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14.【数学应用】星期日，张老师提着篮子（篮子质量为0.5 kg）去集市买鸡蛋，摊主给他称了10 kg。当张老师往篮子里拾称好的鸡蛋时，发现比过去买10 kg鸡蛋的数量少了很多，于是她将鸡蛋装进篮子后用摊主的秤一起称，共称得10.55 kg。她立刻要求摊主退1 kg鸡蛋的钱，她是怎样知道摊主少称了鸡蛋的呢（精确到1 kg）？请将分析过程写出来。由此你得到什么启示？（请用一至两句话，简要叙述出来）
答案
解:设摊主称得鸡蛋的质量为 x kg,鸡蛋的实际质量为 y kg。
因为篮子的实际质量为 0.5 kg,鸡蛋放入篮子后一起称,增量为$10.55-10=0.55(\mathrm{kg})$,所以$y=\dfrac{0.5}{0.55}x$。
当$x=10$时,$y≈9.09$。
$10-9.09=0.91≈1$。所以少给了大约 1 kg 鸡蛋。
(启示答案不唯一,合理即可)如:生活中要多动脑,所学的数学知识在实际生活中随处可用。
因为篮子的实际质量为 0.5 kg,鸡蛋放入篮子后一起称,增量为$10.55-10=0.55(\mathrm{kg})$,所以$y=\dfrac{0.5}{0.55}x$。
当$x=10$时,$y≈9.09$。
$10-9.09=0.91≈1$。所以少给了大约 1 kg 鸡蛋。
(启示答案不唯一,合理即可)如:生活中要多动脑,所学的数学知识在实际生活中随处可用。
解析
【分析】
解题时首先要明确：不准的秤的显示质量和物品的实际质量成正比例关系（属于正比例函数的应用范畴）。我们已知篮子的实际质量为0.5kg，先算出篮子在摊主秤上的显示质量，即可得到实际质量和显示质量的比例关系，再设未知数建立两者的函数关系式，代入摊主称得的10kg（显示质量），就能算出鸡蛋的实际质量，最后求差得到少称的重量。
【解析】
解：设摊主称得的物品显示质量为$x$kg，物品的实际质量为$y$kg。
由题意，篮子实际质量为0.5kg，鸡蛋单独称显示质量为10kg，鸡蛋和篮子一起称显示质量为10.55kg，因此篮子在该秤上的显示质量为：
$10.55-10=0.55(\mathrm{kg})$
因为秤的显示质量与实际质量成正比例，可得：
$\frac{y}{x}=\frac{0.5}{0.55}$，即$y=\frac{0.5}{0.55}x$
当鸡蛋的显示质量$x=10$时，代入关系式得鸡蛋实际质量：
$y=\frac{0.5}{0.55}×10\approx9.09(\mathrm{kg})$
少称的鸡蛋质量为：$10-9.09\approx1(\mathrm{kg})$
答：摊主少称了大约1kg的鸡蛋。
启示：生活中可以灵活运用数学知识辨别问题，所学的数学知识在实际生活中随处可用（合理即可）。
【答案】
摊主少称了大约1kg鸡蛋；启示示例：生活中要多动脑，用所学的数学知识解决实际问题。
【知识点】
正比例函数应用，比例运算
【点评】
本题结合生活中的消费场景出题，核心是抓住不准确的秤的称量值和实际值成正比例的关系，通过已知的篮子的实际质量和称量值求出比例系数，进而求解鸡蛋的实际质量，能够引导学生树立将数学知识应用于生活的意识。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：不准的秤的显示质量和物品的实际质量成正比例关系（属于正比例函数的应用范畴）。我们已知篮子的实际质量为0.5kg，先算出篮子在摊主秤上的显示质量，即可得到实际质量和显示质量的比例关系，再设未知数建立两者的函数关系式，代入摊主称得的10kg（显示质量），就能算出鸡蛋的实际质量，最后求差得到少称的重量。
【解析】
解：设摊主称得的物品显示质量为$x$kg，物品的实际质量为$y$kg。
由题意，篮子实际质量为0.5kg，鸡蛋单独称显示质量为10kg，鸡蛋和篮子一起称显示质量为10.55kg，因此篮子在该秤上的显示质量为：
$10.55-10=0.55(\mathrm{kg})$
因为秤的显示质量与实际质量成正比例，可得：
$\frac{y}{x}=\frac{0.5}{0.55}$，即$y=\frac{0.5}{0.55}x$
当鸡蛋的显示质量$x=10$时，代入关系式得鸡蛋实际质量：
$y=\frac{0.5}{0.55}×10\approx9.09(\mathrm{kg})$
少称的鸡蛋质量为：$10-9.09\approx1(\mathrm{kg})$
答：摊主少称了大约1kg的鸡蛋。
启示：生活中可以灵活运用数学知识辨别问题，所学的数学知识在实际生活中随处可用（合理即可）。
【答案】
摊主少称了大约1kg鸡蛋；启示示例：生活中要多动脑，用所学的数学知识解决实际问题。
【知识点】
正比例函数应用，比例运算
【点评】
本题结合生活中的消费场景出题，核心是抓住不准确的秤的称量值和实际值成正比例的关系，通过已知的篮子的实际质量和称量值求出比例系数，进而求解鸡蛋的实际质量，能够引导学生树立将数学知识应用于生活的意识。
【难度系数】
0.6
15.如图,在边长为1的正方形ABCD的边上有一个动点P,点P由点A沿着A－B－C－D的路线向点D移动,点P移动的路程为a,△DAP的面积为S,分别写出当点P在边AB上时和在边DC上时,S与a之间的关系式。
答案
当点 P 在边 AB 上时,
$S=\dfrac{1}{2}a(0≤ a≤1)$;
当点 P 在边 DC 上时,
$S=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{3}{2}(2≤ a≤3)$。
$S=\dfrac{1}{2}a(0≤ a≤1)$;
当点 P 在边 DC 上时,
$S=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{3}{2}(2≤ a≤3)$。
解析
【分析】
解决本题需要分两种情况讨论，结合正方形的性质和三角形面积公式推导关系式：
1. 当点P在AB上时：首先明确△DAP是直角三角形，直角在A点，底AP的长度就是点P移动的路程a，高为正方形的边长AD=1，直接代入三角形面积公式即可得到S和a的关系式，同时确定此时a的取值范围是点P从A到B的路程，即0≤a≤1。
2. 当点P在DC上时：首先计算点P走到C点时已经移动了AB+BC=2个单位长度，因此点P在DC上移动时，总路程a≥2，到D点时总路程为3，故a≤3。先求出DP的长度：总路程a减去AB和BC的长度和2，得到CP的长度为a-2，再用DC的长度1减去CP的长度，即可得到DP=3-a。此时△DAP是直角三角形，直角在D点，高为AD=1，底为DP，代入面积公式即可得到对应的关系式。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在边AB上时，$0≤ a≤1$：
此时$AP=a$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD⊥ AB$，$AD=1$，
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× AP× AD=\frac{1}{2}× a×1=\frac{1}{2}a$。
2. 当点P在边DC上时，$2≤ a≤3$：
点P走过的路程为$AB+BC+CP=a$，其中$AB=BC=1$，
∴$CP=a-1-1=a-2$，
∴$DP=DC-CP=1-(a-2)=3-a$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD⊥ DC$，$AD=1$，
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× DP× AD=\frac{1}{2}×(3-a)×1=-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}$。
【答案】
当点 P 在边 AB 上时，$S=\dfrac{1}{2}a(0≤ a≤1)$；
当点 P 在边 DC 上时，$S=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{3}{2}(2≤ a≤3)$。
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 三角形面积计算
3. 正方形的性质
【点评】
本题是分段函数在几何动点问题中的基础应用，解题的关键是根据动点的不同位置分类讨论，结合图形性质找到对应线段的长度表达式，同时要注意不同情况下自变量的取值范围，这类题型是后续更复杂动点问题的基础，需熟练掌握分类讨论的解题思路。
【难度系数】
0.7
解决本题需要分两种情况讨论，结合正方形的性质和三角形面积公式推导关系式：
1. 当点P在AB上时：首先明确△DAP是直角三角形，直角在A点，底AP的长度就是点P移动的路程a，高为正方形的边长AD=1，直接代入三角形面积公式即可得到S和a的关系式，同时确定此时a的取值范围是点P从A到B的路程，即0≤a≤1。
2. 当点P在DC上时：首先计算点P走到C点时已经移动了AB+BC=2个单位长度，因此点P在DC上移动时，总路程a≥2，到D点时总路程为3，故a≤3。先求出DP的长度：总路程a减去AB和BC的长度和2，得到CP的长度为a-2，再用DC的长度1减去CP的长度，即可得到DP=3-a。此时△DAP是直角三角形，直角在D点，高为AD=1，底为DP，代入面积公式即可得到对应的关系式。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在边AB上时，$0≤ a≤1$：
此时$AP=a$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD⊥ AB$，$AD=1$，
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× AP× AD=\frac{1}{2}× a×1=\frac{1}{2}a$。
2. 当点P在边DC上时，$2≤ a≤3$：
点P走过的路程为$AB+BC+CP=a$，其中$AB=BC=1$，
∴$CP=a-1-1=a-2$，
∴$DP=DC-CP=1-(a-2)=3-a$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD⊥ DC$，$AD=1$，
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× DP× AD=\frac{1}{2}×(3-a)×1=-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}$。
【答案】
当点 P 在边 AB 上时，$S=\dfrac{1}{2}a(0≤ a≤1)$；
当点 P 在边 DC 上时，$S=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{3}{2}(2≤ a≤3)$。
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 三角形面积计算
3. 正方形的性质
【点评】
本题是分段函数在几何动点问题中的基础应用，解题的关键是根据动点的不同位置分类讨论，结合图形性质找到对应线段的长度表达式，同时要注意不同情况下自变量的取值范围，这类题型是后续更复杂动点问题的基础，需熟练掌握分类讨论的解题思路。
【难度系数】
0.7
