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1.二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象的特征：
(1)当$a＞0$时，开口
(2)对称轴是直线
(1)当$a＞0$时，开口
向上
；当$a＜0$时，开口向下
。(2)对称轴是直线
$x=h$
，顶点坐标是$(h,k)$
。答案
1.(1)向上;向下 (2)$x=h$;$(h,k)$
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的基础性质，解题思路如下：①首先回忆二次项系数a对抛物线开口方向的影响：a的符号决定开口朝向，a为正开口向上，a为负开口向下；②再回忆顶点式$y=a(x-h)^2+k$的命名由来：该形式直接给出了抛物线的对称轴和顶点坐标，括号内$x-h$对应的对称轴是直线$x=h$，顶点的横、纵坐标分别对应h、k，直接推导即可得到结果。
【解析】
(1) 二次函数中，二次项系数a的符号决定抛物线开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
(2) 对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，抛物线的对称轴是过顶点且与y轴平行的直线，即直线$x=h$；对应的顶点坐标为$(h,k)$。
【答案】
(1)向上；向下 (2)$x=h$；$(h,k)$
【知识点】
二次函数顶点式性质、开口方向判定、对称轴与顶点坐标
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对二次函数顶点式各参数意义的掌握，是后续学习二次函数图像变换、求解二次函数解析式的核心基础，熟练记忆相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的基础性质，解题思路如下：①首先回忆二次项系数a对抛物线开口方向的影响：a的符号决定开口朝向，a为正开口向上，a为负开口向下；②再回忆顶点式$y=a(x-h)^2+k$的命名由来：该形式直接给出了抛物线的对称轴和顶点坐标，括号内$x-h$对应的对称轴是直线$x=h$，顶点的横、纵坐标分别对应h、k，直接推导即可得到结果。
【解析】
(1) 二次函数中，二次项系数a的符号决定抛物线开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
(2) 对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，抛物线的对称轴是过顶点且与y轴平行的直线，即直线$x=h$；对应的顶点坐标为$(h,k)$。
【答案】
(1)向上；向下 (2)$x=h$；$(h,k)$
【知识点】
二次函数顶点式性质、开口方向判定、对称轴与顶点坐标
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对二次函数顶点式各参数意义的掌握，是后续学习二次函数图像变换、求解二次函数解析式的核心基础，熟练记忆相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.二次函数$y=a(x-h)^2+k$的性质：
(1)若$a＞0$，则当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而
(2)若$a＜0$，则当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而
(1)若$a＞0$，则当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而
增大
；当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小
；当$x=h$时，$y$取最小
值，为$k$
。(2)若$a＜0$，则当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而
减小
；当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大
；当$x=h$时，$y$取最大
值，为$k$
。答案
2.(1)增大;减小;小;k (2)减小;增大;大;k
解析
【分析】
解题的关键是先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本特征：其图象是抛物线，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，$a$的正负决定抛物线的开口方向，再结合开口方向判断函数的增减性和最值即可。$a＞0$时抛物线开口向上，增减性符合“左降右升”，顶点对应最小值；$a＜0$时抛物线开口向下，增减性符合“左升右降”，顶点对应最大值。
【解析】
(1)当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$：
对称轴右侧即$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大；
对称轴左侧即$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；
顶点为抛物线的最低点，因此当$x=h$时，$y$取最小值，为$k$。
(2)当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=h$：
对称轴右侧即$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小；
对称轴左侧即$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；
顶点为抛物线的最高点，因此当$x=h$时，$y$取最大值，为$k$。
【答案】
(1)增大;减小;小;k (2)减小;增大;大;k
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是掌握$a$的符号、对称轴与函数增减性、最值的对应规律，这部分内容是解决二次函数各类问题的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
解题的关键是先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本特征：其图象是抛物线，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，$a$的正负决定抛物线的开口方向，再结合开口方向判断函数的增减性和最值即可。$a＞0$时抛物线开口向上，增减性符合“左降右升”，顶点对应最小值；$a＜0$时抛物线开口向下，增减性符合“左升右降”，顶点对应最大值。
【解析】
(1)当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$：
对称轴右侧即$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大；
对称轴左侧即$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；
顶点为抛物线的最低点，因此当$x=h$时，$y$取最小值，为$k$。
(2)当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=h$：
对称轴右侧即$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小；
对称轴左侧即$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；
顶点为抛物线的最高点，因此当$x=h$时，$y$取最大值，为$k$。
【答案】
(1)增大;减小;小;k (2)减小;增大;大;k
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是掌握$a$的符号、对称轴与函数增减性、最值的对应规律，这部分内容是解决二次函数各类问题的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
2.函数$y=(x-1)^2 -1$的大致图象是（
A
）答案
2.A
解析
【分析】
要判断二次函数的大致图象，我们可以从二次函数顶点式的性质入手逐步分析：首先由二次项系数的正负判断开口方向，其次根据顶点式的结构确定顶点坐标，最后可代入特殊点（如与坐标轴的交点）验证，通过逐步排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：函数$y=(x-1)^2 -1$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可排除开口向下的选项D；
2. 确定顶点坐标：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$，本题中$h=1$，$k=-1$，即顶点坐标为$(1,-1)$。选项B顶点为$(-1,1)$，选项C顶点为$(-1,-1)$，均不符合特征，排除B、C；
3. 特殊点验证：当$x=0$时，代入函数得$y=(0-1)^2-1=0$，说明抛物线过原点，选项A符合该特征。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象性质，特殊点代入验证
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，解题核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，通过开口方向、顶点坐标即可快速排除错误选项，是对二次函数基础性质的直接考查。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数的大致图象，我们可以从二次函数顶点式的性质入手逐步分析：首先由二次项系数的正负判断开口方向，其次根据顶点式的结构确定顶点坐标，最后可代入特殊点（如与坐标轴的交点）验证，通过逐步排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：函数$y=(x-1)^2 -1$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可排除开口向下的选项D；
2. 确定顶点坐标：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$，本题中$h=1$，$k=-1$，即顶点坐标为$(1,-1)$。选项B顶点为$(-1,1)$，选项C顶点为$(-1,-1)$，均不符合特征，排除B、C；
3. 特殊点验证：当$x=0$时，代入函数得$y=(0-1)^2-1=0$，说明抛物线过原点，选项A符合该特征。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象性质，特殊点代入验证
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，解题核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，通过开口方向、顶点坐标即可快速排除错误选项，是对二次函数基础性质的直接考查。
【难度系数】
0.8
3.对于二次函数$y=2(x-4)^2+3$，下列说法正确的是（
A.图象开口向下
B.当$x≥ -4$时，$y$随$x$的增大而减小
C.图象的对称轴是直线$x=-4$
D.$y$有最小值，是3
D
）A.图象开口向下
B.当$x≥ -4$时，$y$随$x$的增大而减小
C.图象的对称轴是直线$x=-4$
D.$y$有最小值，是3
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的性质，解题时先从给定的二次函数顶点式中提取参数a、h、k的值，再结合二次函数开口方向、对称轴、增减性、最值的相关性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，相关性质如下：$a$决定开口方向，$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下；对称轴为直线$x=h$；顶点坐标为$(h,k)$，开口向上时顶点对应最小值点，开口向下时顶点对应最大值点；开口向上时，$x＜h$时$y$随$x$增大而减小，$x＞h$时$y$随$x$增大而增大，开口向下时增减性相反。
针对题干中$y=2(x-4)^2+3$，可得参数：$a=2＞0$，$h=4$，$k=3$。
选项A：$a=2＞0$，图象开口向上，A错误；
选项B：对称轴为直线$x=4$，开口向上，因此当$x≥4$时，$y$随$x$的增大而增大，B错误；
选项C：图象的对称轴是直线$x=h=4$，不是$x=-4$，C错误；
选项D：开口向上，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标$k=3$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数的增减性
3.二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数顶点式各参数含义及对应性质的掌握，熟记相关性质即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的性质，解题时先从给定的二次函数顶点式中提取参数a、h、k的值，再结合二次函数开口方向、对称轴、增减性、最值的相关性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，相关性质如下：$a$决定开口方向，$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下；对称轴为直线$x=h$；顶点坐标为$(h,k)$，开口向上时顶点对应最小值点，开口向下时顶点对应最大值点；开口向上时，$x＜h$时$y$随$x$增大而减小，$x＞h$时$y$随$x$增大而增大，开口向下时增减性相反。
针对题干中$y=2(x-4)^2+3$，可得参数：$a=2＞0$，$h=4$，$k=3$。
选项A：$a=2＞0$，图象开口向上，A错误；
选项B：对称轴为直线$x=4$，开口向上，因此当$x≥4$时，$y$随$x$的增大而增大，B错误；
选项C：图象的对称轴是直线$x=h=4$，不是$x=-4$，C错误；
选项D：开口向上，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标$k=3$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数的增减性
3.二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数顶点式各参数含义及对应性质的掌握，熟记相关性质即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
4.若抛物线$y=-3(x+k)^2 -k$的顶点在直线$y=3x-4$上，则k的值为
-2
.答案
4.-2
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+m$的顶点坐标为$(h,m)$，先写出题中抛物线的顶点坐标；再根据“点在直线上，则点的坐标满足直线的解析式”，将顶点坐标代入直线$y=3x-4$中，得到关于$k$的一元一次方程；最后解方程即可求出$k$的值。
【解析】
对于二次函数$y=-3(x+k)^2 -k$，将其变形为顶点式标准形式$y=-3[x-(-k)]^2 + (-k)$，可得其顶点坐标为$(-k, -k)$。
因为顶点在直线$y=3x-4$上，所以将$x=-k$，$y=-k$代入直线解析式得：
$\begin{aligned}-k&=3×(-k) -4\\-k&=-3k -4\\2k&=-4\\k&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数顶点式性质，一次函数点的坐标特征，一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式中顶点坐标的掌握，以及一次函数图象上点的坐标满足对应解析式这一性质的应用，计算量小，思路清晰，掌握相关基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+m$的顶点坐标为$(h,m)$，先写出题中抛物线的顶点坐标；再根据“点在直线上，则点的坐标满足直线的解析式”，将顶点坐标代入直线$y=3x-4$中，得到关于$k$的一元一次方程；最后解方程即可求出$k$的值。
【解析】
对于二次函数$y=-3(x+k)^2 -k$，将其变形为顶点式标准形式$y=-3[x-(-k)]^2 + (-k)$，可得其顶点坐标为$(-k, -k)$。
因为顶点在直线$y=3x-4$上，所以将$x=-k$，$y=-k$代入直线解析式得：
$\begin{aligned}-k&=3×(-k) -4\\-k&=-3k -4\\2k&=-4\\k&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数顶点式性质，一次函数点的坐标特征，一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式中顶点坐标的掌握，以及一次函数图象上点的坐标满足对应解析式这一性质的应用，计算量小，思路清晰，掌握相关基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5.已知二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+4$，当$x=$
1
时，函数$y$有最大值，是4
；当$x$＜1
时，$y$随$x$的增大而增大。答案
5.1;4;＜1
解析
【分析】
本题考查顶点式二次函数的性质，解题思路如下：1. 先识别所给二次函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，先根据$a$的正负判断抛物线开口方向：$a＜0$时开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标，对应$x$为顶点的横坐标；2. 再确定抛物线的对称轴为直线$x=h$，结合开口方向判断增减性：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧$y$随$x$的增大而减小。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+4$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$h=1$，$k=4$：
1. 求最值：因为$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点坐标为$(h,k)=(1,4)$，因此当$x=1$时，函数$y$有最大值，最大值为$4$；
2. 判断增减性：该抛物线的对称轴为直线$x=h=1$，由于开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，即当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
1；4；＜1
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，熟练掌握顶点式中各参数对应的开口方向、顶点坐标、对称轴等信息，就能快速求解最值和增减性相关问题。
【难度系数】
0.8
本题考查顶点式二次函数的性质，解题思路如下：1. 先识别所给二次函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，先根据$a$的正负判断抛物线开口方向：$a＜0$时开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标，对应$x$为顶点的横坐标；2. 再确定抛物线的对称轴为直线$x=h$，结合开口方向判断增减性：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，右侧$y$随$x$的增大而减小。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+4$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$h=1$，$k=4$：
1. 求最值：因为$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点坐标为$(h,k)=(1,4)$，因此当$x=1$时，函数$y$有最大值，最大值为$4$；
2. 判断增减性：该抛物线的对称轴为直线$x=h=1$，由于开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，即当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
1；4；＜1
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，熟练掌握顶点式中各参数对应的开口方向、顶点坐标、对称轴等信息，就能快速求解最值和增减性相关问题。
【难度系数】
0.8
知识点1 二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象和性质
1.（新知回顾）指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1.（新知回顾）指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
答案
1.向上;直线$x=-3$;$(-3,5)$;向上;直线$x=-1$;$(-1,-2)$;向下;直线$x=5$;$(5,7)$;向下;直线$x=2$;$(2,-6)$
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用到二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：1. 开口方向由$a$的符号决定：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。2. 对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，注意$h$是括号内$x$减去的数，若括号内是$x+m$的形式，可转化为$x-(-m)$，即$h=-m$，不要搞反符号。接下来我们逐个分析每一条抛物线即可。
【解析】
1. 对于抛物线$y=4(x+3)^2+5$：
$a=4＞0$，因此开口向上；
解析式可改写为$y=4[x-(-3)]^2+5$，即$h=-3,k=5$，因此对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,5)$。
2. 对于抛物线$y=3(x+1)^2-2$：
$a=3＞0$，因此开口向上；
解析式可改写为$y=3[x-(-1)]^2+(-2)$，即$h=-1,k=-2$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-2)$。
3. 对于抛物线$y=-(x-5)^2+7$：
$a=-1＜0$，因此开口向下；
此处$h=5,k=7$，因此对称轴为直线$x=5$，顶点坐标为$(5,7)$。
4. 对于抛物线$y=-2(x-2)^2-6$：
$a=-2＜0$，因此开口向下；
解析式可改写为$y=-2(x-2)^2+(-6)$，即$h=2,k=-6$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-6)$。
【答案】
向上；直线$x=-3$；$(-3,5)$；向上；直线$x=-1$；$(-1,-2)$；向下；直线$x=5$；$(5,7)$；向下；直线$x=2$；$(2,-6)$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象性质；对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对二次函数顶点式各参数意义的掌握，解题的易错点是容易混淆$h$的符号，只要牢记顶点式的结构特征，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，我们需要用到二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：1. 开口方向由$a$的符号决定：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。2. 对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，注意$h$是括号内$x$减去的数，若括号内是$x+m$的形式，可转化为$x-(-m)$，即$h=-m$，不要搞反符号。接下来我们逐个分析每一条抛物线即可。
【解析】
1. 对于抛物线$y=4(x+3)^2+5$：
$a=4＞0$，因此开口向上；
解析式可改写为$y=4[x-(-3)]^2+5$，即$h=-3,k=5$，因此对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,5)$。
2. 对于抛物线$y=3(x+1)^2-2$：
$a=3＞0$，因此开口向上；
解析式可改写为$y=3[x-(-1)]^2+(-2)$，即$h=-1,k=-2$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-2)$。
3. 对于抛物线$y=-(x-5)^2+7$：
$a=-1＜0$，因此开口向下；
此处$h=5,k=7$，因此对称轴为直线$x=5$，顶点坐标为$(5,7)$。
4. 对于抛物线$y=-2(x-2)^2-6$：
$a=-2＜0$，因此开口向下；
解析式可改写为$y=-2(x-2)^2+(-6)$，即$h=2,k=-6$，因此对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-6)$。
【答案】
向上；直线$x=-3$；$(-3,5)$；向上；直线$x=-1$；$(-1,-2)$；向下；直线$x=5$；$(5,7)$；向下；直线$x=2$；$(2,-6)$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象性质；对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对二次函数顶点式各参数意义的掌握，解题的易错点是容易混淆$h$的符号，只要牢记顶点式的结构特征，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.85
6.已知抛物线$y=a(x-3)^2+2$经过点(1，-2)。
(1)求a的值；
(2)若点A(1，$y_1$)，B(2，$y_2$)都在该抛物线上，比较$y_1$与$y_2$的大小。
(1)求a的值；
(2)若点A(1，$y_1$)，B(2，$y_2$)都在该抛物线上，比较$y_1$与$y_2$的大小。
答案
6.解：(1)$a=-1$.(2)$y_1＜y_2$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点式解析式，且经过已知点，可采用待定系数法，将点的横、纵坐标代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
(2) 比较$y_1$和$y_2$的大小有两种简便思路：一是直接将A、B两点的横坐标代入已求出的抛物线解析式，分别计算$y_1$、$y_2$的数值后比较大小；二是结合二次函数的开口方向、对称轴，利用函数的增减性判断，由于A、B两点横坐标均在对称轴左侧，用增减性判断更高效。
【解析】
(1) 将点$(1, -2)$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2$，可得：
$\begin{aligned}-2 &= a(1-3)^2 + 2 \\-2 &= 4a + 2 \\4a &= -4 \\a &= -1\end{aligned}$
(2) 方法1：代入求值比较
由(1)得抛物线解析式为$y=-(x-3)^2+2$
把$x=1$代入得：$y_1=-(1-3)^2+2=-2$
把$x=2$代入得：$y_2=-(2-3)^2+2=1$
因为$-2＜1$，所以$y_1＜y_2$。
方法2：利用增减性比较
由$a=-1＜0$可知抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线$x=3$
因此当$x＜3$时，y随x的增大而增大
因为$1＜2＜3$，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
(1)$a=-1$；(2)$y_1＜y_2$
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式二次函数的参数求解及函数性质的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的增减性即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线的顶点式解析式，且经过已知点，可采用待定系数法，将点的横、纵坐标代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
(2) 比较$y_1$和$y_2$的大小有两种简便思路：一是直接将A、B两点的横坐标代入已求出的抛物线解析式，分别计算$y_1$、$y_2$的数值后比较大小；二是结合二次函数的开口方向、对称轴，利用函数的增减性判断，由于A、B两点横坐标均在对称轴左侧，用增减性判断更高效。
【解析】
(1) 将点$(1, -2)$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2$，可得：
$\begin{aligned}-2 &= a(1-3)^2 + 2 \\-2 &= 4a + 2 \\4a &= -4 \\a &= -1\end{aligned}$
(2) 方法1：代入求值比较
由(1)得抛物线解析式为$y=-(x-3)^2+2$
把$x=1$代入得：$y_1=-(1-3)^2+2=-2$
把$x=2$代入得：$y_2=-(2-3)^2+2=1$
因为$-2＜1$，所以$y_1＜y_2$。
方法2：利用增减性比较
由$a=-1＜0$可知抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线$x=3$
因此当$x＜3$时，y随x的增大而增大
因为$1＜2＜3$，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
(1)$a=-1$；(2)$y_1＜y_2$
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式二次函数的参数求解及函数性质的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的增减性即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. [2026北京期中]将抛物线$y=x^2$先向
左
平移4
个单位长度，再向下
平移1
个单位长度后，得到抛物线$y=(x+4)^2 -1$。答案
7.左;4;下;1(或下;1;左;4)
解析
【分析】
解决这类二次函数平移问题，核心思路是：抛物线平移时形状、开口方向不变，仅位置变化，因此只需对比平移前后两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移规律就能确定抛物线的平移方式。我们可以先分别写出两个抛物线的顶点坐标，再根据“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体）”的平移口诀判断平移方向和距离，同时平移的先后顺序不影响最终结果。
【解析】
步骤1：确定两个抛物线的顶点坐标
抛物线$y=x^2$是顶点式的特殊形式，顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=(x+4)^2 -1$是顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，顶点坐标为$(h,k)$）的形式，对应可得顶点坐标为$(-4,-1)$。
步骤2：分析顶点的平移路径
路径1：先水平平移，再竖直平移
顶点横坐标从$0$变为$-4$，即向左平移了4个单位（符合“左加”规律：$x$变为$x+4$对应左移4个单位）；
顶点纵坐标从$0$变为$-1$，即向下平移了1个单位（符合“下减”规律：函数整体减1对应下移1个单位）。
路径2：先竖直平移，再水平平移
顶点纵坐标先从$0$变为$-1$，即先向下平移1个单位，得到$y=x^2-1$；
再将横坐标从$0$变为$-4$，即向左平移4个单位，将$x$替换为$x+4$，即可得到$y=(x+4)^2-1$。
两种平移方式均成立。
【答案】
左;4;下;1(或下;1;左;4)
【知识点】
二次函数的平移规律；二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是抓住“平移只改变顶点位置，不改变抛物线形状”的特点，结合“左加右减、上加下减”的口诀即可快速求解，注意两种平移顺序均符合要求。
【难度系数】
0.8
解决这类二次函数平移问题，核心思路是：抛物线平移时形状、开口方向不变，仅位置变化，因此只需对比平移前后两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移规律就能确定抛物线的平移方式。我们可以先分别写出两个抛物线的顶点坐标，再根据“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体）”的平移口诀判断平移方向和距离，同时平移的先后顺序不影响最终结果。
【解析】
步骤1：确定两个抛物线的顶点坐标
抛物线$y=x^2$是顶点式的特殊形式，顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=(x+4)^2 -1$是顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，顶点坐标为$(h,k)$）的形式，对应可得顶点坐标为$(-4,-1)$。
步骤2：分析顶点的平移路径
路径1：先水平平移，再竖直平移
顶点横坐标从$0$变为$-4$，即向左平移了4个单位（符合“左加”规律：$x$变为$x+4$对应左移4个单位）；
顶点纵坐标从$0$变为$-1$，即向下平移了1个单位（符合“下减”规律：函数整体减1对应下移1个单位）。
路径2：先竖直平移，再水平平移
顶点纵坐标先从$0$变为$-1$，即先向下平移1个单位，得到$y=x^2-1$；
再将横坐标从$0$变为$-4$，即向左平移4个单位，将$x$替换为$x+4$，即可得到$y=(x+4)^2-1$。
两种平移方式均成立。
【答案】
左;4;下;1(或下;1;左;4)
【知识点】
二次函数的平移规律；二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是抓住“平移只改变顶点位置，不改变抛物线形状”的特点，结合“左加右减、上加下减”的口诀即可快速求解，注意两种平移顺序均符合要求。
【难度系数】
0.8
