12. (★★)如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连接BC，CD.
(1)求证：CD//AB；
(2)若AB=4，∠ACD=30°，求阴影部分的面积.

(1) 证明：
∵ ∠CDB和∠CAB都是弧CB所对的圆周角，
∴ ∠CDB = ∠CAB，
又∵ ∠CAB = ∠DBA，
∴ ∠CDB = ∠DBA，
∴ CD//AB。
---
(2) 解：
连接OC，OD，
∵ AB是半圆的直径，AB=4，
∴ OA=OB=OC=OD=2，
∵ ∠ACD=30°，
∴ ∠AOD=2∠ACD=60°，
∵ CD//AB，
∴ ∠CDO=∠AOD=60°，
又∵ OD=OC，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ ∠COD=60°，
∴ ∠COB = 180° - ∠AOD - ∠COD = 60°，
∴ ∠BOD = ∠COD + ∠COB = 120°，
∵ CD//AB，点D到AB的距离为等边△OCD的高，即$\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ OBD} = \frac{1}{2} · OB · \sqrt{3} = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \sqrt{3}$，
扇形OBD的面积为：
$S_{\mathrm{扇形}OBD} = \frac{120π × 2^2}{360} = \frac{4π}{3}$，
∵ CD//AB，$S_{△ BCD}=S_{△ OCD}$，阴影部分面积等于圆心角为120°的扇形OBD减去△OBD的面积，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}OBD} - S_{△ OBD} = \frac{4π}{3} - \sqrt{3}$。
答：阴影部分的面积为$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。

【分析】
(1) 要证明CD//AB，可通过证明内错角相等推导。根据圆周角定理，同弧CB所对的圆周角∠CDB和∠CAB相等，结合已知∠CAB=∠DBA，可推出∠CDB=∠DBA，根据内错角相等，两直线平行即可得证。
(2) 阴影部分是不规则图形，需用割补法转化为规则图形的面积差计算。首先连接OC、OD，先根据直径长度求出半径，再利用圆周角定理求出对应圆心角的度数，结合CD//AB的性质，可得同底等高的三角形面积相等，进而将阴影面积转化为扇形OBD的面积减去△OBD的面积，分别计算两部分面积后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠CDB和∠CAB都是弧CB所对的圆周角，
∴ ∠CDB = ∠CAB，
又
∵ ∠CAB = ∠DBA，
∴ ∠CDB = ∠DBA，
∴ CD//AB。
(2) 解：
连接OC，OD，
∵ AB是半圆的直径，AB=4，
∴ OA=OB=OC=OD=2，
∵ ∠ACD=30°，
∴ ∠AOD=2∠ACD=60°，
∵ CD//AB，
∴ ∠CDO=∠AOD=60°，
又
∵ OD=OC，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ ∠COD=60°，
∴ ∠COB = 180° - ∠AOD - ∠COD = 60°，
∴ ∠BOD = ∠COD + ∠COB = 120°，
∵ CD//AB，点D到AB的距离为等边△OCD的高，即$\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ OBD} = \frac{1}{2} · OB · \sqrt{3} = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \sqrt{3}$，
扇形OBD的面积为：
$S_{\mathrm{扇形}OBD} = \frac{120π × 2^2}{360} = \frac{4π}{3}$，
∵ CD//AB，$S_{△ BCD}=S_{△ OCD}$，阴影部分面积等于圆心角为120°的扇形OBD减去△OBD的面积，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}OBD} - S_{△ OBD} = \frac{4π}{3} - \sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；平行线的判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，既考查了平行线的证明逻辑，又考查了不规则图形面积的计算方法，解题关键是熟练运用圆周角定理求解角度，以及通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，是圆相关考点中的常见题型。
【难度系数】
0.6

13. (★★★)如图,在扇形OBC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交$\overset{\frown}{BC}$于点D,E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为.

$\boldsymbol{2\sqrt{2}+\dfrac{π}{3}}$

【分析】
要计算阴影部分周长的最小值，首先拆分阴影周长的组成：阴影周长 = 线段CE长 + 线段DE长 + 弧CD的长。其中弧CD的长度是固定值，因此只需找到CE + DE的最小值即可得到周长最小值。求两条线段和的最小值可采用“将军饮马”轴对称模型：作点C关于OB的对称点C'，则CE = C'E，当C'、E、D三点共线时，C'E + DE最小，最小值为C'D的长度，再结合弧长公式计算弧CD的长，两者相加即为所求。
【解析】
1. 计算弧CD的定值长度：
已知∠BOC=60°，OD平分∠BOC，因此$∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOC = 30°$，扇形半径$OC=OD=OB=2$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得弧CD的长为：$\frac{30π × 2}{180}=\frac{π}{3}$。
2. 求$CE + DE$的最小值：
作点C关于OB的对称点C'，连接C'D交OB于点E，此时$CE + DE = C'E + DE = C'D$，和最小。
连接OC'，由对称性质得$OC'=OC=2$，$∠ C'OB=∠ COB=60°$，因此$∠ C'OD=∠ C'OB + ∠ BOD=60°+30°=90°$。
在$Rt△ C'OD$中，$OC'=OD=2$，由勾股定理得：$C'D=\sqrt{OC'^2 + OD^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
3. 计算阴影最小周长：
阴影部分周长最小值为$C'D + $弧CD的长$=2\sqrt{2}+\frac{π}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{2}+\dfrac{π}{3}}$
【知识点】
弧长公式，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是几何最值综合题，解题核心是先拆分周长确定定值部分，再利用轴对称模型将动态线段和转化为定线段长度求解，既考查了基础公式的应用，也考查了几何模型的迁移运用能力。
【难度系数】
0.6

14. (★★★)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D',点C的运动路径为$\overset{\frown}{CC'}$,则图中阴影部分的面积为.

$\boldsymbol{\frac{π}{4}+\frac{3}{2}-\sqrt{3}}$

【分析】
解题思路如下：1. 先利用菱形的边长和内角求出对角线AC的长度，结合旋转的性质确定扇形ACC'的圆心角和半径，计算扇形面积；2. 根据旋转角和菱形内角的关系，判断特殊点的位置，求出重叠部分三角形的面积；3. 利用割补法，将阴影面积转化为扇形面积与其他规则图形面积的和差关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：连接AC、AC'，
∵四边形ABCD是菱形，AB=1，∠DAB=60°，
∴AB=BC=AD=1，∠ABC=120°，∠BAC=∠CAD=30°，
由余弦定理可得$AC^2=AB^2+BC^2-2AB· BC\cos120°=1+1-2×(-\frac{1}{2})=3$，即$AC=\sqrt{3}$。
∵菱形绕A顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D'，
∴旋转角$∠ CAC'=30°$，$AC'=AC=\sqrt{3}$。
1. 计算扇形$ACC'$的面积：
$S_{扇形ACC'}=\frac{30°}{360°}×π×(\sqrt{3})^2=\frac{π}{4}$。
2. 结合旋转性质分析重叠区域：
由旋转可知$∠ D'AC'=∠ DAC=30°$，故AD'与AC重合，$AD'=AD=1$，$D'C=\sqrt{3}-1$。
在$△ CD'O$中，$∠ ACD=30°$，$∠ AD'C'=∠ ADC=120°$，故$∠ CD'O=60°$，$∠ COD'=90°$，可计算得该三角形面积为$\sqrt{3}-\frac{3}{2}$。
3. 阴影面积计算：
通过割补法转化，阴影面积为扇形面积减去重叠三角形面积，即：
$S_{阴影}=\frac{π}{4}-(\sqrt{3}-\frac{3}{2})=\frac{π}{4}+\frac{3}{2}-\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{π}{4}+\frac{3}{2}-\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质；扇形面积计算；旋转的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将菱形性质、旋转性质和不规则面积计算结合，核心是掌握割补法转化不规则图形面积的方法，注意旋转前后图形全等性质的应用。
【难度系数】
0.3