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8. (★★)(2025·镇江)如图，直线$l_1 // l_2$，直线$m$分别交$l_1,l_2$于点$A,B$. 以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，分别交$l_2,l_1$于直线$m$同侧的点$C,D$，$∠ ADB=35°$，$AB=9$，则$\overset{\frown}{CD}$的长等于
【 】
A.$5π$
B.$4π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$\frac{7}{4}π$
【 】
A.$5π$
B.$4π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$\frac{7}{4}π$
答案
C
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需先确定弧对应的圆心角度数和所在圆的半径，再代入弧长公式求解。首先由作图可知AB、AC、AD都是圆的半径，即半径为9；接下来结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出圆心角$∠ CAD$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：由作图可知，$AB=AC=AD=9$，即$\overset{\frown}{CD}$所在圆的半径$r=9$，圆心为点$A$。
$\because AD=AB$，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=35°$，
$\because l_1// l_2$，$\therefore ∠ BAD=∠ ABD=35°$（两直线平行，内错角相等），
又$\because AC=AB$，$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=35°$，
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-35°-35°=110°$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ CAD=∠ BAC-∠ BAD=110°-35°=70°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=70$，$r=9$得：
$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{70×π×9}{180}=\frac{7}{2}π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了平行线、等腰三角形的性质和弧长公式的应用，解题的关键是正确推导得出弧对应的圆心角度数，熟记弧长计算公式。
【难度系数】
0.65
要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需先确定弧对应的圆心角度数和所在圆的半径，再代入弧长公式求解。首先由作图可知AB、AC、AD都是圆的半径，即半径为9；接下来结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出圆心角$∠ CAD$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：由作图可知，$AB=AC=AD=9$，即$\overset{\frown}{CD}$所在圆的半径$r=9$，圆心为点$A$。
$\because AD=AB$，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=35°$，
$\because l_1// l_2$，$\therefore ∠ BAD=∠ ABD=35°$（两直线平行，内错角相等），
又$\because AC=AB$，$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=35°$，
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-35°-35°=110°$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ CAD=∠ BAC-∠ BAD=110°-35°=70°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=70$，$r=9$得：
$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{70×π×9}{180}=\frac{7}{2}π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了平行线、等腰三角形的性质和弧长公式的应用，解题的关键是正确推导得出弧对应的圆心角度数，熟记弧长计算公式。
【难度系数】
0.65
9. (★★)(2025·哈尔滨)一个扇形的弧长是$\frac{7}{6}π$ cm，半径是3 cm，则此扇形的圆心角的度数是.
答案
$\boldsymbol{70°}$
解析
【分析】
本题要求扇形的圆心角度数，已知弧长和半径，首先回忆扇形弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）。我们可以将已知的弧长、半径代入公式，通过解方程求出圆心角的度数，计算时注意先约掉$π$简化运算，避免计算错误。
【解析】
设该扇形的圆心角为$n°$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知弧长$l=\frac{7}{6}π\ \mathrm{cm}$，半径$r=3\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$\frac{7}{6}π=\frac{nπ×3}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{7}{6}=\frac{3n}{180}=\frac{n}{60}$
解得：$n=\frac{7}{6}×60=70$
【答案】
$70°$
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形弧长公式的直接应用，只要熟记公式，准确代入已知量、正确化简计算即可得分，计算时注意约分可以简化运算过程。
【难度系数】
0.8
本题要求扇形的圆心角度数，已知弧长和半径，首先回忆扇形弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）。我们可以将已知的弧长、半径代入公式，通过解方程求出圆心角的度数，计算时注意先约掉$π$简化运算，避免计算错误。
【解析】
设该扇形的圆心角为$n°$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知弧长$l=\frac{7}{6}π\ \mathrm{cm}$，半径$r=3\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$\frac{7}{6}π=\frac{nπ×3}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{7}{6}=\frac{3n}{180}=\frac{n}{60}$
解得：$n=\frac{7}{6}×60=70$
【答案】
$70°$
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形弧长公式的直接应用，只要熟记公式，准确代入已知量、正确化简计算即可得分，计算时注意约分可以简化运算过程。
【难度系数】
0.8
10. (★★)(2025·辽宁)如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,以$AB$为直径作$\odot O$,与$AC$相交于点$D$.连接$OC$,与$\odot O$相交于点$E$.
(1)如图①,连接$DE$,求$∠ ADE$的度数;
(2)如图②,若$D$为$AC$的中点,且$AC=6$,求$\overset{\frown}{DE}$的长.
(1)如图①,连接$DE$,求$∠ ADE$的度数;
(2)如图②,若$D$为$AC$的中点,且$AC=6$,求$\overset{\frown}{DE}$的长.
答案
解：
(1) 连接BD，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AC。
∵ AC=BC，OA=OB，
∴ OC⊥AB，即∠AOC=90°，
∴ ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×90°=45°。
∵ 四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ADE + ∠ABE = 180°，
∴ ∠ADE = 180° - 45° = 135°。
(2) ∵ D为AC中点，BD⊥AC，
∴ AB=BC，
又∵ AC=BC，AC=6，
∴ AB=AC=BC=6，即△ABC为等边三角形，
∴ ∠A=60°。
∵ OA=OD，
∴ △AOD为等边三角形，
∴ ∠AOD=60°。
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠DOE = ∠AOC - ∠AOD = 90° - 60° = 30°。
∵ ⊙O的半径$r = \frac{1}{2} AB = 3$，
∴ $\overset{\frown}{DE}$的长 = $\frac{nπ r}{180}$ = $\frac{30×π×3}{180}$ = $\frac{π}{2}$。
(1) 连接BD，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AC。
∵ AC=BC，OA=OB，
∴ OC⊥AB，即∠AOC=90°，
∴ ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×90°=45°。
∵ 四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ADE + ∠ABE = 180°，
∴ ∠ADE = 180° - 45° = 135°。
(2) ∵ D为AC中点，BD⊥AC，
∴ AB=BC，
又∵ AC=BC，AC=6，
∴ AB=AC=BC=6，即△ABC为等边三角形，
∴ ∠A=60°。
∵ OA=OD，
∴ △AOD为等边三角形，
∴ ∠AOD=60°。
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠DOE = ∠AOC - ∠AOD = 90° - 60° = 30°。
∵ ⊙O的半径$r = \frac{1}{2} AB = 3$，
∴ $\overset{\frown}{DE}$的长 = $\frac{nπ r}{180}$ = $\frac{30×π×3}{180}$ = $\frac{π}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求解∠ADE时，首先利用直径所对圆周角为直角的性质，连接BD得到直角；再结合等腰三角形三线合一的性质，推出OC⊥AB得到圆心角∠AOC的度数；接着根据圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠ABE的度数；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠ADE的度数。
(2) 求解$\overset{\frown}{DE}$的长，需要先确定弧对应的圆心角度数和圆的半径：首先由垂直平分线的性质推出AB=BC，结合已知条件判定△ABC为等边三角形，进而得到∠A的度数，推出△AOD为等边三角形，得到∠AOD的度数；再结合∠AOC=90°算出圆心角∠DOE的度数；最后求出圆的半径，代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) 连接BD，
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。
∵ $AC=BC$，$OA=OB$，
∴ $OC⊥ AB$，即$∠ AOC=90°$，
∴ $∠ ABE = \frac{1}{2}∠ AOE = \frac{1}{2}×90°=45°$。
∵ 四边形ABED是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ADE + ∠ ABE = 180°$，
∴ $∠ ADE = 180° - 45° = 135°$。
(2)
∵ D为AC中点，$BD⊥ AC$，
∴ $AB=BC$，
又
∵ $AC=BC$，$AC=6$，
∴ $AB=AC=BC=6$，即$△ ABC$为等边三角形，
∴ $∠ A=60°$。
∵ $OA=OD$，
∴ $△ AOD$为等边三角形，
∴ $∠ AOD=60°$。
∵ $∠ AOC=90°$，
∴ $∠ DOE = ∠ AOC - ∠ AOD = 90° - 60° = 30°$。
∵ $\odot O$的半径$r = \frac{1}{2} AB = 3$，
∴ $\overset{\frown}{DE}$的长 = $\frac{nπ r}{180}$ = $\frac{30×π×3}{180}$ = $\frac{π}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{135°}$；(2) $\boldsymbol{\frac{π}{2}}$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长公式
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，将等腰、等边三角形的性质和圆的核心性质结合考查，解题时需要熟练掌握圆的常用辅助线作法和相关性质，第二问要注意先确定弧对应的圆心角和半径，再代入公式计算，整体考查方向基础，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.6
(1) 求解∠ADE时，首先利用直径所对圆周角为直角的性质，连接BD得到直角；再结合等腰三角形三线合一的性质，推出OC⊥AB得到圆心角∠AOC的度数；接着根据圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠ABE的度数；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠ADE的度数。
(2) 求解$\overset{\frown}{DE}$的长，需要先确定弧对应的圆心角度数和圆的半径：首先由垂直平分线的性质推出AB=BC，结合已知条件判定△ABC为等边三角形，进而得到∠A的度数，推出△AOD为等边三角形，得到∠AOD的度数；再结合∠AOC=90°算出圆心角∠DOE的度数；最后求出圆的半径，代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) 连接BD，
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。
∵ $AC=BC$，$OA=OB$，
∴ $OC⊥ AB$，即$∠ AOC=90°$，
∴ $∠ ABE = \frac{1}{2}∠ AOE = \frac{1}{2}×90°=45°$。
∵ 四边形ABED是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ADE + ∠ ABE = 180°$，
∴ $∠ ADE = 180° - 45° = 135°$。
(2)
∵ D为AC中点，$BD⊥ AC$，
∴ $AB=BC$，
又
∵ $AC=BC$，$AC=6$，
∴ $AB=AC=BC=6$，即$△ ABC$为等边三角形，
∴ $∠ A=60°$。
∵ $OA=OD$，
∴ $△ AOD$为等边三角形，
∴ $∠ AOD=60°$。
∵ $∠ AOC=90°$，
∴ $∠ DOE = ∠ AOC - ∠ AOD = 90° - 60° = 30°$。
∵ $\odot O$的半径$r = \frac{1}{2} AB = 3$，
∴ $\overset{\frown}{DE}$的长 = $\frac{nπ r}{180}$ = $\frac{30×π×3}{180}$ = $\frac{π}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{135°}$；(2) $\boldsymbol{\frac{π}{2}}$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长公式
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，将等腰、等边三角形的性质和圆的核心性质结合考查，解题时需要熟练掌握圆的常用辅助线作法和相关性质，第二问要注意先确定弧对应的圆心角和半径，再代入公式计算，整体考查方向基础，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.6
11.(★★)如图,正六边形ABCDEF的边长为4,中心为点O,以点O为圆心,以AB长为半径作圆心角为120°的扇形,则图中阴影部分的面积为.
答案
$\boldsymbol{\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}}$
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，可利用“割补法”将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差：阴影面积=圆心角为120°、半径为4的扇形面积，减去扇形内部正六边形覆盖的空白区域面积。首先回忆扇形面积公式，再分析正六边形的性质：正六边形每个中心角为360°÷6=60°，且中心到各顶点的距离等于边长，因此120°的扇形内的空白区域刚好是2个边长为4的等边三角形，算出2个等边三角形的面积和，再用扇形面积减去空白面积即可得到结果。
【解析】
1. 计算扇形的面积：
已知扇形圆心角$n=120°$，半径$r=AB=4$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入得：
$S_{扇形}=\frac{120×π×4^2}{360}=\frac{16π}{3}$。
2. 计算扇形内空白区域的面积：
正六边形每个中心角为$360°÷6=60°$，中心到各顶点的距离等于边长，因此每个中心与相邻两个顶点组成的三角形都是边长为4的等边三角形。
单个等边三角形面积：$S_{等边}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$，
120°扇形内共有2个这样的等边三角形，因此空白面积$S_{空白}=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
3. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形}-S_{空白}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，正六边形的性质，等边三角形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题型，核心解题思路是将不规则面积转化为规则图形面积的和差，需要熟练掌握正六边形的特征，以及扇形、等边三角形的面积公式。
【难度系数】
0.6
要计算阴影部分的面积，可利用“割补法”将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差：阴影面积=圆心角为120°、半径为4的扇形面积，减去扇形内部正六边形覆盖的空白区域面积。首先回忆扇形面积公式，再分析正六边形的性质：正六边形每个中心角为360°÷6=60°，且中心到各顶点的距离等于边长，因此120°的扇形内的空白区域刚好是2个边长为4的等边三角形，算出2个等边三角形的面积和，再用扇形面积减去空白面积即可得到结果。
【解析】
1. 计算扇形的面积：
已知扇形圆心角$n=120°$，半径$r=AB=4$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入得：
$S_{扇形}=\frac{120×π×4^2}{360}=\frac{16π}{3}$。
2. 计算扇形内空白区域的面积：
正六边形每个中心角为$360°÷6=60°$，中心到各顶点的距离等于边长，因此每个中心与相邻两个顶点组成的三角形都是边长为4的等边三角形。
单个等边三角形面积：$S_{等边}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$，
120°扇形内共有2个这样的等边三角形，因此空白面积$S_{空白}=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
3. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形}-S_{空白}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，正六边形的性质，等边三角形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题型，核心解题思路是将不规则面积转化为规则图形面积的和差，需要熟练掌握正六边形的特征，以及扇形、等边三角形的面积公式。
【难度系数】
0.6
