2. (2024·盐城二模)在物理学中,我们学过,光线从空气中进入液体,会发生折射现象,如图①,若入射角为 $ α $, 折射角为 $ β $, 法线垂直于液面, 由此我们可以得到物理公式: 折射率 $ n = \frac{\sin α}{\sin β} $. 某课外活动小组为观察光的折射现象, 设计如图②的实验, 通过点 $ P $ 发射一束光线, 经由点 $ D $ 光线折射到点 $ B $ ($ P $, $ D $, $ B $ 三点不在一条直线上), 图③为实验示意图, 法线 $ GH $ 垂直于液面 $ EF $ 于点 $ D $, 交液面底部于点 $ H $, 四边形 $ ABFE $ 为矩形, 经测量, $ ED = 25 \mathrm{ cm} $, $ DF = 16 \mathrm{ cm} $, 光线由空气进入液体的折射率 $ n = \frac{5\sqrt{2}}{6} $.
(1) 在 $ AE $ 的延长线上量取 $ EP = 5\sqrt{11} \mathrm{ cm} $, 光线由点 $ P $ 射出经由点 $ D $, 恰好折射到点 $ B $, 求出入射角 $ ∠ PDG $ 的正弦值和折射角 $ ∠ HDB $ 的度数;
(2) 光线再次由点 $ Q $ 射出, 经由点 $ D $ 折射到点 $ C $ 且入射角 $ ∠ QDG = 45° $, 求 $ CB $ 的长.

解:(1) $ \because $ 四边形 $ ABFE $ 为矩形,
$ \therefore ∠ AEF = 90° $, $ \therefore ∠ PED = 180° - ∠ AEF = 90° $.
在 $ \mathrm{Rt} △ PED $ 中, $ PE = 5\sqrt{11} \mathrm{ cm} $, $ DE = 25 \mathrm{ cm} $,
$ \therefore PD = \sqrt{PE^{2} + DE^{2}} = 30 \mathrm{ cm} $, $ \therefore \sin ∠ DPE = \frac{DE}{PD} = \frac{5}{6} $.
$ \because AP // GH $, $ \therefore ∠ PDG = ∠ DPE $,
$ \therefore \sin ∠ PDG = \sin ∠ DPE = \frac{5}{6} $.
$ \because n = \frac{\sin ∠ PDG}{\sin ∠ HDB} = \frac{5\sqrt{2}}{6} $,
$ \therefore \sin ∠ HDB = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \therefore ∠ HDB = 45° $.
(2)由题意,得四边形 $ DHB F $ 为矩形,
$ \therefore DF = BH = 16 \mathrm{ cm} $.
$ \because ∠ HDB = 45° $, $ ∠ DHB = 90° $,
$ \therefore ∠ HBD = 45° $, $ \therefore DH = BH = 16 \mathrm{ cm} $.
$ \because n = \frac{\sin ∠ QDG}{\sin ∠ HDC} $, $ ∠ QDG = 45° $,
$ \therefore \sin ∠ HDC = \frac{\sqrt{2}}{2} ÷ \frac{5\sqrt{2}}{6} = \frac{3}{5} $.
由题意,得 $ ∠ DHC = 90° $,
设 $ HC = 3x \mathrm{ cm} $,则 $ CD = 5x \mathrm{ cm} $,
根据勾股定理,得 $ HC^{2} + DH^{2} = CD^{2} $,
$ \therefore (3x)^{2} + 16^{2} = (5x)^{2} $.解得 $ x = 4 $ 或 $ x = -4 $(舍去),
$ \therefore HC = 12 \mathrm{ cm} $, $ \therefore CB = HB - HC = 4 \mathrm{ cm} $.