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8.一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图所示的分别是从它的正面、左面看到的形状图，则搭成该几何体最多需要
14
个小立方块。答案
8.14
解析
【分析】
要计算搭成几何体最多需要的小立方块数量，我们可以先通过两个视图确定几何体的行列分布，再分层计算每层最多可放的小立方块数量：①从正面看的形状图可知，几何体左右共3列，第1列最高3层，第2列最高1层，第3列最高2层；②从左面看的形状图可知，几何体前后共3行，最后侧行最高2层，中间行最高3层，最前侧行最高1层；③分层计数时，满足对应行、列高度要求的位置都放置小立方块，即可得到最多数量，最后求和即可。
【解析】
解：我们按层数分别计算最多可放的小立方块数量：
1. 第一层（底层）：左右3列、前后3行都可以放置，最多有$3×3=9$个；
2. 第二层：只有主视图中高度≥2的第1、3列，且左视图中高度≥2的最后侧、中间行可以放置，最多有$2×2=4$个；
3. 第三层：只有主视图中高度≥3的第1列，且左视图中高度≥3的中间行可以放置，最多有$1×1=1$个。
总数量最多为$9+4+1=14$个。
【答案】
14
【知识点】
三视图还原几何体，立方体堆叠计数
【点评】
本题需要学生掌握主视图反映几何体左右列的高度、左视图反映几何体前后行的高度的特点，解题时要紧扣“最多”的要求，所有符合高度限制的位置都计数即可，容易出错的地方是混淆左视图对应的行方向。
【难度系数】
0.65
要计算搭成几何体最多需要的小立方块数量，我们可以先通过两个视图确定几何体的行列分布，再分层计算每层最多可放的小立方块数量：①从正面看的形状图可知，几何体左右共3列，第1列最高3层，第2列最高1层，第3列最高2层；②从左面看的形状图可知，几何体前后共3行，最后侧行最高2层，中间行最高3层，最前侧行最高1层；③分层计数时，满足对应行、列高度要求的位置都放置小立方块，即可得到最多数量，最后求和即可。
【解析】
解：我们按层数分别计算最多可放的小立方块数量：
1. 第一层（底层）：左右3列、前后3行都可以放置，最多有$3×3=9$个；
2. 第二层：只有主视图中高度≥2的第1、3列，且左视图中高度≥2的最后侧、中间行可以放置，最多有$2×2=4$个；
3. 第三层：只有主视图中高度≥3的第1列，且左视图中高度≥3的中间行可以放置，最多有$1×1=1$个。
总数量最多为$9+4+1=14$个。
【答案】
14
【知识点】
三视图还原几何体，立方体堆叠计数
【点评】
本题需要学生掌握主视图反映几何体左右列的高度、左视图反映几何体前后行的高度的特点，解题时要紧扣“最多”的要求，所有符合高度限制的位置都计数即可，容易出错的地方是混淆左视图对应的行方向。
【难度系数】
0.65
9.【综合与实践】如图所示的是从正面、左面和上面看某个几何体的形状图。
(1)说出这个几何体的名称。
(2)画出它的表面展开图。
(3)若从正面看宽为4 cm，长为15 cm，从左面看宽为3 cm，从上面看斜边长为5 cm，这个几何体的所有棱长的和为多少？它的表面积为多少？
(1)说出这个几何体的名称。
(2)画出它的表面展开图。
(3)若从正面看宽为4 cm，长为15 cm，从左面看宽为3 cm，从上面看斜边长为5 cm，这个几何体的所有棱长的和为多少？它的表面积为多少？
答案
9.解:(1)三棱柱。
(2)如图。(答案不唯一)
(3)所有棱长的和为 15×3+2×(3+4+5)=69(cm)，
表面积为 15×(3+4+5)+2×$\frac{1}{2}$×3×4=192(cm²)。
解析
【分析】
(1)判断几何体名称时，先观察三视图特征：俯视图为三角形，说明几何体底面是三角形，主视图和左视图都是长方形，说明该几何体是柱体，结合两个特征即可确定是三棱柱。
(2)画表面展开图时，明确三棱柱由2个全等的三角形底面和3个长方形侧面组成，合理排列各面即可，画法不唯一。
(3)计算棱长和与表面积时，先梳理各部分长度：侧棱长度等于主视图的长15cm，共3条；上下底面都是直角三角形，三边长分别为3cm、4cm、5cm。棱长和为所有侧棱长度加两个底面的周长总和；表面积为侧面积（三个长方形面积和）加两个底面三角形的面积和，分别代入数据计算即可。
【解析】
(1) 由三视图可知，该几何体的底面是三角形，侧面均为长方形，符合三棱柱的特征，因此这个几何体是三棱柱。
(2) 三棱柱的表面展开图包含2个全等的直角三角形和3个长方形，给出的展开图符合要求，画法不唯一。
(3) 计算棱长和：
三棱柱有3条侧棱，每条侧棱长15cm，侧棱总长度为$15×3=45\mathrm{cm}$；
上下两个底面都是直角三角形，每个三角形的周长为$3+4+5=12\mathrm{cm}$，两个底面的棱长总和为$2×12=24\mathrm{cm}$；
因此所有棱长的和为$45+24=69\mathrm{cm}$。
计算表面积：
侧面积是三个侧面长方形的面积和，长方形的长均为15cm，宽分别为底面三角形的三边长3cm、4cm、5cm，因此侧面积为$15×3+15×4+15×5=15×(3+4+5)=180\mathrm{cm}^2$；
两个底面直角三角形的面积和为$2×\frac{1}{2}×3×4=12\mathrm{cm}^2$；
因此总表面积为$180+12=192\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 三棱柱。
(2) 如图。(答案不唯一)
(3) 所有棱长的和为69cm，表面积为192cm²。
【知识点】
三视图判断几何体，几何体展开图，棱长与表面积计算
【点评】
本题考查三视图与几何体的对应关系、三棱柱的展开图及相关计算，解题的关键是根据三视图确定几何体各部分的长度，计算时注意不要漏算上下底面的棱长和面积。
【难度系数】
0.7
(1)判断几何体名称时，先观察三视图特征：俯视图为三角形，说明几何体底面是三角形，主视图和左视图都是长方形，说明该几何体是柱体，结合两个特征即可确定是三棱柱。
(2)画表面展开图时，明确三棱柱由2个全等的三角形底面和3个长方形侧面组成，合理排列各面即可，画法不唯一。
(3)计算棱长和与表面积时，先梳理各部分长度：侧棱长度等于主视图的长15cm，共3条；上下底面都是直角三角形，三边长分别为3cm、4cm、5cm。棱长和为所有侧棱长度加两个底面的周长总和；表面积为侧面积（三个长方形面积和）加两个底面三角形的面积和，分别代入数据计算即可。
【解析】
(1) 由三视图可知，该几何体的底面是三角形，侧面均为长方形，符合三棱柱的特征，因此这个几何体是三棱柱。
(2) 三棱柱的表面展开图包含2个全等的直角三角形和3个长方形，给出的展开图符合要求，画法不唯一。
(3) 计算棱长和：
三棱柱有3条侧棱，每条侧棱长15cm，侧棱总长度为$15×3=45\mathrm{cm}$；
上下两个底面都是直角三角形，每个三角形的周长为$3+4+5=12\mathrm{cm}$，两个底面的棱长总和为$2×12=24\mathrm{cm}$；
因此所有棱长的和为$45+24=69\mathrm{cm}$。
计算表面积：
侧面积是三个侧面长方形的面积和，长方形的长均为15cm，宽分别为底面三角形的三边长3cm、4cm、5cm，因此侧面积为$15×3+15×4+15×5=15×(3+4+5)=180\mathrm{cm}^2$；
两个底面直角三角形的面积和为$2×\frac{1}{2}×3×4=12\mathrm{cm}^2$；
因此总表面积为$180+12=192\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 三棱柱。
(2) 如图。(答案不唯一)
(3) 所有棱长的和为69cm，表面积为192cm²。
【知识点】
三视图判断几何体，几何体展开图，棱长与表面积计算
【点评】
本题考查三视图与几何体的对应关系、三棱柱的展开图及相关计算，解题的关键是根据三视图确定几何体各部分的长度，计算时注意不要漏算上下底面的棱长和面积。
【难度系数】
0.7
10.【数学应用】如图所示的是某美术展的一个展品,它是由棱长均为10 dm的立方块搭成的,工人师傅要将其表面(底面除外)涂上油漆,则工人师傅需涂多少平方米的油漆？
答案
10.解:先画出从“前、后、左、右、上”五个方向看到的形状图(如图),再求解。
(6×2+6×2+6)×10×10÷100=30(m²)，
所以工人师傅需涂 30 m² 的油漆。
解析
【分析】
要计算除底面外的涂漆总面积，可通过统计5个可视方向（前、后、左、右、上）的小正方形面总数求解：首先前后方向、左右方向看到的小正方形数量分别相等，只需数出前、左、上三个方向的小正方形个数，即可求出总面数；再计算单个小正方形的面积，乘总面数得到总面积，最后将单位转换为平方米即可。
【解析】
1. 明确涂漆范围：仅需要计算前、后、左、右、上5个方向的面的面积之和，底面不涂漆。
2. 统计各方向小正方形数量：观察三视图可知，从前、左方向看各有6个小正方形，因此后、右方向也各对应6个，从上方看有6个小正方形，总共有小正方形面：$6×2 + 6×2 + 6 = 30$个。
3. 计算总面积：单个小正方形的棱长为10dm，单个面面积为$10×10=100\mathrm{dm}^2$，因此总面积为$30×100=3000\mathrm{dm}^2$。
4. 单位转换：因为$1\mathrm{m}^2=100\mathrm{dm}^2$，所以$3000\mathrm{dm}^2=3000÷100=30\mathrm{m}^2$。
【答案】
先画出从“前、后、左、右、上”五个方向看到的形状图(如图)，(6×2+6×2+6)×10×10÷100=30(m²)，所以工人师傅需涂 30 m² 的油漆。
【知识点】
三视图识别，几何体表面积计算，单位换算
【点评】
本题结合实际场景考查立体图形的表面积计算，解题核心是通过三视图准确统计各方向的正方形面数，计算时要注意单位的统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.7
要计算除底面外的涂漆总面积，可通过统计5个可视方向（前、后、左、右、上）的小正方形面总数求解：首先前后方向、左右方向看到的小正方形数量分别相等，只需数出前、左、上三个方向的小正方形个数，即可求出总面数；再计算单个小正方形的面积，乘总面数得到总面积，最后将单位转换为平方米即可。
【解析】
1. 明确涂漆范围：仅需要计算前、后、左、右、上5个方向的面的面积之和，底面不涂漆。
2. 统计各方向小正方形数量：观察三视图可知，从前、左方向看各有6个小正方形，因此后、右方向也各对应6个，从上方看有6个小正方形，总共有小正方形面：$6×2 + 6×2 + 6 = 30$个。
3. 计算总面积：单个小正方形的棱长为10dm，单个面面积为$10×10=100\mathrm{dm}^2$，因此总面积为$30×100=3000\mathrm{dm}^2$。
4. 单位转换：因为$1\mathrm{m}^2=100\mathrm{dm}^2$，所以$3000\mathrm{dm}^2=3000÷100=30\mathrm{m}^2$。
【答案】
先画出从“前、后、左、右、上”五个方向看到的形状图(如图)
，(6×2+6×2+6)×10×10÷100=30(m²)，所以工人师傅需涂 30 m² 的油漆。【知识点】
三视图识别，几何体表面积计算，单位换算
【点评】
本题结合实际场景考查立体图形的表面积计算，解题核心是通过三视图准确统计各方向的正方形面数，计算时要注意单位的统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.7
11.【数学游戏】一次数学活动课后，张明用17个棱长为1的小立方块搭成一个如图所示的几何体，然后他请王亮用其他同样的小立方块在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭的几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要多少个小立方块？王亮所搭几何体的表面积为多少？
答案
11.解:王亮至少还需要小正方体的个数为4×3×3−17=19，王亮所搭几何体的表面积为(2×7+2×8+2×9)×1×1=48。
解析
【分析】
解题时首先思考：要拼成无缝隙的大长方体且使用的小立方块最少，那么大长方体的尺寸应该是刚好能容纳张明所搭几何体的最小规格。观察原几何体可得，其横向最长有3个小立方块，前后方向最宽有3个，高度最高为4层，因此最小大长方体的长宽高为3、3、4，先算出大长方体总小立方块数，减去已有的17个，即可得到王亮需要的个数。计算表面积时，采用三视图法：分别统计从正面、左面、上面三个方向看到的王亮所搭几何体的小正方形面数，由于相对的面看到的面数相等，总面数为三个方向面数和的2倍，再乘单个小正方形的面积即可得到表面积。
【解析】
1. 计算所需小立方块个数：
观察原几何体可知，拼成的最小大长方体的长为3、宽为3、高为4，因此大长方体共需小立方块：
$ 3×3×4=36 $（个）
已知张明已有17个小立方块，因此王亮至少需要：
$ 36-17=19 $（个）
2. 计算王亮所搭几何体的表面积：
通过三视图观察王亮所搭几何体，可得：
正视图（前后方向）可见小正方形个数为7，左视图（左右方向）可见小正方形个数为8，俯视图（上下方向）可见小正方形个数为9。
由于几何体相对的面面积相等，因此总表面积对应的小正方形总个数为：
$ 2×(7+8+9)=48 $
每个小正方形面的面积为$ 1×1=1 $，因此该几何体的表面积为$ 48×1=48 $。
【答案】
王亮至少还需要19个小立方块，所搭几何体的表面积为48。
【知识点】
立方体拼接计数，几何体表面积计算，三视图应用
【点评】
本题重点考查立体图形的空间想象能力，解题的关键是确定拼接后大长方体的最小尺寸，再利用三视图法快速计算不规则几何体的表面积，是立体图形章节的典型应用题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先思考：要拼成无缝隙的大长方体且使用的小立方块最少，那么大长方体的尺寸应该是刚好能容纳张明所搭几何体的最小规格。观察原几何体可得，其横向最长有3个小立方块，前后方向最宽有3个，高度最高为4层，因此最小大长方体的长宽高为3、3、4，先算出大长方体总小立方块数，减去已有的17个，即可得到王亮需要的个数。计算表面积时，采用三视图法：分别统计从正面、左面、上面三个方向看到的王亮所搭几何体的小正方形面数，由于相对的面看到的面数相等，总面数为三个方向面数和的2倍，再乘单个小正方形的面积即可得到表面积。
【解析】
1. 计算所需小立方块个数：
观察原几何体可知，拼成的最小大长方体的长为3、宽为3、高为4，因此大长方体共需小立方块：
$ 3×3×4=36 $（个）
已知张明已有17个小立方块，因此王亮至少需要：
$ 36-17=19 $（个）
2. 计算王亮所搭几何体的表面积：
通过三视图观察王亮所搭几何体，可得：
正视图（前后方向）可见小正方形个数为7，左视图（左右方向）可见小正方形个数为8，俯视图（上下方向）可见小正方形个数为9。
由于几何体相对的面面积相等，因此总表面积对应的小正方形总个数为：
$ 2×(7+8+9)=48 $
每个小正方形面的面积为$ 1×1=1 $，因此该几何体的表面积为$ 48×1=48 $。
【答案】
王亮至少还需要19个小立方块，所搭几何体的表面积为48。
【知识点】
立方体拼接计数，几何体表面积计算，三视图应用
【点评】
本题重点考查立体图形的空间想象能力，解题的关键是确定拼接后大长方体的最小尺寸，再利用三视图法快速计算不规则几何体的表面积，是立体图形章节的典型应用题型。
【难度系数】
0.6
