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1.若单项式$-\dfrac{3}{4}x^m y^n$是关于$x$，$y$的五次单项式，则$m+n=$.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆单项式次数的相关概念：单项式的次数指的是单项式中所有字母的指数之和。题目明确该单项式是关于x、y的五次单项式，说明x的指数m与y的指数n的和就等于单项式的次数，直接按这个关系计算即可。
【解析】
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和为单项式的次数。
已知单项式$-\dfrac{3}{4}x^m y^n$是关于$x$，$y$的五次单项式，即x、y的指数和为5，因此：
$m + n = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对单项式次数定义的掌握，牢记定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆单项式次数的相关概念：单项式的次数指的是单项式中所有字母的指数之和。题目明确该单项式是关于x、y的五次单项式，说明x的指数m与y的指数n的和就等于单项式的次数，直接按这个关系计算即可。
【解析】
根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和为单项式的次数。
已知单项式$-\dfrac{3}{4}x^m y^n$是关于$x$，$y$的五次单项式，即x、y的指数和为5，因此：
$m + n = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对单项式次数定义的掌握，牢记定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.某飞机在无风时的巡航航速是$a$ km/h，风速为20 km/h.飞机顺风飞行了4 h后又逆风飞行了3 h，飞机共飞行了 km.
答案
$\boldsymbol{7a+20}$
解析
【分析】
解题时首先要明确顺风、逆风时飞机的实际航速计算方法：顺风航速=无风航速+风速，逆风航速=无风航速-风速；再结合“路程=速度×时间”分别计算顺风、逆风飞行的路程，最后将两段路程相加，合并同类项即可得到总路程。
【解析】
1. 计算顺风飞行的路程：
顺风时飞机的实际航速为$(a+20)$ km/h，飞行时长为4 h，根据路程公式可得顺风路程为$4(a+20)$ km。
2. 计算逆风飞行的路程：
逆风时飞机的实际航速为$(a-20)$ km/h，飞行时长为3 h，同理可得逆风路程为$3(a-20)$ km。
3. 计算总飞行路程：
总路程为两段路程之和，代入后展开合并同类项：
$\begin{aligned}&\phantom{=}4(a+20)+3(a-20)\\&=4a+80+3a-60\\&=7a+20\end{aligned}$
【答案】
$7a+20$
【知识点】
列代数式；行程问题公式；整式加减运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查顺风、逆风场景下的速度换算规则，以及整式的加减运算方法，熟练掌握路程计算公式和同类项合并规则即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确顺风、逆风时飞机的实际航速计算方法：顺风航速=无风航速+风速，逆风航速=无风航速-风速；再结合“路程=速度×时间”分别计算顺风、逆风飞行的路程，最后将两段路程相加，合并同类项即可得到总路程。
【解析】
1. 计算顺风飞行的路程：
顺风时飞机的实际航速为$(a+20)$ km/h，飞行时长为4 h，根据路程公式可得顺风路程为$4(a+20)$ km。
2. 计算逆风飞行的路程：
逆风时飞机的实际航速为$(a-20)$ km/h，飞行时长为3 h，同理可得逆风路程为$3(a-20)$ km。
3. 计算总飞行路程：
总路程为两段路程之和，代入后展开合并同类项：
$\begin{aligned}&\phantom{=}4(a+20)+3(a-20)\\&=4a+80+3a-60\\&=7a+20\end{aligned}$
【答案】
$7a+20$
【知识点】
列代数式；行程问题公式；整式加减运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查顺风、逆风场景下的速度换算规则，以及整式的加减运算方法，熟练掌握路程计算公式和同类项合并规则即可正确求解。
【难度系数】
0.8
3.整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.应用整体思想，解答下列问题：
(1)若$a^2 - 2a = 1$，则$2a^2 - 4a =$.
(2)若$m + n = 2$，$mn = -4$，则$2(mn - 3m) - 3(2n - mn) =$.
(1)若$a^2 - 2a = 1$，则$2a^2 - 4a =$.
(2)若$m + n = 2$，$mn = -4$，则$2(mn - 3m) - 3(2n - mn) =$.
答案
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{-32}$
解析
【分析】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，无需单独求解每个未知量，只需将所求代数式变形为含已知式子的形式，再整体代入计算即可。
(1)观察所求式子$2a^2-4a$，可提取公因式2，变形为$2(a^2-2a)$，刚好对应已知条件$a^2-2a=1$，直接代入计算即可。
(2)先对所求代数式去括号、合并同类项，整理为含$m+n$和$mn$的形式，再将已知的$m+n=2$、$mn=-4$整体代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$a^2 - 2a = 1$，
对所求式子变形得：$2a^2 - 4a = 2(a^2 - 2a)$，
将$a^2 - 2a = 1$代入得：$2×1=2$。
(2) 先化简代数式：
$\begin{aligned}2(mn - 3m) - 3(2n - mn) &= 2mn - 6m - 6n + 3mn \\&= 5mn - 6m - 6n \\&= 5mn - 6(m + n)\end{aligned}$
将$m + n = 2$，$mn = -4$代入上式得：
$5×(-4) - 6×2 = -20 - 12 = -32$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{-32}$
【知识点】
整体代入求值，整式的加减运算，代数式求值
【点评】
解题的核心是灵活运用整体思想，将所求代数式转化为含有已知条件的整体形式，避免单独求解未知量带来的繁琐计算，减少运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，无需单独求解每个未知量，只需将所求代数式变形为含已知式子的形式，再整体代入计算即可。
(1)观察所求式子$2a^2-4a$，可提取公因式2，变形为$2(a^2-2a)$，刚好对应已知条件$a^2-2a=1$，直接代入计算即可。
(2)先对所求代数式去括号、合并同类项，整理为含$m+n$和$mn$的形式，再将已知的$m+n=2$、$mn=-4$整体代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$a^2 - 2a = 1$，
对所求式子变形得：$2a^2 - 4a = 2(a^2 - 2a)$，
将$a^2 - 2a = 1$代入得：$2×1=2$。
(2) 先化简代数式：
$\begin{aligned}2(mn - 3m) - 3(2n - mn) &= 2mn - 6m - 6n + 3mn \\&= 5mn - 6m - 6n \\&= 5mn - 6(m + n)\end{aligned}$
将$m + n = 2$，$mn = -4$代入上式得：
$5×(-4) - 6×2 = -20 - 12 = -32$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{-32}$
【知识点】
整体代入求值，整式的加减运算，代数式求值
【点评】
解题的核心是灵活运用整体思想，将所求代数式转化为含有已知条件的整体形式，避免单独求解未知量带来的繁琐计算，减少运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
4.已知多项式$(2x^2 + ax - y + 6) - (bx^2 - 2x + 5y - 1)$.若多项式的值与$x$的取值无关,求$a,b$的值.
答案
解：先对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 6) - (bx^2 - 2x + 5y - 1)\\=&2x^2 + ax - y + 6 - bx^2 + 2x - 5y + 1\\=&(2 - b)x^2 + (a + 2)x - 6y + 7\end{aligned}$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数均为0，可得：
$2 - b = 0,\quad a + 2 = 0$
解得：
$a=-2,\quad b=2$
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 6) - (bx^2 - 2x + 5y - 1)\\=&2x^2 + ax - y + 6 - bx^2 + 2x - 5y + 1\\=&(2 - b)x^2 + (a + 2)x - 6y + 7\end{aligned}$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数均为0，可得：
$2 - b = 0,\quad a + 2 = 0$
解得：
$a=-2,\quad b=2$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确：若多项式的值与x的取值无关，说明所有含x的项无论x取何值都不会影响最终结果，即所有含x的项的系数都为0。解题思路如下：第一步先对多项式去括号、合并同类项，将式子整理为最简形式；第二步找到所有含x的项，令它们的系数分别等于0，得到关于a、b的方程；第三步解方程即可求出a、b的值。
【解析】
先对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 6) - (bx^2 - 2x + 5y - 1)\\=&2x^2 + ax - y + 6 - bx^2 + 2x - 5y + 1\\=&(2 - b)x^2 + (a + 2)x - 6y + 7\end{aligned}$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数均为0，可得：
$2 - b = 0,\quad a + 2 = 0$
解得：
$a=-2,\quad b=2$
【答案】
$a=-2$，$b=2$
【知识点】
合并同类项；整式的加减；多项式与变量无关的条件
【点评】
本题是整式章节的常考典型题，解题核心是理解“多项式的值与某字母取值无关，等价于该字母的所有对应项的系数均为0”，掌握这一规律即可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确：若多项式的值与x的取值无关，说明所有含x的项无论x取何值都不会影响最终结果，即所有含x的项的系数都为0。解题思路如下：第一步先对多项式去括号、合并同类项，将式子整理为最简形式；第二步找到所有含x的项，令它们的系数分别等于0，得到关于a、b的方程；第三步解方程即可求出a、b的值。
【解析】
先对多项式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 6) - (bx^2 - 2x + 5y - 1)\\=&2x^2 + ax - y + 6 - bx^2 + 2x - 5y + 1\\=&(2 - b)x^2 + (a + 2)x - 6y + 7\end{aligned}$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数均为0，可得：
$2 - b = 0,\quad a + 2 = 0$
解得：
$a=-2,\quad b=2$
【答案】
$a=-2$，$b=2$
【知识点】
合并同类项；整式的加减；多项式与变量无关的条件
【点评】
本题是整式章节的常考典型题，解题核心是理解“多项式的值与某字母取值无关，等价于该字母的所有对应项的系数均为0”，掌握这一规律即可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a和4.
(1)写出表示阴影部分面积的代数式(结果要求化简).
(2)求a=3时阴影部分的面积.
(1)写出表示阴影部分面积的代数式(结果要求化简).
(2)求a=3时阴影部分的面积.
答案
解：
(1) 阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2 + 4^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}×4×(a+4)\\&=a^2 + 16 - \frac{1}{2}a^2 - 2a - 8\\&=\frac{1}{2}a^2 - 2a + 8\end{aligned}$
(2) 把$a=3$代入化简后的代数式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{1}{2}×3^2 - 2×3 + 8\\&=\frac{9}{2} - 6 + 8\\&=\frac{13}{2}\end{aligned}$
答：(1) 表示阴影部分面积的代数式为$\frac{1}{2}a^2 - 2a + 8$；(2) 当$a=3$时阴影部分的面积为$\frac{13}{2}$。
(1) 阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2 + 4^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}×4×(a+4)\\&=a^2 + 16 - \frac{1}{2}a^2 - 2a - 8\\&=\frac{1}{2}a^2 - 2a + 8\end{aligned}$
(2) 把$a=3$代入化简后的代数式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{1}{2}×3^2 - 2×3 + 8\\&=\frac{9}{2} - 6 + 8\\&=\frac{13}{2}\end{aligned}$
答：(1) 表示阴影部分面积的代数式为$\frac{1}{2}a^2 - 2a + 8$；(2) 当$a=3$时阴影部分的面积为$\frac{13}{2}$。
解析
【分析】
观察到阴影部分是不规则图形，无法直接计算面积，因此采用“整体减空白”的思路解题：首先计算两个正方形的总面积，再分别求出两个空白直角三角形的面积，用总面积减去两个空白三角形的面积即可得到阴影部分的面积；第二问只需将a=3代入第一问化简得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去两个空白直角三角形的面积：
正方形ABCD的面积为$a^2$，正方形ECGF的面积为$4^2=16$；
边长为a的正方形内空白等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}a^2$；
底为$(a+4)$、高为4的空白直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×4×(a+4)$。
因此可得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2 + 4^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}×4×(a+4)\\&=a^2 + 16 - \frac{1}{2}a^2 - 2a - 8\\&=\frac{1}{2}a^2 - 2a + 8\end{aligned}$
(2) 将$a=3$代入化简后的代数式计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{1}{2}×3^2 - 2×3 + 8\\&=\frac{9}{2} - 6 + 8\\&=\frac{13}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}a^2 - 2a + 8$；(2) $\frac{13}{2}$
【知识点】
不规则图形面积计算、整式化简、代数式求值
【点评】
本题考查割补法求不规则图形的面积，解题关键是准确识别总面积和空白部分的构成，化简代数式和代入求值时要注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
观察到阴影部分是不规则图形，无法直接计算面积，因此采用“整体减空白”的思路解题：首先计算两个正方形的总面积，再分别求出两个空白直角三角形的面积，用总面积减去两个空白三角形的面积即可得到阴影部分的面积；第二问只需将a=3代入第一问化简得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去两个空白直角三角形的面积：
正方形ABCD的面积为$a^2$，正方形ECGF的面积为$4^2=16$；
边长为a的正方形内空白等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}a^2$；
底为$(a+4)$、高为4的空白直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×4×(a+4)$。
因此可得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2 + 4^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}×4×(a+4)\\&=a^2 + 16 - \frac{1}{2}a^2 - 2a - 8\\&=\frac{1}{2}a^2 - 2a + 8\end{aligned}$
(2) 将$a=3$代入化简后的代数式计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{1}{2}×3^2 - 2×3 + 8\\&=\frac{9}{2} - 6 + 8\\&=\frac{13}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}a^2 - 2a + 8$；(2) $\frac{13}{2}$
【知识点】
不规则图形面积计算、整式化简、代数式求值
【点评】
本题考查割补法求不规则图形的面积，解题关键是准确识别总面积和空白部分的构成，化简代数式和代入求值时要注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 如图，阶梯图的每级台阶上都标着一个数，从下往上的第1至第4级台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四级台阶上的数的和都相等。
【尝试】
(1)求前4级台阶上数的和是多少。
(2)求第5级台阶上的数x是多少。
【应用】
(3)求从下往上前2026级台阶上数的和。
【尝试】
(1)求前4级台阶上数的和是多少。
(2)求第5级台阶上的数x是多少。
【应用】
(3)求从下往上前2026级台阶上数的和。
答案
解：
(1) 前4级台阶上数的和为：
$-5 + (-2) + 1 + 9 = 3$
(2) 根据题意，任意相邻四级台阶上的数的和相等，因此第2级到第5级台阶上的数的和等于前4级台阶上数的和，可得：
$-2 + 1 + 9 + x = 3$
解得 $x = -5$
(3) 由推导可知，台阶上的数以$-5,-2,1,9$为一个周期循环，每个周期的和为3，周期长度为4。
因为 $2026 ÷ 4 = 506······2$，即前2026级台阶包含506个完整周期，剩余2个台阶对应周期内前两个数$-5$和$-2$。
因此前2026级台阶上数的和为：
$506 × 3 + (-5) + (-2) = 1511$
答：(1) 前4级台阶上数的和是3；(2) 第5级台阶上的数$x$是$-5$；(3) 前2026级台阶上数的和是1511。
(1) 前4级台阶上数的和为：
$-5 + (-2) + 1 + 9 = 3$
(2) 根据题意，任意相邻四级台阶上的数的和相等，因此第2级到第5级台阶上的数的和等于前4级台阶上数的和，可得：
$-2 + 1 + 9 + x = 3$
解得 $x = -5$
(3) 由推导可知，台阶上的数以$-5,-2,1,9$为一个周期循环，每个周期的和为3，周期长度为4。
因为 $2026 ÷ 4 = 506······2$，即前2026级台阶包含506个完整周期，剩余2个台阶对应周期内前两个数$-5$和$-2$。
因此前2026级台阶上数的和为：
$506 × 3 + (-5) + (-2) = 1511$
答：(1) 前4级台阶上数的和是3；(2) 第5级台阶上的数$x$是$-5$；(3) 前2026级台阶上数的和是1511。
解析
【分析】
(1) 第一问求前4级台阶的数的和，直接将前4级已知的4个数相加计算即可。
(2) 第二问求x的值，题目明确任意相邻四级台阶的数的和相等，因此第2到第5级这四个相邻数的和等于前4级的和，据此列等式即可求解x。
(3) 第三问求前2026级台阶的和，先根据已有的数推导规律：计算出x=-5后可发现数字以-5、-2、1、9为一个周期循环，每个周期和为3。再用2026除以周期长度4，得到完整周期数和余数，用完整周期的总合加上余下对应数的和即可得到最终结果。
【解析】
(1) 前4级台阶上数的和为：
$-5 + (-2) + 1 + 9 = 3$
(2) 根据任意相邻四级台阶上的数的和相等，可得第2~5级台阶的数的和等于前4级的和：
$-2 + 1 + 9 + x = 3$
化简得$8+x=3$，解得$x=-5$
(3) 由计算结果可知，台阶上的数按$-5,-2,1,9$的顺序循环出现，周期长度为4，每个周期的和为3。
计算$2026÷4=506······2$，即前2026级台阶包含506个完整周期，剩余2个台阶对应周期内前两个数$-5$和$-2$。
因此前2026级台阶的和为：
$506×3 + (-5) + (-2) = 1518-7=1511$
【答案】
(1) 3；(2) $-5$；(3) 1511
【知识点】
有理数加减运算，数字规律探究，周期问题计算
【点评】
本题结合阶梯场景考查有理数运算与规律归纳能力，解题核心是根据“相邻四级和相等”的条件推导出数字的循环周期，再利用周期性质求解大数量级的总和，能有效锻炼逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求前4级台阶的数的和，直接将前4级已知的4个数相加计算即可。
(2) 第二问求x的值，题目明确任意相邻四级台阶的数的和相等，因此第2到第5级这四个相邻数的和等于前4级的和，据此列等式即可求解x。
(3) 第三问求前2026级台阶的和，先根据已有的数推导规律：计算出x=-5后可发现数字以-5、-2、1、9为一个周期循环，每个周期和为3。再用2026除以周期长度4，得到完整周期数和余数，用完整周期的总合加上余下对应数的和即可得到最终结果。
【解析】
(1) 前4级台阶上数的和为：
$-5 + (-2) + 1 + 9 = 3$
(2) 根据任意相邻四级台阶上的数的和相等，可得第2~5级台阶的数的和等于前4级的和：
$-2 + 1 + 9 + x = 3$
化简得$8+x=3$，解得$x=-5$
(3) 由计算结果可知，台阶上的数按$-5,-2,1,9$的顺序循环出现，周期长度为4，每个周期的和为3。
计算$2026÷4=506······2$，即前2026级台阶包含506个完整周期，剩余2个台阶对应周期内前两个数$-5$和$-2$。
因此前2026级台阶的和为：
$506×3 + (-5) + (-2) = 1518-7=1511$
【答案】
(1) 3；(2) $-5$；(3) 1511
【知识点】
有理数加减运算，数字规律探究，周期问题计算
【点评】
本题结合阶梯场景考查有理数运算与规律归纳能力，解题核心是根据“相邻四级和相等”的条件推导出数字的循环周期，再利用周期性质求解大数量级的总和，能有效锻炼逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
