)^2＜25$，
由完全平方变形得$(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，代入数值：
$6^2 - 4×\frac{m}{2}＜25$
化简得$36 - 2m＜25$，
移项解得$m＞\frac{11}{2}$。
4. 联立两个条件，可得$m$的取值范围为$\frac{11}{2}＜m≤18$。
【答案】
$\frac{11}{2}＜m≤18$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需同时兼顾方程根的存在性和几何图形的边长限制，容易出现的错误是遗漏判别式的要求，或是解含负系数的不等式时搞错不等号方向。
【难度系数】
0.6
解题需抓住两个核心限制条件：一是方程有两个实数根，因此根的判别式需大于等于0；二是三角形三边满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”。首先用韦达定理求出两根之和与两根之积，可先判断两根之和为6，已经大于已知边长5，因此只需保证两根之差的绝对值小于5，再联立判别式的条件，即可求出m的取值范围。
【解析】
设方程$2x^2 - 12x + m = 0$的两个根为$x_1$、$x_2$：
1. 根据韦达定理可得：$x_1 + x_2 = \frac{12}{2}=6$，$x_1x_2=\frac{m}{2}$。
2. 方程有两个实根，因此判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(-12)^2 - 4×2× m=144-8m≥0$
解得：$m≤18$。
3. 根据三角形三边关系，两边之差的绝对值小于第三边5，即$|x_1 - x_2|＜5$：
两边平方得$(x_1 - x_2)^2＜25$，
由完全平方变形得$(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，代入数值：
$6^2 - 4×\frac{m}{2}＜25$
化简得$36 - 2m＜25$，
移项解得$m＞\frac{11}{2}$。
4. 联立两个条件，可得$m$的取值范围为$\frac{11}{2}＜m≤18$。
【答案】
$\frac{11}{2}＜m≤18$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需同时兼顾方程根的存在性和几何图形的边长限制，容易出现的错误是遗漏判别式的要求，或是解含负系数的不等式时搞错不等号方向。
【难度系数】
0.6
15.在等腰三角形ABC中,其两边长为方程$x^2 - mx + 3 = 0$的两个根,已知等腰三角形ABC的一边长为3,则△ABC的周长为
$2\sqrt{3}+3$或7
.答案
15.$2\sqrt{3}+3$或7
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质、一元二次方程的相关知识求解，解题时需分类讨论：①已知边长3是等腰三角形的腰；②已知边长3是等腰三角形的底。每种情况求出边长后都要验证是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况后计算周长。
首先，若3为腰长，则3是方程的根，代入方程可求参数m，进而得到另一根，验证三边关系后计算周长；若3为底边长，则两腰长是方程的两个相等实根，利用判别式Δ=0求m，得到腰长后验证三边关系，再计算周长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当3为等腰△ABC的腰长时：
∵腰长是方程$x^2 - mx + 3 = 0$的根，将$x=3$代入方程得：
$3^2 - 3m + 3 = 0$，解得$m=4$
此时方程为$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$
三角形三边长为3,3,1，满足$3+1＞3$，符合三角形三边关系
周长为$3+3+1=7$
2. 当3为等腰△ABC的底边长时：
∵两腰长是方程$x^2 - mx + 3 = 0$的两个相等实数根，
∴判别式$\Delta=0$
即$(-m)^2 -4×1×3=0$，解得$m^2=12$
∵边长为正数，两根之和$m＞0$，
∴$m=2\sqrt{3}$
此时方程的根为$x=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即腰长为$\sqrt{3}$
三角形三边长为$\sqrt{3},\sqrt{3},3$，满足$\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}＞3$，符合三角形三边关系
周长为$\sqrt{3}+\sqrt{3}+3=2\sqrt{3}+3$
【答案】
$2\sqrt{3}+3$或7
【知识点】
等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式、三角形三边关系
【点评】
本题是几何与代数的综合题，核心考查分类讨论思想，解题时需注意对等腰三角形的已知边是腰还是底进行分类，且最终所得三边必须满足三角形三边关系，避免出现错解、漏解的情况。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等腰三角形的性质、一元二次方程的相关知识求解，解题时需分类讨论：①已知边长3是等腰三角形的腰；②已知边长3是等腰三角形的底。每种情况求出边长后都要验证是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况后计算周长。
首先，若3为腰长，则3是方程的根，代入方程可求参数m，进而得到另一根，验证三边关系后计算周长；若3为底边长，则两腰长是方程的两个相等实根，利用判别式Δ=0求m，得到腰长后验证三边关系，再计算周长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当3为等腰△ABC的腰长时：
∵腰长是方程$x^2 - mx + 3 = 0$的根，将$x=3$代入方程得：
$3^2 - 3m + 3 = 0$，解得$m=4$
此时方程为$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$
三角形三边长为3,3,1，满足$3+1＞3$，符合三角形三边关系
周长为$3+3+1=7$
2. 当3为等腰△ABC的底边长时：
∵两腰长是方程$x^2 - mx + 3 = 0$的两个相等实数根，
∴判别式$\Delta=0$
即$(-m)^2 -4×1×3=0$，解得$m^2=12$
∵边长为正数，两根之和$m＞0$，
∴$m=2\sqrt{3}$
此时方程的根为$x=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即腰长为$\sqrt{3}$
三角形三边长为$\sqrt{3},\sqrt{3},3$，满足$\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}＞3$，符合三角形三边关系
周长为$\sqrt{3}+\sqrt{3}+3=2\sqrt{3}+3$
【答案】
$2\sqrt{3}+3$或7
【知识点】
等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式、三角形三边关系
【点评】
本题是几何与代数的综合题，核心考查分类讨论思想，解题时需注意对等腰三角形的已知边是腰还是底进行分类，且最终所得三边必须满足三角形三边关系，避免出现错解、漏解的情况。
【难度系数】
0.6
16.(2025·苏州一模)某商品进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克.后经市场调查发现,单价每降低1元,平均每天的销售量可增加10千克.商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元,且销售量尽可能大,则每千克这种商品应定价为
54
元.答案
16.54
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 明确利润问题的核心等量关系：总利润=每千克商品的利润×总销售量；2. 合理设未知数，可设每千克降价x元，用含x的代数式分别表示出降价后每千克的利润和总销售量；3. 根据总获利2240元列一元二次方程，求解得到两个降价值；4. 结合“销售量尽可能大”的要求，降价越多销售量越大，因此选择较大的降价值，再计算对应定价即可。
【解析】
设每千克商品应降价x元。
根据题意，降价后每千克的利润为$(60 - 40 - x)$元，平均每天的销售量为$(100 + 10x)$千克，由总利润为2240元可列方程：
$(20 - x)(100 + 10x) = 2240$
展开并整理方程：
$2000 + 200x - 100x - 10x^2 = 2240 \x^2 - 10x + 24 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 6) = 0$
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = 6$。
因为要使销售量尽可能大，而销售量$100+10x$随x的增大而增大，所以选择$x=6$。
则每千克商品的定价为：$60 - 6 = 54$（元）。
【答案】
54
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；一元二次方程求解
【点评】
本题属于销售类常规应用题，核心考查对利润等量关系的把握，易错点是容易忽略题干中对销售量的限制条件，未对求出的方程解进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 明确利润问题的核心等量关系：总利润=每千克商品的利润×总销售量；2. 合理设未知数，可设每千克降价x元，用含x的代数式分别表示出降价后每千克的利润和总销售量；3. 根据总获利2240元列一元二次方程，求解得到两个降价值；4. 结合“销售量尽可能大”的要求，降价越多销售量越大，因此选择较大的降价值，再计算对应定价即可。
【解析】
设每千克商品应降价x元。
根据题意，降价后每千克的利润为$(60 - 40 - x)$元，平均每天的销售量为$(100 + 10x)$千克，由总利润为2240元可列方程：
$(20 - x)(100 + 10x) = 2240$
展开并整理方程：
$2000 + 200x - 100x - 10x^2 = 2240 \x^2 - 10x + 24 = 0$
因式分解得：
$(x - 4)(x - 6) = 0$
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = 6$。
因为要使销售量尽可能大，而销售量$100+10x$随x的增大而增大，所以选择$x=6$。
则每千克商品的定价为：$60 - 6 = 54$（元）。
【答案】
54
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；一元二次方程求解
【点评】
本题属于销售类常规应用题，核心考查对利润等量关系的把握，易错点是容易忽略题干中对销售量的限制条件，未对求出的方程解进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
17.在等腰三角形$ABC$中，两边的长分别为$a,b$，其中$a=5$，若关于$x$的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，求$△ ABC$的周长。
答案
17.解:
∵关于$x$的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴$(b+2)^2-4(6-b)=0$,即$b^2+8b-20=0$，
解得$b=2$或$b=-10$(舍去).
①当$a$为底,$b$为腰时,$2+2＜5$,构不成三角形,此种情况不成立.
②当$b$为底,$a$为腰时,$5-5＜2＜5+5$,能构成三角形，此时$△ABC$的周长为$5+5+2=12$.
综上,$△ABC$的周长是12.
∵关于$x$的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴$(b+2)^2-4(6-b)=0$,即$b^2+8b-20=0$，
解得$b=2$或$b=-10$(舍去).
①当$a$为底,$b$为腰时,$2+2＜5$,构不成三角形,此种情况不成立.
②当$b$为底,$a$为腰时,$5-5＜2＜5+5$,能构成三角形，此时$△ABC$的周长为$5+5+2=12$.
综上,$△ABC$的周长是12.
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，根据一元二次方程有两个相等实数根的性质，可知根的判别式Δ=0，据此列方程求解b的取值，结合边长为正数的要求舍去负解；第二步，等腰三角形未明确腰和底边，需分两种情况分类讨论：a为底、b为腰，或b为底、a为腰；第三步，对每种情况用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不成立的情况，对符合要求的情况计算周长即可。
【解析】
∵关于$x$的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(b+2)^2-4×1×(6-b)=0$，
整理得$b^2+8b-20=0$，
解得$b=2$或$b=-10$，
∵三角形边长为正数，
∴$b=-10$舍去。
分两种情况讨论等腰三角形的构成：
①当$a$为底，$b$为腰时，三边长为5、2、2，
∵$2+2=4＜5$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，此种情况舍去；
②当$b$为底，$a$为腰时，三边长为2、5、5，
∵$5+5＞2$，$5+2＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形，
此时$△ ABC$的周长为$5+5+2=12$。
综上，$△ ABC$的周长为12。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形知识的综合应用题，解题时要注意两个易错点：一是方程求解出的参数要符合实际意义（边长为正数），二是等腰三角形腰底不明确时必须分类讨论，且每种情况都要验证三边是否符合构成三角形的条件，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7
解题可按三步推导：第一步，根据一元二次方程有两个相等实数根的性质，可知根的判别式Δ=0，据此列方程求解b的取值，结合边长为正数的要求舍去负解；第二步，等腰三角形未明确腰和底边，需分两种情况分类讨论：a为底、b为腰，或b为底、a为腰；第三步，对每种情况用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不成立的情况，对符合要求的情况计算周长即可。
【解析】
∵关于$x$的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(b+2)^2-4×1×(6-b)=0$，
整理得$b^2+8b-20=0$，
解得$b=2$或$b=-10$，
∵三角形边长为正数，
∴$b=-10$舍去。
分两种情况讨论等腰三角形的构成：
①当$a$为底，$b$为腰时，三边长为5、2、2，
∵$2+2=4＜5$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，此种情况舍去；
②当$b$为底，$a$为腰时，三边长为2、5、5，
∵$5+5＞2$，$5+2＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形，
此时$△ ABC$的周长为$5+5+2=12$。
综上，$△ ABC$的周长为12。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形知识的综合应用题，解题时要注意两个易错点：一是方程求解出的参数要符合实际意义（边长为正数），二是等腰三角形腰底不明确时必须分类讨论，且每种情况都要验证三边是否符合构成三角形的条件，避免出现错解或漏解。
【难度系数】
0.7
