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| 序号 | 基础知识 | |
| --- | --- | --- |
| 1 | 圆内接四边形与多边形的外接圆 | 所有顶点都在
| 2 | 圆周角定理的推论3 | 圆内接四边形的对角
困惑疑问：
| 序号 | 基础知识 | |
| --- | --- | --- |
| 1 | 圆内接四边形与多边形的外接圆 | 所有顶点都在
同一个圆上
的多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆
。 || 2 | 圆周角定理的推论3 | 圆内接四边形的对角
互补
。 |困惑疑问：
答案
1. 同一个圆上 外接圆
2. 互补
2. 互补
解析
【分析】
本题是基础概念填空题，考查圆内接多边形相关定义及圆内接四边形的性质，解题时只需回忆对应课本概念，匹配空缺内容即可：首先回忆圆内接多边形的定义，确定第1题的两个空缺内容；再回忆圆周角推论中圆内接四边形的对角性质，填写第2题空缺。
【解析】
1. 根据圆内接多边形的定义：所有顶点都在同一个圆上的多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆，因此第一空填“同一个圆上”，第二空填“外接圆”。
2. 根据圆周角定理的推论3：圆内接四边形的对角互补，因此第三空填“互补”。
【答案】
1. 同一个圆上；外接圆
2. 互补
【知识点】
圆内接多边形定义、外接圆定义、圆内接四边形性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对圆相关基础概念和性质的掌握，熟练记忆课本对应知识点即可快速得分，是后续解决圆与四边形结合类题目的基础。
【难度系数】
0.9
本题是基础概念填空题，考查圆内接多边形相关定义及圆内接四边形的性质，解题时只需回忆对应课本概念，匹配空缺内容即可：首先回忆圆内接多边形的定义，确定第1题的两个空缺内容；再回忆圆周角推论中圆内接四边形的对角性质，填写第2题空缺。
【解析】
1. 根据圆内接多边形的定义：所有顶点都在同一个圆上的多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆，因此第一空填“同一个圆上”，第二空填“外接圆”。
2. 根据圆周角定理的推论3：圆内接四边形的对角互补，因此第三空填“互补”。
【答案】
1. 同一个圆上；外接圆
2. 互补
【知识点】
圆内接多边形定义、外接圆定义、圆内接四边形性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对圆相关基础概念和性质的掌握，熟练记忆课本对应知识点即可快速得分，是后续解决圆与四边形结合类题目的基础。
【难度系数】
0.9
思考1.仿照“圆内接三角形”的概念，如何给圆内接多边形下定义？
答案
所有顶点都在同一个圆上的多边形叫作圆内接多边形。
解析
【分析】
解题时先回顾已学的圆内接三角形的定义，提取其核心特征：所有顶点都在同一个圆上，图形为三角形。要得到圆内接多边形的定义，只需运用类比思想，将“三角形”这一特殊多边形替换为一般“多边形”，保留核心特征即可完成定义推导。
【解析】
首先明确圆内接三角形的定义：所有顶点都在同一个圆上的三角形叫做圆内接三角形。仿照该概念，将适用对象从三角形拓展到任意多边形，保持“所有顶点都在同一个圆上”的前提条件，即可得到圆内接多边形的定义。
【答案】
所有顶点都在同一个圆上的多边形叫作圆内接多边形。
【知识点】
圆内接多边形定义；类比推理
【点评】
本题是基础概念延伸类题目，重点考查对已知概念的迁移应用能力，通过从特殊的三角形到一般多边形的概念推广，能帮助学生建立从特殊到一般的数学思维，掌握同类概念的定义规律。
【难度系数】
0.8
解题时先回顾已学的圆内接三角形的定义，提取其核心特征：所有顶点都在同一个圆上，图形为三角形。要得到圆内接多边形的定义，只需运用类比思想，将“三角形”这一特殊多边形替换为一般“多边形”，保留核心特征即可完成定义推导。
【解析】
首先明确圆内接三角形的定义：所有顶点都在同一个圆上的三角形叫做圆内接三角形。仿照该概念，将适用对象从三角形拓展到任意多边形，保持“所有顶点都在同一个圆上”的前提条件，即可得到圆内接多边形的定义。
【答案】
所有顶点都在同一个圆上的多边形叫作圆内接多边形。
【知识点】
圆内接多边形定义；类比推理
【点评】
本题是基础概念延伸类题目，重点考查对已知概念的迁移应用能力，通过从特殊的三角形到一般多边形的概念推广，能帮助学生建立从特殊到一般的数学思维，掌握同类概念的定义规律。
【难度系数】
0.8
1. 下列图形一定是圆内接四边形的是(
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.对角线互相垂直的四边形
C
)。A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.对角线互相垂直的四边形
答案
C
解析
【分析】
解答本题首先要明确圆内接四边形的核心判定条件：对角互补的四边形内接于圆。接下来结合各选项中四边形的内角性质，逐一判断其对角是否一定互补，即可选出正确答案。
【解析】
我们依据“对角互补的四边形是圆内接四边形”这一判定规则分析各选项：
1. 选项A：平行四边形的对角相等，仅当平行四边形为矩形时对角才互补，普通平行四边形对角和不一定为180°，因此不一定是圆内接四边形，排除；
2. 选项B：菱形的对角相等，仅当菱形为正方形（特殊矩形）时对角才互补，普通菱形对角和不为180°，因此不一定是圆内接四边形，排除；
3. 选项C：矩形的四个内角均为90°，任意一组对角的和为90°+90°=180°，满足对角互补的要求，因此矩形一定是圆内接四边形，符合题意；
4. 选项D：对角线互相垂直的四边形，对角不一定互补，如普通的筝形，因此不一定是圆内接四边形，排除。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的判定；特殊平行四边形的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟练掌握圆内接四边形的判定定理，同时熟知各类特殊四边形的内角特征，将二者结合即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确圆内接四边形的核心判定条件：对角互补的四边形内接于圆。接下来结合各选项中四边形的内角性质，逐一判断其对角是否一定互补，即可选出正确答案。
【解析】
我们依据“对角互补的四边形是圆内接四边形”这一判定规则分析各选项：
1. 选项A：平行四边形的对角相等，仅当平行四边形为矩形时对角才互补，普通平行四边形对角和不一定为180°，因此不一定是圆内接四边形，排除；
2. 选项B：菱形的对角相等，仅当菱形为正方形（特殊矩形）时对角才互补，普通菱形对角和不为180°，因此不一定是圆内接四边形，排除；
3. 选项C：矩形的四个内角均为90°，任意一组对角的和为90°+90°=180°，满足对角互补的要求，因此矩形一定是圆内接四边形，符合题意；
4. 选项D：对角线互相垂直的四边形，对角不一定互补，如普通的筝形，因此不一定是圆内接四边形，排除。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的判定；特殊平行四边形的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟练掌握圆内接四边形的判定定理，同时熟知各类特殊四边形的内角特征，将二者结合即可快速判断。
【难度系数】
0.8
思考 2.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,$\overset{\frown}{ADC}$与$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角度数之和为多少?∠B与∠D有什么数量关系?∠A与∠C呢?
思考2图
思考2图
答案
$360°$,$∠ B+∠ D=180°$,$∠ A+∠ C=180°$
解析
【分析】
解题时首先观察两个弧的组成，$\overset{\frown}{ADC}$和$\overset{\frown}{ABC}$拼接后刚好是整个圆周，而整个圆周对应的圆心角是周角360°，即可先得到两个弧对应的圆心角之和。再结合圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，分别找到∠B、∠D对应的弧，就能推导两个角的数量关系，用同样的思路可推导∠A和∠C的关系。
【解析】
1. 求$\overset{\frown}{ADC}$与$\overset{\frown}{ABC}$所对圆心角的和：
整个圆周对应的圆心角度数为360°，$\overset{\frown}{ADC}$和$\overset{\frown}{ABC}$共同构成完整的圆周，因此二者所对的圆心角度数之和为360°。
2. 推导∠B与∠D的数量关系：
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半。
∠B是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{ADC}$，故$∠ B=\frac{1}{2}× \overset{\frown}{ADC}$所对的圆心角；
∠D是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{ABC}$，故$∠ D=\frac{1}{2}× \overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角；
因此$∠ B+∠ D=\frac{1}{2}×(\overset{\frown}{ADC}所对圆心角+\overset{\frown}{ABC}所对圆心角)=\frac{1}{2}×360°=180°$。
3. 推导∠A与∠C的数量关系：
同理，∠A所对的弧为$\overset{\frown}{BCD}$，∠C所对的弧为$\overset{\frown}{BAD}$，二者拼接也为完整圆周，所对圆心角之和为360°，因此$∠ A+∠ C=\frac{1}{2}×360°=180°$。
【答案】
$\overset{\frown}{ADC}$与$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角度数之和为$360°$；$∠ B+∠ D=180°$；$∠ A+∠ C=180°$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，圆心角与弧的对应
【点评】
本题属于基础类题目，通过弧与圆心角、圆周角的对应关系推导圆内接四边形的核心性质，能够帮助学生理解圆内接四边形对角互补的由来，是后续解决圆中角度计算问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个弧的组成，$\overset{\frown}{ADC}$和$\overset{\frown}{ABC}$拼接后刚好是整个圆周，而整个圆周对应的圆心角是周角360°，即可先得到两个弧对应的圆心角之和。再结合圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，分别找到∠B、∠D对应的弧，就能推导两个角的数量关系，用同样的思路可推导∠A和∠C的关系。
【解析】
1. 求$\overset{\frown}{ADC}$与$\overset{\frown}{ABC}$所对圆心角的和：
整个圆周对应的圆心角度数为360°，$\overset{\frown}{ADC}$和$\overset{\frown}{ABC}$共同构成完整的圆周，因此二者所对的圆心角度数之和为360°。
2. 推导∠B与∠D的数量关系：
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半。
∠B是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{ADC}$，故$∠ B=\frac{1}{2}× \overset{\frown}{ADC}$所对的圆心角；
∠D是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{ABC}$，故$∠ D=\frac{1}{2}× \overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角；
因此$∠ B+∠ D=\frac{1}{2}×(\overset{\frown}{ADC}所对圆心角+\overset{\frown}{ABC}所对圆心角)=\frac{1}{2}×360°=180°$。
3. 推导∠A与∠C的数量关系：
同理，∠A所对的弧为$\overset{\frown}{BCD}$，∠C所对的弧为$\overset{\frown}{BAD}$，二者拼接也为完整圆周，所对圆心角之和为360°，因此$∠ A+∠ C=\frac{1}{2}×360°=180°$。
【答案】
$\overset{\frown}{ADC}$与$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角度数之和为$360°$；$∠ B+∠ D=180°$；$∠ A+∠ C=180°$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，圆心角与弧的对应
【点评】
本题属于基础类题目，通过弧与圆心角、圆周角的对应关系推导圆内接四边形的核心性质，能够帮助学生理解圆内接四边形对角互补的由来，是后续解决圆中角度计算问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
2.若圆内接四边形ABCD中，∠A:∠C=2:7，则∠A=
40°
，∠C=140°
。答案
$40°\quad 140°$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A与∠C是圆内接四边形的一组对角，因此二者之和为180°，结合题目给出的∠A:∠C=2:7的比例关系，我们可以通过设未知数的方式，将两个角用含同一个参数的式子表示，再根据角度和列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ A + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A:∠ C = 2:7$，设$∠ A = 2k$，$∠ C = 7k$（$k＞0$），
代入得：$2k + 7k = 180°$，
合并同类项得$9k = 180°$，
解得$k = 20°$，
∴$∠ A = 2k = 2×20° = 40°$，$∠ C = 7k = 7×20° = 140°$。
【答案】
$40°$；$140°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，结合比例关系即可快速求解角度。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A与∠C是圆内接四边形的一组对角，因此二者之和为180°，结合题目给出的∠A:∠C=2:7的比例关系，我们可以通过设未知数的方式，将两个角用含同一个参数的式子表示，再根据角度和列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ A + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A:∠ C = 2:7$，设$∠ A = 2k$，$∠ C = 7k$（$k＞0$），
代入得：$2k + 7k = 180°$，
合并同类项得$9k = 180°$，
解得$k = 20°$，
∴$∠ A = 2k = 2×20° = 40°$，$∠ C = 7k = 7×20° = 140°$。
【答案】
$40°$；$140°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，结合比例关系即可快速求解角度。
【难度系数】
0.8
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=98°，求∠C的度数。
第3题图
第3题图答案
$131°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察已知条件，给出了圆心角∠BOD的度数，要求圆内接四边形的内角∠C。第一步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；第二步，利用圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD与∠C互补，即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ ∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠BAD是弧BD所对的圆周角
∴ 根据圆周角定理，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD$
已知$∠ BOD=98°$，代入得$∠ BAD=\frac{1}{2}×98°=49°$
又
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ $∠ BAD+∠ C=180°$（圆内接四边形的对角互补）
∴ $∠ C=180° - ∠ BAD=180° - 49°=131°$
【答案】
$131°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用考题，核心是熟练掌握圆周角与圆心角的对应关系、圆内接四边形的对角互补性质，解题时找准同弧对应的圆心角和圆周角是突破口，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察已知条件，给出了圆心角∠BOD的度数，要求圆内接四边形的内角∠C。第一步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；第二步，利用圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD与∠C互补，即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ ∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠BAD是弧BD所对的圆周角
∴ 根据圆周角定理，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD$
已知$∠ BOD=98°$，代入得$∠ BAD=\frac{1}{2}×98°=49°$
又
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ $∠ BAD+∠ C=180°$（圆内接四边形的对角互补）
∴ $∠ C=180° - ∠ BAD=180° - 49°=131°$
【答案】
$131°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用考题，核心是熟练掌握圆周角与圆心角的对应关系、圆内接四边形的对角互补性质，解题时找准同弧对应的圆心角和圆周角是突破口，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
1.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB是$\odot O$的直径,$∠ABD=20°$,则$∠BCD$的度数是(
A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
C
)。A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①AB是⊙O的直径，可联想到“直径所对的圆周角是直角”，得到Rt△ABD；②已知∠ABD=20°，结合直角三角形两锐角互余的性质，可算出∠BAD的度数；③四边形ABCD是圆内接四边形，根据“圆内接四边形对角互补”，即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠ABD=20°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-20°=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BCD=180°-70°=110°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆内接四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，核心考查对圆相关基础性质的掌握和运用，只要熟练掌握直径对应的圆周角特征、圆内接四边形的性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①AB是⊙O的直径，可联想到“直径所对的圆周角是直角”，得到Rt△ABD；②已知∠ABD=20°，结合直角三角形两锐角互余的性质，可算出∠BAD的度数；③四边形ABCD是圆内接四边形，根据“圆内接四边形对角互补”，即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠ABD=20°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-20°=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BCD=180°-70°=110°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆内接四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，核心考查对圆相关基础性质的掌握和运用，只要熟练掌握直径对应的圆周角特征、圆内接四边形的性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
