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1.下列各组单项式中,两个单项式是同类项的是________(填序号).
①$2ab^2$与$-3a^2b$;②$4^3$与$3^4$;③$st^3$与$-s^2t^2$;④$m^2n$与$2nm^2$.
①$2ab^2$与$-3a^2b$;②$4^3$与$3^4$;③$st^3$与$-s^2t^2$;④$m^2n$与$2nm^2$.
答案
②④
解析
【分析】
要解决这道题，首先需牢记同类项的判断标准：一是两个单项式所含字母完全相同；二是相同字母的对应指数也分别相等，两个条件需同时满足。另外所有常数项（不含字母的项）都是同类项，且同类项与字母的排列顺序无关。我们按照这个标准逐个判断每组单项式即可。
【解析】
先明确同类项判定规则：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等；所有常数项都是同类项，与字母排列顺序无关。
逐个分析每组单项式：
①$2ab^2$与$-3a^2b$：前者$a$的指数为1、$b$的指数为2，后者$a$的指数为2、$b$的指数为1，相同字母的指数不相等，不是同类项；
②$4^3$与$3^4$：二者都是不含字母的常数项，属于同类项；
③$st^3$与$-s^2t^2$：前者$s$的指数为1、$t$的指数为3，后者$s$的指数为2、$t$的指数为2，相同字母的指数不相等，不是同类项；
④$m^2n$与$2nm^2$：二者所含字母都是$m$和$n$，且$m$的指数都是2，$n$的指数都是1，仅字母排列顺序不同，属于同类项。
因此符合要求的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
同类项的判定；常数项的特征
【点评】
本题是同类项判定的基础题，易错点为易忽略同类项与字母排列顺序无关、误将常数项判定为非同类项，或仅核对字母种类未核对相同字母的指数，牢记同类项判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需牢记同类项的判断标准：一是两个单项式所含字母完全相同；二是相同字母的对应指数也分别相等，两个条件需同时满足。另外所有常数项（不含字母的项）都是同类项，且同类项与字母的排列顺序无关。我们按照这个标准逐个判断每组单项式即可。
【解析】
先明确同类项判定规则：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等；所有常数项都是同类项，与字母排列顺序无关。
逐个分析每组单项式：
①$2ab^2$与$-3a^2b$：前者$a$的指数为1、$b$的指数为2，后者$a$的指数为2、$b$的指数为1，相同字母的指数不相等，不是同类项；
②$4^3$与$3^4$：二者都是不含字母的常数项，属于同类项；
③$st^3$与$-s^2t^2$：前者$s$的指数为1、$t$的指数为3，后者$s$的指数为2、$t$的指数为2，相同字母的指数不相等，不是同类项；
④$m^2n$与$2nm^2$：二者所含字母都是$m$和$n$，且$m$的指数都是2，$n$的指数都是1，仅字母排列顺序不同，属于同类项。
因此符合要求的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
同类项的判定；常数项的特征
【点评】
本题是同类项判定的基础题，易错点为易忽略同类项与字母排列顺序无关、误将常数项判定为非同类项，或仅核对字母种类未核对相同字母的指数，牢记同类项判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.计算.
(1)$8a - 2a = ($$)a = $$;$
(2)$3m^2 + 5m^2 = ($$)m^2 = $$;$
(3)$-6x^2y + 2x^2y = ($$)x^2y = $$.$
(1)$8a - 2a = ($$)a = $$;$
(2)$3m^2 + 5m^2 = ($$)m^2 = $$;$
(3)$-6x^2y + 2x^2y = ($$)x^2y = $$.$
答案
解：
(1) $8a - 2a = (8-2)a = 6a$；
(2) $3m^2 + 5m^2 = (3+5)m^2 = 8m^2$；
(3) $-6x^2y + 2x^2y = (-6+2)x^2y = -4x^2y$。
(1) $8a - 2a = (8-2)a = 6a$；
(2) $3m^2 + 5m^2 = (3+5)m^2 = 8m^2$；
(3) $-6x^2y + 2x^2y = (-6+2)x^2y = -4x^2y$。
解析
【分析】
这三道题都属于合并同类项的计算，解题运用合并同类项的法则：同类项的系数相加、减，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变。解题时先提取每类同类项的公因式（即共同的字母部分），再对系数做加减运算，最后将运算结果作为系数搭配原字母部分即可。
【解析】
(1) $8a$和$2a$是同类项，提取公因式$a$后计算系数差：$8a - 2a = (8-2)a = 6a$；
(2) $3m^2$和$5m^2$是同类项，提取公因式$m^2$后计算系数和：$3m^2 + 5m^2 = (3+5)m^2 = 8m^2$；
(3) $-6x^2y$和$2x^2y$是同类项，提取公因式$x^2y$后计算系数和：$-6x^2y + 2x^2y = (-6+2)x^2y = -4x^2y$。
【答案】
(1) $8-2$，$6a$；(2) $3+5$，$8m^2$；(3) $-6+2$，$-4x^2y$
【知识点】
合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础题型，重点考查合并同类项的基本运算规则，熟练掌握“系数相加减，字母及指数不变”的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
这三道题都属于合并同类项的计算，解题运用合并同类项的法则：同类项的系数相加、减，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变。解题时先提取每类同类项的公因式（即共同的字母部分），再对系数做加减运算，最后将运算结果作为系数搭配原字母部分即可。
【解析】
(1) $8a$和$2a$是同类项，提取公因式$a$后计算系数差：$8a - 2a = (8-2)a = 6a$；
(2) $3m^2$和$5m^2$是同类项，提取公因式$m^2$后计算系数和：$3m^2 + 5m^2 = (3+5)m^2 = 8m^2$；
(3) $-6x^2y$和$2x^2y$是同类项，提取公因式$x^2y$后计算系数和：$-6x^2y + 2x^2y = (-6+2)x^2y = -4x^2y$。
【答案】
(1) $8-2$，$6a$；(2) $3+5$，$8m^2$；(3) $-6+2$，$-4x^2y$
【知识点】
合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础题型，重点考查合并同类项的基本运算规则，熟练掌握“系数相加减，字母及指数不变”的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3.若单项式$-x^{m}y$与$2xy^{n}$是同类项，则$m+n=$.
答案
解：
根据同类项的定义，所含相同字母的指数分别相等，
可得 $ m=1 $，$ n=1 $，
因此 $ m+n=1+1=2 $。
根据同类项的定义，所含相同字母的指数分别相等，
可得 $ m=1 $，$ n=1 $，
因此 $ m+n=1+1=2 $。
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的判定规则：同类项需要满足两个条件，一是所含字母完全相同，二是相同字母的指数也分别相等。我们可以先对比两个单项式中相同字母的指数，列出对应相等的关系求出m、n的取值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
根据同类项的定义，所含相同字母的指数分别相等：
观察单项式$-x^{m}y$与$2xy^{n}$，字母x在第一个单项式中的指数为m，在第二个单项式中的指数为1，可得$m=1$；
字母y在第一个单项式中的指数为1，在第二个单项式中的指数为n，可得$n=1$；
因此$m+n=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
同类项的定义，代数式求值
【点评】
本题是整式加减部分的基础题型，核心考查对同类项定义的理解与应用，熟练掌握同类项的判定规则即可快速解题，是该章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆同类项的判定规则：同类项需要满足两个条件，一是所含字母完全相同，二是相同字母的指数也分别相等。我们可以先对比两个单项式中相同字母的指数，列出对应相等的关系求出m、n的取值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
根据同类项的定义，所含相同字母的指数分别相等：
观察单项式$-x^{m}y$与$2xy^{n}$，字母x在第一个单项式中的指数为m，在第二个单项式中的指数为1，可得$m=1$；
字母y在第一个单项式中的指数为1，在第二个单项式中的指数为n，可得$n=1$；
因此$m+n=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
同类项的定义，代数式求值
【点评】
本题是整式加减部分的基础题型，核心考查对同类项定义的理解与应用，熟练掌握同类项的判定规则即可快速解题，是该章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
4.已知代数式$mx^2 - mx -1$与代数式$2x^2 + mx + m$的和为单项式，则$m$的值是。
答案
解：
先计算两个代数式的和：
$\begin{aligned}&(mx^2 - mx -1) + (2x^2 + mx + m)\\=&mx^2 - mx -1 + 2x^2 + mx + m\\=&(m+2)x^2 + (m - 1)\end{aligned}$
因为两式的和为单项式，分两种情况讨论：
1. 若二次项系数为0，常数项不为0：
$m + 2 = 0$，解得$m = -2$，此时常数项为$-2-1=-3≠0$，符合要求；
2. 若常数项为0，二次项系数不为0：
$m - 1 = 0$，解得$m = 1$，此时二次项系数为$1+2=3≠0$，符合要求。
综上，$m$的值是$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-2}$。
先计算两个代数式的和：
$\begin{aligned}&(mx^2 - mx -1) + (2x^2 + mx + m)\\=&mx^2 - mx -1 + 2x^2 + mx + m\\=&(m+2)x^2 + (m - 1)\end{aligned}$
因为两式的和为单项式，分两种情况讨论：
1. 若二次项系数为0，常数项不为0：
$m + 2 = 0$，解得$m = -2$，此时常数项为$-2-1=-3≠0$，符合要求；
2. 若常数项为0，二次项系数不为0：
$m - 1 = 0$，解得$m = 1$，此时二次项系数为$1+2=3≠0$，符合要求。
综上，$m$的值是$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-2}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确思路：第一步先计算两个代数式的和，通过合并同类项将和化简；其次回忆单项式的定义：只有一项的整式（单独的数或字母也属于单项式），化简后的结果是二次项与常数项的和，要使它成为单项式，分两种情况讨论即可：要么二次项系数为0，只剩下非零常数项；要么常数项为0，只剩下非零二次项，分别列方程求解m，同时验证剩余项的系数不为0。
【解析】
先计算两个代数式的和：
$\begin{aligned}&(mx^2 - mx -1) + (2x^2 + mx + m)\\=&mx^2 - mx -1 + 2x^2 + mx + m\\=&(m+2)x^2 + (m - 1)\end{aligned}$
因为两式的和为单项式，分两种情况讨论：
1. 若二次项系数为0，常数项不为0：
$m + 2 = 0$，解得$m = -2$，此时常数项为$-2-1=-3≠0$，符合要求；
2. 若常数项为0，二次项系数不为0：
$m - 1 = 0$，解得$m = 1$，此时二次项系数为$1+2=3≠0$，符合要求。
综上，$m$的值是1或$-2$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
整式的加减运算，单项式的定义，分类讨论思想
【点评】
本题考查整式加减的运算能力和对单项式概念的理解，解题的关键是做到分类讨论不重不漏，同时要注意验证每种情况剩余项的系数不为0，避免不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确思路：第一步先计算两个代数式的和，通过合并同类项将和化简；其次回忆单项式的定义：只有一项的整式（单独的数或字母也属于单项式），化简后的结果是二次项与常数项的和，要使它成为单项式，分两种情况讨论即可：要么二次项系数为0，只剩下非零常数项；要么常数项为0，只剩下非零二次项，分别列方程求解m，同时验证剩余项的系数不为0。
【解析】
先计算两个代数式的和：
$\begin{aligned}&(mx^2 - mx -1) + (2x^2 + mx + m)\\=&mx^2 - mx -1 + 2x^2 + mx + m\\=&(m+2)x^2 + (m - 1)\end{aligned}$
因为两式的和为单项式，分两种情况讨论：
1. 若二次项系数为0，常数项不为0：
$m + 2 = 0$，解得$m = -2$，此时常数项为$-2-1=-3≠0$，符合要求；
2. 若常数项为0，二次项系数不为0：
$m - 1 = 0$，解得$m = 1$，此时二次项系数为$1+2=3≠0$，符合要求。
综上，$m$的值是1或$-2$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
整式的加减运算，单项式的定义，分类讨论思想
【点评】
本题考查整式加减的运算能力和对单项式概念的理解，解题的关键是做到分类讨论不重不漏，同时要注意验证每种情况剩余项的系数不为0，避免不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 若整式A与整式B的和为一个数值m，我们称A，B为数m的“伙伴整式”.例如：$x-4$和$-x+6$为数2的“伙伴整式”.若关于x的整式$4x^2 - kx + 6$与$-4x^2 - 3x + k - 1$为数n的“伙伴整式”，则n的值为.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
首先根据“伙伴整式”的定义，可知两个整式相加的结果等于常数n。要使整式相加的结果为常数，需满足合并同类项后所有含x的项的系数都为0。因此解题步骤为：①先计算两个整式的和，合并同类项；②令含x的项的系数为0，求出k的值；③将k代入常数项，即可得到n的值。
【解析】
根据“伙伴整式”的定义可得：
$\begin{aligned}(4x^2 - kx + 6) + (-4x^2 - 3x + k - 1) &= n \\4x^2 - kx + 6 -4x^2 -3x + k -1 &= n \\(4x^2 - 4x^2) + (-kx -3x) + (6 + k -1) &= n \\(-k -3)x + (k + 5) &= n\end{aligned}$
因为n是常数，所以含x的项的系数必须为0，即：
$-k -3 = 0$
解得$k = -3$
将$k=-3$代入常数项$k+5$得：
$n = -3 + 5 = 2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题结合新定义考查整式加减的应用，解题核心是理解“伙伴整式”的含义，抓住两个整式的和为常数时，所有含未知数的项系数为0的特点求解，能很好地考查学生对整式加减运算的掌握程度和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
首先根据“伙伴整式”的定义，可知两个整式相加的结果等于常数n。要使整式相加的结果为常数，需满足合并同类项后所有含x的项的系数都为0。因此解题步骤为：①先计算两个整式的和，合并同类项；②令含x的项的系数为0，求出k的值；③将k代入常数项，即可得到n的值。
【解析】
根据“伙伴整式”的定义可得：
$\begin{aligned}(4x^2 - kx + 6) + (-4x^2 - 3x + k - 1) &= n \\4x^2 - kx + 6 -4x^2 -3x + k -1 &= n \\(4x^2 - 4x^2) + (-kx -3x) + (6 + k -1) &= n \\(-k -3)x + (k + 5) &= n\end{aligned}$
因为n是常数，所以含x的项的系数必须为0，即：
$-k -3 = 0$
解得$k = -3$
将$k=-3$代入常数项$k+5$得：
$n = -3 + 5 = 2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，合并同类项
【点评】
本题结合新定义考查整式加减的应用，解题核心是理解“伙伴整式”的含义，抓住两个整式的和为常数时，所有含未知数的项系数为0的特点求解，能很好地考查学生对整式加减运算的掌握程度和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
6.合并同类项.
(1)$3x - 2y + 6 + 5x - y$;
(2)$2a^2b - 6ab - 3a^2b + 5ab + 4a^2b$;
(3)$x^2y - 3xy^2 - 4 + 2yx^2 - y^2x + 5$;
(4)$-a^2b + 2a^2 - 5ab - b + 5ab + a^2b$.
(1)$3x - 2y + 6 + 5x - y$;
(2)$2a^2b - 6ab - 3a^2b + 5ab + 4a^2b$;
(3)$x^2y - 3xy^2 - 4 + 2yx^2 - y^2x + 5$;
(4)$-a^2b + 2a^2 - 5ab - b + 5ab + a^2b$.
答案
解：
(1)
原式$=(3x+5x)+(-2y-y)+6$
$=8x-3y+6$
(2)
原式$=(2a^2b-3a^2b+4a^2b)+(-6ab+5ab)$
$=3a^2b-ab$
(3)
原式$=(x^2y+2x^2y)+(-3xy^2-xy^2)+(-4+5)$
$=3x^2y-4xy^2+1$
(4)
原式$=(-a^2b+a^2b)+(-5ab+5ab)+2a^2-b$
$=2a^2-b$
(1)
原式$=(3x+5x)+(-2y-y)+6$
$=8x-3y+6$
(2)
原式$=(2a^2b-3a^2b+4a^2b)+(-6ab+5ab)$
$=3a^2b-ab$
(3)
原式$=(x^2y+2x^2y)+(-3xy^2-xy^2)+(-4+5)$
$=3x^2y-4xy^2+1$
(4)
原式$=(-a^2b+a^2b)+(-5ab+5ab)+2a^2-b$
$=2a^2-b$
解析
【分析】
合并同类项的核心思路分为三步：第一步识别同类项，即所含字母相同、相同字母的指数也分别相同的项是同类项，所有常数项也互为同类项，识别时和系数大小、字母排列顺序无关；第二步分组，利用加法交换律和结合律把同类项放到一起，注意要连带项前面的符号一起移动，不能漏项；第三步合并，同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数保持不变即可。
【解析】
(1)
原式$=(3x+5x)+(-2y-y)+6$
$=8x-3y+6$
(2)
原式$=(2a^2b-3a^2b+4a^2b)+(-6ab+5ab)$
$=3a^2b-ab$
(3)
原式$=(x^2y+2x^2y)+(-3xy^2-xy^2)+(-4+5)$
$=3x^2y-4xy^2+1$
(4)
原式$=(-a^2b+a^2b)+(-5ab+5ab)+2a^2-b$
$=2a^2-b$
【答案】
(1)$8x-3y+6$；(2)$3a^2b-ab$；(3)$3x^2y-4xy^2+1$；(4)$2a^2-b$
【知识点】
同类项识别、合并同类项法则
【点评】
本题是合并同类项的基础题型，重点考察同类项的判断能力和基础运算能力，运算时需注意带符号移动同类项，合并时仅对系数做加减，字母及对应指数不变，互为相反数的同类项合并后为0，不要漏写无同类项的单独项。
【难度系数】
0.85
合并同类项的核心思路分为三步：第一步识别同类项，即所含字母相同、相同字母的指数也分别相同的项是同类项，所有常数项也互为同类项，识别时和系数大小、字母排列顺序无关；第二步分组，利用加法交换律和结合律把同类项放到一起，注意要连带项前面的符号一起移动，不能漏项；第三步合并，同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数保持不变即可。
【解析】
(1)
原式$=(3x+5x)+(-2y-y)+6$
$=8x-3y+6$
(2)
原式$=(2a^2b-3a^2b+4a^2b)+(-6ab+5ab)$
$=3a^2b-ab$
(3)
原式$=(x^2y+2x^2y)+(-3xy^2-xy^2)+(-4+5)$
$=3x^2y-4xy^2+1$
(4)
原式$=(-a^2b+a^2b)+(-5ab+5ab)+2a^2-b$
$=2a^2-b$
【答案】
(1)$8x-3y+6$；(2)$3a^2b-ab$；(3)$3x^2y-4xy^2+1$；(4)$2a^2-b$
【知识点】
同类项识别、合并同类项法则
【点评】
本题是合并同类项的基础题型，重点考察同类项的判断能力和基础运算能力，运算时需注意带符号移动同类项，合并时仅对系数做加减，字母及对应指数不变，互为相反数的同类项合并后为0，不要漏写无同类项的单独项。
【难度系数】
0.85
7.已知$A=2a^2 -5ab +3b$，$B=4a^2 +6ab +8a$.
(1)化简:$2A - B$.
(2)若$a=-2$，$b=1$，求$2A - B$的值.
(1)化简:$2A - B$.
(2)若$a=-2$，$b=1$，求$2A - B$的值.
答案
解：
(1) $2A - B = 2(2a^2 - 5ab + 3b) - (4a^2 + 6ab + 8a)$
$= 4a^2 - 10ab + 6b - 4a^2 - 6ab - 8a$
$= -16ab + 6b - 8a$
(2) 当$a=-2$，$b=1$时，
将$a$、$b$代入$-16ab + 6b - 8a$得：
原式$= -16×(-2)×1 + 6×1 - 8×(-2)$
$= 32 + 6 + 16$
$= 54$
(1) $2A - B = 2(2a^2 - 5ab + 3b) - (4a^2 + 6ab + 8a)$
$= 4a^2 - 10ab + 6b - 4a^2 - 6ab - 8a$
$= -16ab + 6b - 8a$
(2) 当$a=-2$，$b=1$时，
将$a$、$b$代入$-16ab + 6b - 8a$得：
原式$= -16×(-2)×1 + 6×1 - 8×(-2)$
$= 32 + 6 + 16$
$= 54$
解析
【分析】
本题分为整式化简和代值求值两个部分。第(1)问解题时先将A、B对应的代数式代入2A-B，先依据乘法分配律去掉带系数的括号，再去掉前面带负号的括号（注意括号内每一项都要变号），最后合并同类项即可得到化简结果；第(2)问只需将a=-2、b=1直接代入第(1)问得到的最简式中，按照有理数运算规则依次计算即可，注意负数运算时的符号处理，避免出错。
【解析】
(1) 将$A=2a^2 -5ab +3b$，$B=4a^2 +6ab +8a$代入$2A - B$，可得：
$\begin{aligned}2A - B &= 2(2a^2 - 5ab + 3b) - (4a^2 + 6ab + 8a)\\&= 4a^2 - 10ab + 6b - 4a^2 - 6ab - 8a\\&= -16ab + 6b - 8a\end{aligned}$
(2) 当$a=-2$，$b=1$时，将数值代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&= -16×(-2)×1 + 6×1 - 8×(-2)\\&= 32 + 6 + 16\\&= 54\end{aligned}$
【答案】
(1) $-16ab + 6b - 8a$；(2) $54$
【知识点】
整式的加减，去括号法则，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察去括号的符号处理规则和合并同类项方法，代值计算时需注意负数参与运算的符号问题，熟练掌握运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题分为整式化简和代值求值两个部分。第(1)问解题时先将A、B对应的代数式代入2A-B，先依据乘法分配律去掉带系数的括号，再去掉前面带负号的括号（注意括号内每一项都要变号），最后合并同类项即可得到化简结果；第(2)问只需将a=-2、b=1直接代入第(1)问得到的最简式中，按照有理数运算规则依次计算即可，注意负数运算时的符号处理，避免出错。
【解析】
(1) 将$A=2a^2 -5ab +3b$，$B=4a^2 +6ab +8a$代入$2A - B$，可得：
$\begin{aligned}2A - B &= 2(2a^2 - 5ab + 3b) - (4a^2 + 6ab + 8a)\\&= 4a^2 - 10ab + 6b - 4a^2 - 6ab - 8a\\&= -16ab + 6b - 8a\end{aligned}$
(2) 当$a=-2$，$b=1$时，将数值代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&= -16×(-2)×1 + 6×1 - 8×(-2)\\&= 32 + 6 + 16\\&= 54\end{aligned}$
【答案】
(1) $-16ab + 6b - 8a$；(2) $54$
【知识点】
整式的加减，去括号法则，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考察去括号的符号处理规则和合并同类项方法，代值计算时需注意负数参与运算的符号问题，熟练掌握运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 提升题 中国航天近年来取得了举世瞩目的成就，同学们备受鼓舞. 小丽绘制了如图所示的火箭模型截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形.
(1)用含有$a,b$的代数式表示该截面的面积$S$.
(2)如果$a,b$的值使得$2x^{a+2}y^4$与$-3x^5y^{2b}$是同类项，求这个截面的面积.
(1)用含有$a,b$的代数式表示该截面的面积$S$.
(2)如果$a,b$的值使得$2x^{a+2}y^4$与$-3x^5y^{2b}$是同类项，求这个截面的面积.
答案
解：
(1) 截面面积为三角形、长方形、梯形的面积之和：
三角形的面积为 $\frac{1}{2}ab$，
长方形的面积为 $a· 2a = 2a^2$，
梯形的面积为 $\frac{1}{2}(a+2a)b = \frac{3}{2}ab$，
因此总面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}ab + 2a^2 + \frac{3}{2}ab\\&=2a^2 + 2ab\end{aligned}$
(2) 因为 $2x^{a+2}y^4$ 与 $-3x^5y^{2b}$ 是同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}a+2=5 \\ 2b=4\end{cases}$
解得 $a=3$，$b=2$。
将 $a=3$，$b=2$ 代入 $S=2a^2+2ab$：
$\begin{aligned}S&=2× 3^2 + 2× 3× 2\\&=18 + 12\\&=30\end{aligned}$
答：这个截面的面积为30。
(1) 截面面积为三角形、长方形、梯形的面积之和：
三角形的面积为 $\frac{1}{2}ab$，
长方形的面积为 $a· 2a = 2a^2$，
梯形的面积为 $\frac{1}{2}(a+2a)b = \frac{3}{2}ab$，
因此总面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}ab + 2a^2 + \frac{3}{2}ab\\&=2a^2 + 2ab\end{aligned}$
(2) 因为 $2x^{a+2}y^4$ 与 $-3x^5y^{2b}$ 是同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}a+2=5 \\ 2b=4\end{cases}$
解得 $a=3$，$b=2$。
将 $a=3$，$b=2$ 代入 $S=2a^2+2ab$：
$\begin{aligned}S&=2× 3^2 + 2× 3× 2\\&=18 + 12\\&=30\end{aligned}$
答：这个截面的面积为30。
解析
【分析】
解题分两步完成：(1) 计算截面面积时，先将组合图形拆分为三角形、长方形、梯形三个基础图形，分别回忆三个图形的面积公式，代入对应边长求出各部分面积后求和，再合并同类项化简得到面积的代数式；(2) 求具体面积时，先根据同类项“相同字母的指数相等”的性质列等式求出a、b的值，再代入(1)所得的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算三个基础图形的面积：
上方三角形面积：$\frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2}ab$
中间长方形面积：$a × 2a = 2a^2$
下方梯形面积：$\frac{1}{2} × (a+2a) × b = \frac{3}{2}ab$
总面积为三部分之和：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}ab + 2a^2 + \frac{3}{2}ab\\&=2a^2 + 2ab\end{aligned}$
(2) 根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}a+2=5 \\ 2b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=3 \\ b=2\end{cases}$
将$a=3$，$b=2$代入$S=2a^2+2ab$：
$\begin{aligned}S&=2× 3^2 + 2× 3× 2\\&=18 + 12\\&=30\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=2a^2+2ab$；(2) $30$
【知识点】
组合图形面积计算、同类项的定义、代数式求值
【点评】
本题结合几何图形与代数知识点，既考查了三角形、长方形、梯形的基础面积公式应用，也考查了同类项概念的理解以及整式运算、代数式求值的能力，题型常规，侧重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
解题分两步完成：(1) 计算截面面积时，先将组合图形拆分为三角形、长方形、梯形三个基础图形，分别回忆三个图形的面积公式，代入对应边长求出各部分面积后求和，再合并同类项化简得到面积的代数式；(2) 求具体面积时，先根据同类项“相同字母的指数相等”的性质列等式求出a、b的值，再代入(1)所得的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算三个基础图形的面积：
上方三角形面积：$\frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2}ab$
中间长方形面积：$a × 2a = 2a^2$
下方梯形面积：$\frac{1}{2} × (a+2a) × b = \frac{3}{2}ab$
总面积为三部分之和：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}ab + 2a^2 + \frac{3}{2}ab\\&=2a^2 + 2ab\end{aligned}$
(2) 根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}a+2=5 \\ 2b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=3 \\ b=2\end{cases}$
将$a=3$，$b=2$代入$S=2a^2+2ab$：
$\begin{aligned}S&=2× 3^2 + 2× 3× 2\\&=18 + 12\\&=30\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=2a^2+2ab$；(2) $30$
【知识点】
组合图形面积计算、同类项的定义、代数式求值
【点评】
本题结合几何图形与代数知识点，既考查了三角形、长方形、梯形的基础面积公式应用，也考查了同类项概念的理解以及整式运算、代数式求值的能力，题型常规，侧重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
