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2.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,AD与BC的延长线交于点E,BA与CD的延长线交于点F,$∠DCE=80°$,$∠F=25°$,则$∠E$的度数为(
A.$55°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$
C
)。A.$55°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$
答案
C
解析
【分析】
解题时从已知角度出发，结合圆内接四边形性质和三角形内角和定理推导：第一步利用平角定义求出∠FCB的度数，在△FCB中通过三角形内角和算出∠B的度数；第二步利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，得到∠EAB的度数；最后在△EAB中用三角形内角和即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
1. 求∠B的度数：
∵∠DCE=80°，∠FCB与∠DCE组成平角
∴∠FCB=180°-∠DCE=180°-80°=100°
在△FCB中，根据三角形内角和为180°，已知∠F=25°：
∠B=180°-∠F-∠FCB=180°-25°-100°=55°
2. 求∠EAB的度数：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DCE是四边形ABCD的外角
∴∠DCE=∠EAB（圆内接四边形的外角等于内对角），即∠EAB=80°
3. 求∠E的度数：
在△EAB中，根据三角形内角和为180°：
∠E=180°-∠EAB-∠B=180°-80°-55°=45°
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质和三角形内角和的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的外角性质，找到角度之间的转化关系。
【难度系数】
0.7
解题时从已知角度出发，结合圆内接四边形性质和三角形内角和定理推导：第一步利用平角定义求出∠FCB的度数，在△FCB中通过三角形内角和算出∠B的度数；第二步利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，得到∠EAB的度数；最后在△EAB中用三角形内角和即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
1. 求∠B的度数：
∵∠DCE=80°，∠FCB与∠DCE组成平角
∴∠FCB=180°-∠DCE=180°-80°=100°
在△FCB中，根据三角形内角和为180°，已知∠F=25°：
∠B=180°-∠F-∠FCB=180°-25°-100°=55°
2. 求∠EAB的度数：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DCE是四边形ABCD的外角
∴∠DCE=∠EAB（圆内接四边形的外角等于内对角），即∠EAB=80°
3. 求∠E的度数：
在△EAB中，根据三角形内角和为180°：
∠E=180°-∠EAB-∠B=180°-80°-55°=45°
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质和三角形内角和的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的外角性质，找到角度之间的转化关系。
【难度系数】
0.7
3.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,连接BD。若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∠BDC=50°,∠ADC$的度数为(
A.$125°$
B.$130°$
C.$135°$
D.$140°$
B
)。A.$125°$
B.$130°$
C.$135°$
D.$140°$
答案
B
解析
【分析】解题时可按照以下思路推导：首先利用等弧所对的圆周角相等的性质，结合已知∠BDC的度数求出∠ABC的度数；再根据圆内接四边形对角互补的性质，代入角度计算即可得到∠ADC的度数。
【解析】
解：1. 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ ABC = ∠ BDC$。
2. 已知$∠ BDC=50°$，所以$∠ ABC=50°$。
3. 因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$。
4. 将$∠ ABC=50°$代入计算：$∠ ADC=180° - 50°=130°$。
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；等弧的性质
【点评】本题属于圆性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握等弧与圆周角的对应关系、圆内接四边形的对角互补性质，解题时无需添加辅助线，直接套用性质即可求解。
【难度系数】0.8
【解析】
解：1. 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ ABC = ∠ BDC$。
2. 已知$∠ BDC=50°$，所以$∠ ABC=50°$。
3. 因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$。
4. 将$∠ ABC=50°$代入计算：$∠ ADC=180° - 50°=130°$。
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；等弧的性质
【点评】本题属于圆性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握等弧与圆周角的对应关系、圆内接四边形的对角互补性质，解题时无需添加辅助线，直接套用性质即可求解。
【难度系数】0.8
4.如图，将$\odot O$沿弦$AB$折叠，点$C$在$\overset{\frown}{AMB}$上，点$D$在$\overset{\frown}{AB}$上，若$∠ ACB = 70°$，则$∠ ADB =$
110°
。答案
$110°$
解析
【分析】
解题时先结合折叠的性质，明确折叠前后对应角相等；再联系圆的相关性质：圆内接四边形的对角互补，或同弧所对的两段弧对应的圆周角互补。首先找到已知角∠ACB对应的弧，再将所求∠ADB转化为与该弧对应的优弧的圆周角，即可通过角度关系计算结果。
【解析】
由折叠的性质可知，∠ADB与折叠前点D对应位置的圆周角大小相等。
∵点A、B、C和折叠前的点D均在$\odot O$上，四点共圆构成圆内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：
$∠ ACB + ∠ ADB = 180°$
已知$∠ ACB=70°$，代入计算得：
$∠ ADB = 180° - 70° = 110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
圆周角定理，折叠的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是折叠性质与圆的相关性质的综合基础题，解题核心是通过折叠的性质建立所求角和已知角的关系，熟练掌握圆周角相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合折叠的性质，明确折叠前后对应角相等；再联系圆的相关性质：圆内接四边形的对角互补，或同弧所对的两段弧对应的圆周角互补。首先找到已知角∠ACB对应的弧，再将所求∠ADB转化为与该弧对应的优弧的圆周角，即可通过角度关系计算结果。
【解析】
由折叠的性质可知，∠ADB与折叠前点D对应位置的圆周角大小相等。
∵点A、B、C和折叠前的点D均在$\odot O$上，四点共圆构成圆内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：
$∠ ACB + ∠ ADB = 180°$
已知$∠ ACB=70°$，代入计算得：
$∠ ADB = 180° - 70° = 110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
圆周角定理，折叠的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是折叠性质与圆的相关性质的综合基础题，解题核心是通过折叠的性质建立所求角和已知角的关系，熟练掌握圆周角相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形。延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为
80°
。答案
$80°$
解析
【分析】
解题时首先从圆内接四边形的性质切入：圆内接四边形的对角互补，结合平角的定义可推出外角等于内对角，得到∠ADC=∠GBC=50°；再结合AO⊥CD的条件，在直角三角形AED中求出∠DAE的度数；接下来利用垂径定理，过圆心且垂直于弦的直线平分弦所对的弧，可得AE平分弧CD，进而推出∠CAE=∠DAE，得到∠DAC的总度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠DBC与∠DAC都对应弧DC，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
1. 求∠ADC的度数：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
又
∵ ∠GBC + ∠ABC = 180°（平角的定义），
∴ ∠ADC = ∠GBC = 50°。
2. 求∠DAE的度数：
∵ AO⊥CD，
∴ ∠AED = 90°，
在Rt△AED中，∠DAE = 90° - ∠ADC = 90° - 50° = 40°。
3. 求∠DAC的度数：
∵ AE过圆心O，且AE⊥CD，根据垂径定理，AE平分弧CD，即$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴ ∠CAE = ∠DAE = 40°，
∴ ∠DAC = ∠DAE + ∠CAE = 40° + 40° = 80°。
4. 求∠DBC的度数：
∵ ∠DBC和∠DAC都是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠DBC = ∠DAC = 80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是梳理各个圆的性质之间的关联，解题的突破口是利用内接四边形的外角性质得到∠ADC的度数，再逐步结合垂径定理、圆周角定理推导结论，需要熟练记忆并灵活运用圆的基础性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先从圆内接四边形的性质切入：圆内接四边形的对角互补，结合平角的定义可推出外角等于内对角，得到∠ADC=∠GBC=50°；再结合AO⊥CD的条件，在直角三角形AED中求出∠DAE的度数；接下来利用垂径定理，过圆心且垂直于弦的直线平分弦所对的弧，可得AE平分弧CD，进而推出∠CAE=∠DAE，得到∠DAC的总度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠DBC与∠DAC都对应弧DC，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
1. 求∠ADC的度数：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
又
∵ ∠GBC + ∠ABC = 180°（平角的定义），
∴ ∠ADC = ∠GBC = 50°。
2. 求∠DAE的度数：
∵ AO⊥CD，
∴ ∠AED = 90°，
在Rt△AED中，∠DAE = 90° - ∠ADC = 90° - 50° = 40°。
3. 求∠DAC的度数：
∵ AE过圆心O，且AE⊥CD，根据垂径定理，AE平分弧CD，即$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴ ∠CAE = ∠DAE = 40°，
∴ ∠DAC = ∠DAE + ∠CAE = 40° + 40° = 80°。
4. 求∠DBC的度数：
∵ ∠DBC和∠DAC都是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠DBC = ∠DAC = 80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是梳理各个圆的性质之间的关联，解题的突破口是利用内接四边形的外角性质得到∠ADC的度数，再逐步结合垂径定理、圆周角定理推导结论，需要熟练记忆并灵活运用圆的基础性质。
【难度系数】
0.7
6.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC是⊙O的直径,OE⊥BC交AB于点E,若BE=2AE,求∠ADC的度数。
答案
$∠ ADC=150°$。
解析
【分析】
要求∠ADC的度数，根据圆内接四边形对角互补的性质，只需先求出∠ABC的度数即可。解题思路如下：①作辅助线连接AC，利用“直径所对的圆周角是直角”得到∠BAC=90°；②结合OE⊥BC得∠BOE=90°，结合公共角∠B可证△BOE∽△BAC，利用相似三角形的边的比例关系，结合BE=2AE的条件，求出∠ABC的三角函数值，进而得到∠ABC的度数；③最后利用圆内接四边形对角互补计算∠ADC的度数。
【解析】
1. 连接AC，设⊙O的半径为r，AE=x，由BE=2AE得BE=2x，则AB=AE+BE=3x，BC=2r。
2. 因为BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ BAC=90°。
3. 因为OE⊥ BC，所以∠ BOE=90°，即∠ BOE=∠ BAC=90°。
4. 又∠ B是△BOE和△BAC的公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得△ BOE ∽ △ BAC。
5. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BO}{BA}=\frac{BE}{BC}$，代入BO=r，BA=3x，BE=2x，BC=2r，可得：
$ \frac{r}{3x}=\frac{2x}{2r} $化简得$r^2=3x^2$，即$r=\sqrt{3}x$。6. 在Rt△ BOE中，$\cos∠ B=\frac{BO}{BE}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此∠ B=30°。7. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得∠ B+∠ ADC=180°。8. 因此∠ ADC=180°-30°=150°。【答案】∠ ADC=150°
【知识点】
直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质与相似三角形结合的典型题型，解题的关键是通过构造辅助线得到直角三角形和相似三角形，结合已知线段比例关系求出待求角的补角的度数，需要学生熟练掌握圆的基础性质和相似三角形的应用。
【难度系数】
0.65
要求∠ADC的度数，根据圆内接四边形对角互补的性质，只需先求出∠ABC的度数即可。解题思路如下：①作辅助线连接AC，利用“直径所对的圆周角是直角”得到∠BAC=90°；②结合OE⊥BC得∠BOE=90°，结合公共角∠B可证△BOE∽△BAC，利用相似三角形的边的比例关系，结合BE=2AE的条件，求出∠ABC的三角函数值，进而得到∠ABC的度数；③最后利用圆内接四边形对角互补计算∠ADC的度数。
【解析】
1. 连接AC，设⊙O的半径为r，AE=x，由BE=2AE得BE=2x，则AB=AE+BE=3x，BC=2r。
2. 因为BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ BAC=90°。
3. 因为OE⊥ BC，所以∠ BOE=90°，即∠ BOE=∠ BAC=90°。
4. 又∠ B是△BOE和△BAC的公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得△ BOE ∽ △ BAC。
5. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BO}{BA}=\frac{BE}{BC}$，代入BO=r，BA=3x，BE=2x，BC=2r，可得：
$ \frac{r}{3x}=\frac{2x}{2r} $化简得$r^2=3x^2$，即$r=\sqrt{3}x$。6. 在Rt△ BOE中，$\cos∠ B=\frac{BO}{BE}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此∠ B=30°。7. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得∠ B+∠ ADC=180°。8. 因此∠ ADC=180°-30°=150°。【答案】∠ ADC=150°
【知识点】
直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的性质与相似三角形结合的典型题型，解题的关键是通过构造辅助线得到直角三角形和相似三角形，结合已知线段比例关系求出待求角的补角的度数，需要学生熟练掌握圆的基础性质和相似三角形的应用。
【难度系数】
0.65
7.如图,四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形,$BD=BC$,BA,CD 的延长线交于点E。
(1)求证:$∠ EAD=∠ BAC$;
(2)若$∠ ACB=32°$,求$∠ E$的度数。
(1)求证:$∠ EAD=∠ BAC$;
(2)若$∠ ACB=32°$,求$∠ E$的度数。
答案
(1)略
(2)$32°$
(2)$32°$
解析
【分析】
(1) 要证明∠EAD=∠BAC，先利用圆内接四边形的外角性质得到∠EAD和∠BCD相等，再结合BD=BC由等边对等角得∠BCD=∠BDC，最后根据同弧所对的圆周角相等推出∠BDC=∠BAC，通过等量代换即可完成证明。
(2) 求∠E的度数时，先由圆内接四边形外角性质得∠EDA=∠ABC，结合(1)中∠EAD=∠BAC的结论，根据三角形内角和为180°，可推出∠E和∠ACB相等，代入已知角度即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ EAD=∠ BCD$（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∵ $BD=BC$，
∴ $∠ BCD=∠ BDC$（等边对等角），
又
∵ $∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴ $∠ BDC=∠ BAC$（同弧所对的圆周角相等），
∴ $∠ EAD=∠ BAC$（等量代换）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ EDA=∠ ABC$（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
在$△ EAD$中，$∠ E+∠ EAD+∠ EDA=180°$，
在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ ABC+∠ ACB=180°$，
由(1)知$∠ EAD=∠ BAC$，且$∠ EDA=∠ ABC$，
∴ $∠ E=∠ ACB=32°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{32°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，侧重考察角的等量代换能力，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的外角性质和同弧所对圆周角相等的性质，通过角的关系推导即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠EAD=∠BAC，先利用圆内接四边形的外角性质得到∠EAD和∠BCD相等，再结合BD=BC由等边对等角得∠BCD=∠BDC，最后根据同弧所对的圆周角相等推出∠BDC=∠BAC，通过等量代换即可完成证明。
(2) 求∠E的度数时，先由圆内接四边形外角性质得∠EDA=∠ABC，结合(1)中∠EAD=∠BAC的结论，根据三角形内角和为180°，可推出∠E和∠ACB相等，代入已知角度即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ EAD=∠ BCD$（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∵ $BD=BC$，
∴ $∠ BCD=∠ BDC$（等边对等角），
又
∵ $∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴ $∠ BDC=∠ BAC$（同弧所对的圆周角相等），
∴ $∠ EAD=∠ BAC$（等量代换）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ EDA=∠ ABC$（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
在$△ EAD$中，$∠ E+∠ EAD+∠ EDA=180°$，
在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ ABC+∠ ACB=180°$，
由(1)知$∠ EAD=∠ BAC$，且$∠ EDA=∠ ABC$，
∴ $∠ E=∠ ACB=32°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{32°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，侧重考察角的等量代换能力，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的外角性质和同弧所对圆周角相等的性质，通过角的关系推导即可快速求解。
【难度系数】
0.7
