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概念1 一元二次方程的相关概念
1.已知关于x的方程$(k^2 -4)x^2 + (k-2)x=0$.
(1)当k
(2)当k
(3)若$x=1$是该一元二次方程的根，则$k=$
1.已知关于x的方程$(k^2 -4)x^2 + (k-2)x=0$.
(1)当k
$=-2$
时，此方程是一元一次方程；(2)当k
$≠\pm2$
时，此方程是一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别为$k^2-4,k-2,0$
；(3)若$x=1$是该一元二次方程的根，则$k=$
$-3$
.答案
1.(1)$=-2$ (2)$≠\pm2$；$k^2-4,k-2,0$ (3)$-3$
解析
【分析】
本题需结合一元一次方程、一元二次方程的定义逐步推导求解：
1. 第(1)问：一元一次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为1且一次项系数不为0，因此先令二次项系数为0，再排除一次项系数为0的情况，即可得到k的取值；
2. 第(2)问：一元二次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0，因此只需令二次项系数不为0，再对应提取各项系数即可；
3. 第(3)问：先明确方程为一元二次方程，先确定k的限制条件，再将x=1代入方程求解k，最后排除不符合限制的k值即可得到结果。
【解析】
(1) 若方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0：
$\begin{cases}k^2 -4 = 0 \\ k -2 ≠ 0\end{cases}$
解$k^2 -4 =0$得$k=2$或$k=-2$，结合$k≠2$，得$k=-2$。
(2) 若方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0：
$k^2 -4 ≠ 0$，解得$k≠\pm2$。
此时方程的二次项系数为$k^2-4$，一次项系数为$k-2$，常数项为0。
(3) 已知方程是一元二次方程，因此$k≠\pm2$，将$x=1$代入方程得：
$(k^2 -4)×1^2 + (k-2)×1 = 0$
整理得：$k^2 +k -6 = 0$
因式分解得：$(k+3)(k-2)=0$
解得$k=-3$或$k=2$，结合$k≠2$，得$k=-3$。
【答案】
(1)$=-2$；(2)$≠\pm2$；$k^2-4,k-2,0$；(3)$-3$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；方程的根的定义
【点评】
本题属于方程概念的基础考查题，解题核心是牢记一元一次、一元二次方程对最高次项系数的限制条件，代入根求参数后要注意检验参数是否符合原方程的类型要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
本题需结合一元一次方程、一元二次方程的定义逐步推导求解：
1. 第(1)问：一元一次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为1且一次项系数不为0，因此先令二次项系数为0，再排除一次项系数为0的情况，即可得到k的取值；
2. 第(2)问：一元二次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0，因此只需令二次项系数不为0，再对应提取各项系数即可；
3. 第(3)问：先明确方程为一元二次方程，先确定k的限制条件，再将x=1代入方程求解k，最后排除不符合限制的k值即可得到结果。
【解析】
(1) 若方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0：
$\begin{cases}k^2 -4 = 0 \\ k -2 ≠ 0\end{cases}$
解$k^2 -4 =0$得$k=2$或$k=-2$，结合$k≠2$，得$k=-2$。
(2) 若方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0：
$k^2 -4 ≠ 0$，解得$k≠\pm2$。
此时方程的二次项系数为$k^2-4$，一次项系数为$k-2$，常数项为0。
(3) 已知方程是一元二次方程，因此$k≠\pm2$，将$x=1$代入方程得：
$(k^2 -4)×1^2 + (k-2)×1 = 0$
整理得：$k^2 +k -6 = 0$
因式分解得：$(k+3)(k-2)=0$
解得$k=-3$或$k=2$，结合$k≠2$，得$k=-3$。
【答案】
(1)$=-2$；(2)$≠\pm2$；$k^2-4,k-2,0$；(3)$-3$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义；方程的根的定义
【点评】
本题属于方程概念的基础考查题，解题核心是牢记一元一次、一元二次方程对最高次项系数的限制条件，代入根求参数后要注意检验参数是否符合原方程的类型要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
2.选择适当的方法解下列方程：
(1)$5x^2 - 125 = 0$；
(2)$x^2 - 8x + 15 = 0$；
(3)$x^2 - 6x + 6 = 0$；
(4)$x(x - 7) = 8(7 - x)$。
(1)$5x^2 - 125 = 0$；
(2)$x^2 - 8x + 15 = 0$；
(3)$x^2 - 6x + 6 = 0$；
(4)$x(x - 7) = 8(7 - x)$。
答案
2.解：(1)$x_1=5,x_2=-5$.(2)$x_1=3,x_2=5$.(3)$x_1=3+\sqrt{3},x_2=3-\sqrt{3}$.(4)$x_1=7,x_2=-8$.
解析
【分析】
解一元二次方程需先根据方程的结构特征选择最优解法：
(1) 方程缺一次项，移项化简后可化为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，适合用直接开平方法求解；
(2) 方程左边的二次三项式可通过十字相乘因式分解，选择因式分解法最简便；
(3) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选用配方法，也可使用公式法求解；
(4) 方程两边含有互为相反数的公因式$(x-7)$和$(7-x)$，移项后提取公因式用因式分解法求解，可避免展开计算的繁琐。
【解析】
(1) 对$5x^2 - 125 = 0$移项得：$5x^2=125$，
两边同时除以5得：$x^2=25$，
开平方得：$x=\pm5$，
即$x_1=5, x_2=-5$。
(2) 对$x^2 - 8x + 15 = 0$因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$，
则$x-3=0$或$x-5=0$，
解得$x_1=3, x_2=5$。
(3) 对$x^2 - 6x + 6 = 0$移项得：$x^2-6x=-6$，
配方：两边加一次项系数一半的平方9，得$x^2-6x+9=-6+9$，
即$(x-3)^2=3$，
开平方得：$x-3=\pm\sqrt{3}$，
解得$x=3\pm\sqrt{3}$，即$x_1=3+\sqrt{3}, x_2=3-\sqrt{3}$。
(4) 对$x(x - 7) = 8(7 - x)$移项得：$x(x-7)+8(x-7)=0$，
提取公因式$(x-7)$得：$(x-7)(x+8)=0$，
则$x-7=0$或$x+8=0$，
解得$x_1=7, x_2=-8$。
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=-5$；(2)$x_1=3,x_2=5$；(3)$x_1=3+\sqrt{3},x_2=3-\sqrt{3}$；(4)$x_1=7,x_2=-8$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】
本题侧重考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时先观察方程特征选择简便解法，可有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需先根据方程的结构特征选择最优解法：
(1) 方程缺一次项，移项化简后可化为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，适合用直接开平方法求解；
(2) 方程左边的二次三项式可通过十字相乘因式分解，选择因式分解法最简便；
(3) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先选用配方法，也可使用公式法求解；
(4) 方程两边含有互为相反数的公因式$(x-7)$和$(7-x)$，移项后提取公因式用因式分解法求解，可避免展开计算的繁琐。
【解析】
(1) 对$5x^2 - 125 = 0$移项得：$5x^2=125$，
两边同时除以5得：$x^2=25$，
开平方得：$x=\pm5$，
即$x_1=5, x_2=-5$。
(2) 对$x^2 - 8x + 15 = 0$因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$，
则$x-3=0$或$x-5=0$，
解得$x_1=3, x_2=5$。
(3) 对$x^2 - 6x + 6 = 0$移项得：$x^2-6x=-6$，
配方：两边加一次项系数一半的平方9，得$x^2-6x+9=-6+9$，
即$(x-3)^2=3$，
开平方得：$x-3=\pm\sqrt{3}$，
解得$x=3\pm\sqrt{3}$，即$x_1=3+\sqrt{3}, x_2=3-\sqrt{3}$。
(4) 对$x(x - 7) = 8(7 - x)$移项得：$x(x-7)+8(x-7)=0$，
提取公因式$(x-7)$得：$(x-7)(x+8)=0$，
则$x-7=0$或$x+8=0$，
解得$x_1=7, x_2=-8$。
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=-5$；(2)$x_1=3,x_2=5$；(3)$x_1=3+\sqrt{3},x_2=3-\sqrt{3}$；(4)$x_1=7,x_2=-8$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】
本题侧重考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时先观察方程特征选择简便解法，可有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
3. [2026 阜阳模拟] 关于x的一元二次方程$4x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况是（
A.必有两个相等的实数根
B.必有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.必有实数根
C
）A.必有两个相等的实数根
B.必有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.必有实数根
答案
3.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的取值判断：首先从给定的一元二次方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意符号不要出错，再代入判别式公式计算$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的取值对应根的三种情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$4x^2 - 3x + 1 = 0$，对应标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$a=4$，$b=-3$，$c=1$
代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×4×1 = 9 - 16 = -7$
因为$\Delta=-7＜0$，所以该一元二次方程没有实数根，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时要注意准确识别方程各项的系数，避免符号错误导致计算失误，牢记判别式取值与根的情况的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程的根的情况，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的取值判断：首先从给定的一元二次方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意符号不要出错，再代入判别式公式计算$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的取值对应根的三种情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根，即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$4x^2 - 3x + 1 = 0$，对应标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$a=4$，$b=-3$，$c=1$
代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×4×1 = 9 - 16 = -7$
因为$\Delta=-7＜0$，所以该一元二次方程没有实数根，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时要注意准确识别方程各项的系数，避免符号错误导致计算失误，牢记判别式取值与根的情况的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4. [2026淮北模拟]已知$a,b$是一元二次方程$x^2 - 3x - 3 = 0$的两个根，则$\frac{a+b}{ab}$的值为
$-1$
。答案
4.$-1$
解析
【分析】
要求代数式$\frac{a+b}{ab}$的值，需先求出$a+b$和$ab$的取值。已知$a,b$是一元二次方程的两个根，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再代入代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x - 3 = 0$，其中二次项系数为$1$，一次项系数为$-3$，常数项为$-3$。
因为$a,b$是该方程的两个根，根据韦达定理可得：
两根之和$a+b=-\frac{-3}{1}=3$，
两根之积$ab=\frac{-3}{1}=-3$。
将$a+b=3$，$ab=-3$代入$\frac{a+b}{ab}$得：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{3}{-3}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查韦达定理的直接应用，熟练掌握韦达定理中两根之和、两根之积与方程系数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要求代数式$\frac{a+b}{ab}$的值，需先求出$a+b$和$ab$的取值。已知$a,b$是一元二次方程的两个根，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再代入代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x - 3 = 0$，其中二次项系数为$1$，一次项系数为$-3$，常数项为$-3$。
因为$a,b$是该方程的两个根，根据韦达定理可得：
两根之和$a+b=-\frac{-3}{1}=3$，
两根之积$ab=\frac{-3}{1}=-3$。
将$a+b=3$，$ab=-3$代入$\frac{a+b}{ab}$得：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{3}{-3}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查韦达定理的直接应用，熟练掌握韦达定理中两根之和、两根之积与方程系数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 等腰三角形ABC的三边长分别为$a,b,c$，其中$a=5$. 若关于$x$的方程$x^2 + (b+2)x + 6 - b = 0$有两个相等的实数根，求$△ ABC$的周长.
答案
5.解：$△ ABC$的周长为12.
解析
【分析】
首先，根据一元二次方程有两个相等实数根的性质，可知根的判别式Δ=0，据此可先求出边长b的值；其次，结合等腰三角形的性质，已知a=5，需分第三边c与a相等、c与b相等两种情况讨论；最后，利用三角形三边关系验证两种情况是否成立，舍去不符合的情况后计算三角形周长即可。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^2 + (b+2)x + 6 - b = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (b+2)^2 - 4×1×(6 - b) = 0$，
展开整理得：$b^2 + 8b - 20 = 0$，
因式分解得：$(b + 10)(b - 2) = 0$，
解得：$b_1 = 2$，$b_2 = -10$（边长为正数，舍去），
∴ $b = 2$。
∵ △ABC是等腰三角形，边长a=5，
∴ 分两种情况讨论：
① 当$c = a = 5$时，三边长为5、5、2，
∵ $2 + 5 ＞ 5$，满足三角形三边关系，
此时周长为$5 + 5 + 2 = 12$；
② 当$c = b = 2$时，三边长为5、2、2，
∵ $2 + 2 = 4 ＜ 5$，不满足三角形三边关系，舍去该情况。
综上，△ABC的周长为12。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需先利用一元二次方程根的情况求出未知边长，再结合等腰三角形的性质分类讨论，尤其要注意验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
首先，根据一元二次方程有两个相等实数根的性质，可知根的判别式Δ=0，据此可先求出边长b的值；其次，结合等腰三角形的性质，已知a=5，需分第三边c与a相等、c与b相等两种情况讨论；最后，利用三角形三边关系验证两种情况是否成立，舍去不符合的情况后计算三角形周长即可。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^2 + (b+2)x + 6 - b = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (b+2)^2 - 4×1×(6 - b) = 0$，
展开整理得：$b^2 + 8b - 20 = 0$，
因式分解得：$(b + 10)(b - 2) = 0$，
解得：$b_1 = 2$，$b_2 = -10$（边长为正数，舍去），
∴ $b = 2$。
∵ △ABC是等腰三角形，边长a=5，
∴ 分两种情况讨论：
① 当$c = a = 5$时，三边长为5、5、2，
∵ $2 + 5 ＞ 5$，满足三角形三边关系，
此时周长为$5 + 5 + 2 = 12$；
② 当$c = b = 2$时，三边长为5、2、2，
∵ $2 + 2 = 4 ＜ 5$，不满足三角形三边关系，舍去该情况。
综上，△ABC的周长为12。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需先利用一元二次方程根的情况求出未知边长，再结合等腰三角形的性质分类讨论，尤其要注意验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
6.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m - 3)x - m = 0$.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_1, x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7$，求$m$的值.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_1, x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7$，求$m$的值.
答案
6.(1)略.(2)解：1或2.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心思路是计算根的判别式Δ，若Δ＞0即可得证。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac的公式化简，再判断化简结果的正负性即可。
(2) 题干给出的是两根的平方和与乘积的组合式，需利用根与系数的关系（韦达定理）求解：先写出两根之和、两根之积关于m的表达式，再通过完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入已知等式得到关于m的一元二次方程，求解后验证判别式均大于0即可得到m的取值。
【解析】
(1) 证明：已知方程为$x^2 - (m - 3)x - m = 0$，其中$a=1$，$b=-(m-3)$，$c=-m$。
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m-3)]^2 - 4×1×(-m)$
$= m^2 - 6m + 9 + 4m$
$= m^2 - 2m + 9$
$= (m-1)^2 + 8$
∵ 无论m取任意实数，$(m-1)^2≥0$，
∴ $(m-1)^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴ 方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据韦达定理，方程的两个实根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = m - 3$，$x_1x_2 = -m$
已知$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7$，将$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$代入得：
$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - x_1x_2 = 7$
即$(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 = 7$
将$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式代入上式：
$(m - 3)^2 - 3×(-m) = 7$
展开整理得：$m^2 - 6m + 9 + 3m = 7$
即$m^2 - 3m + 2 = 0$
因式分解得：$(m - 1)(m - 2) = 0$
解得$m_1=1$，$m_2=2$
代入判别式验证，$m=1$和$m=2$时$\Delta$均大于0，符合题意。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根，得证；(2) m的值为1或2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，第一问侧重判别式的计算与正负性判断，第二问侧重韦达定理的应用，熟练掌握两根代数式的常见变形是解题的关键，属于基础得分题。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心思路是计算根的判别式Δ，若Δ＞0即可得证。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac的公式化简，再判断化简结果的正负性即可。
(2) 题干给出的是两根的平方和与乘积的组合式，需利用根与系数的关系（韦达定理）求解：先写出两根之和、两根之积关于m的表达式，再通过完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入已知等式得到关于m的一元二次方程，求解后验证判别式均大于0即可得到m的取值。
【解析】
(1) 证明：已知方程为$x^2 - (m - 3)x - m = 0$，其中$a=1$，$b=-(m-3)$，$c=-m$。
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m-3)]^2 - 4×1×(-m)$
$= m^2 - 6m + 9 + 4m$
$= m^2 - 2m + 9$
$= (m-1)^2 + 8$
∵ 无论m取任意实数，$(m-1)^2≥0$，
∴ $(m-1)^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta＞0$，
∴ 方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据韦达定理，方程的两个实根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = m - 3$，$x_1x_2 = -m$
已知$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7$，将$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$代入得：
$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - x_1x_2 = 7$
即$(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 = 7$
将$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式代入上式：
$(m - 3)^2 - 3×(-m) = 7$
展开整理得：$m^2 - 6m + 9 + 3m = 7$
即$m^2 - 3m + 2 = 0$
因式分解得：$(m - 1)(m - 2) = 0$
解得$m_1=1$，$m_2=2$
代入判别式验证，$m=1$和$m=2$时$\Delta$均大于0，符合题意。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根，得证；(2) m的值为1或2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，第一问侧重判别式的计算与正负性判断，第二问侧重韦达定理的应用，熟练掌握两根代数式的常见变形是解题的关键，属于基础得分题。
【难度系数】
0.75
