登录
10.如图，利用一副三角尺比较∠AOB与∠CPD的大小，则下列判断正确的是(
A.$∠ CPD＞∠ AOB$
B.$∠ AOB＞∠ CPD$
C.$∠ AOB=∠ CPD$
D.无法判断
B
)A.$∠ CPD＞∠ AOB$
B.$∠ AOB＞∠ CPD$
C.$∠ AOB=∠ CPD$
D.无法判断
答案
10.B
解析
【分析】
要比较∠AOB和∠CPD的大小，我们可以借助三角尺各角为固定度数的特征解题。首先回忆一副三角尺的角度：一个三角尺的三个角为90°、60°、30°，另一个等腰直角三角尺的三个角为90°、45°、45°；接下来分别确定两个角对应的三角尺角度，再比较度数大小即可得出结论。
【解析】
根据三角尺的固定角度特征可知：
∠AOB对应三角尺上60°的角，即∠AOB=60°；
∠CPD对应等腰直角三角尺上45°的角，即∠CPD=45°。
因为60°＞45°，所以∠AOB＞∠CPD，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角尺的角度特征；角的大小比较
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角尺固定角度的掌握，熟练记忆三角尺的各个角度即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要比较∠AOB和∠CPD的大小，我们可以借助三角尺各角为固定度数的特征解题。首先回忆一副三角尺的角度：一个三角尺的三个角为90°、60°、30°，另一个等腰直角三角尺的三个角为90°、45°、45°；接下来分别确定两个角对应的三角尺角度，再比较度数大小即可得出结论。
【解析】
根据三角尺的固定角度特征可知：
∠AOB对应三角尺上60°的角，即∠AOB=60°；
∠CPD对应等腰直角三角尺上45°的角，即∠CPD=45°。
因为60°＞45°，所以∠AOB＞∠CPD，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角尺的角度特征；角的大小比较
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角尺固定角度的掌握，熟练记忆三角尺的各个角度即可快速解题。
【难度系数】
0.9
11. 分类讨论思想 已知$∠ AOB=85°$，$∠ AOC=42°$，则$∠ BOC=$(
A.$43°$
B.$127°$
C.$43°$或$127°$
D.以上都不对
C
)A.$43°$
B.$127°$
C.$43°$或$127°$
D.以上都不对
答案
11.C
解析
【分析】
本题中∠AOB和∠AOC有公共边OA，但题目未明确射线OC的位置，因此需要分两种情况讨论：①射线OC在∠AOB的内部，此时∠BOC为两个角的差；②射线OC在∠AOB的外部，此时∠BOC为两个角的和，分别计算两种情况的结果即可得出答案。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当射线OC在∠AOB内部时：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 85° - 42° = 43°$
2. 当射线OC在∠AOB外部时：
$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 85° + 42° = 127°$
综上，∠BOC的度数为$43°$或$127°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略OC位置的不确定性，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时要考虑全面，针对不确定的位置条件分情况讨论。
【难度系数】
0.7
本题中∠AOB和∠AOC有公共边OA，但题目未明确射线OC的位置，因此需要分两种情况讨论：①射线OC在∠AOB的内部，此时∠BOC为两个角的差；②射线OC在∠AOB的外部，此时∠BOC为两个角的和，分别计算两种情况的结果即可得出答案。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当射线OC在∠AOB内部时：
$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 85° - 42° = 43°$
2. 当射线OC在∠AOB外部时：
$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 85° + 42° = 127°$
综上，∠BOC的度数为$43°$或$127°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略OC位置的不确定性，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时要考虑全面，针对不确定的位置条件分情况讨论。
【难度系数】
0.7
12.新考法 如图，这是一副特制的三角尺，用它们可以画出一些特殊角.在下列选项中，不能画出的角度是 (
D
) A. $54°$ B. $63°$ C. $99°$ D. $120°$答案
12.D
解析
【分析】
要判断能否用特制三角尺画出某个角度，本质是判断该角度是否可以通过三角尺本身的内角做和或差运算得到。首先明确这副特制三角尺的内角度数分别为36°、45°、54°、90°，只需逐个验证选项角度是否能通过上述角度的和差得到即可。
【解析】
已知这副特制三角尺的内角为36°、45°、54°、90°，对各选项逐一分析：
A. $54°$是三角尺自带的内角，可直接画出，不符合题意；
B. $63° = 45° + (54° - 36°) = 45° + 18°$，可通过角度和差运算得到，能画出，不符合题意；
C. $99° = 45° + 54°$，可通过角度和运算得到，能画出，不符合题意；
D. 尝试用36°、45°、54°、90°做和差运算，无法得到120°，因此不能画出，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角的和差运算，特殊角的画法
【点评】
本题结合特制三角尺考查角的和差应用，解题时需注意区分特制三角尺和普通三角尺的角度，通过和差运算逐一验证即可得出结论。
【难度系数】
0.7
要判断能否用特制三角尺画出某个角度，本质是判断该角度是否可以通过三角尺本身的内角做和或差运算得到。首先明确这副特制三角尺的内角度数分别为36°、45°、54°、90°，只需逐个验证选项角度是否能通过上述角度的和差得到即可。
【解析】
已知这副特制三角尺的内角为36°、45°、54°、90°，对各选项逐一分析：
A. $54°$是三角尺自带的内角，可直接画出，不符合题意；
B. $63° = 45° + (54° - 36°) = 45° + 18°$，可通过角度和差运算得到，能画出，不符合题意；
C. $99° = 45° + 54°$，可通过角度和运算得到，能画出，不符合题意；
D. 尝试用36°、45°、54°、90°做和差运算，无法得到120°，因此不能画出，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角的和差运算，特殊角的画法
【点评】
本题结合特制三角尺考查角的和差应用，解题时需注意区分特制三角尺和普通三角尺的角度，通过和差运算逐一验证即可得出结论。
【难度系数】
0.7
13.如图,把一张长方形纸片沿着EF折叠,点C,D分别落在M,N的位置,且∠MFB:∠MFE=1:2,则∠MFB=(
A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$72°$
B
)A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$72°$
答案
13.B
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到相等的角，再结合题目给出的角的比例关系设未知数，最后根据平角为180°的特点列方程求解即可。首先，折叠前后对应角相等，因此折叠后∠EFM和原来的∠EFC大小相等；其次，已知∠MFB和∠MFE的比例，可设未知数表示三个角的大小，三个角刚好组成平角，和为180°，解方程就能得到结果。
【解析】
解：设∠MFB的度数为$x$，
∵$∠ MFB:∠ MFE=1:2$，
∴$∠ MFE=2x$，
由折叠的性质可得：$∠ EFC=∠ MFE=2x$，
∵点B、F、C共线，$∠ BFC$是平角，即$∠ MFB+∠ MFE+∠ EFC=180°$，
代入得：$x+2x+2x=180°$，
合并同类项得$5x=180°$，
解得$x=36°$，即$∠ MFB=36°$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，角的运算，平角的定义
【点评】
本题是角运算的常见题型，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平角的性质通过设未知数列方程求解，解题思路清晰，只要掌握角的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时先利用折叠的性质得到相等的角，再结合题目给出的角的比例关系设未知数，最后根据平角为180°的特点列方程求解即可。首先，折叠前后对应角相等，因此折叠后∠EFM和原来的∠EFC大小相等；其次，已知∠MFB和∠MFE的比例，可设未知数表示三个角的大小，三个角刚好组成平角，和为180°，解方程就能得到结果。
【解析】
解：设∠MFB的度数为$x$，
∵$∠ MFB:∠ MFE=1:2$，
∴$∠ MFE=2x$，
由折叠的性质可得：$∠ EFC=∠ MFE=2x$，
∵点B、F、C共线，$∠ BFC$是平角，即$∠ MFB+∠ MFE+∠ EFC=180°$，
代入得：$x+2x+2x=180°$，
合并同类项得$5x=180°$，
解得$x=36°$，即$∠ MFB=36°$。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，角的运算，平角的定义
【点评】
本题是角运算的常见题型，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平角的性质通过设未知数列方程求解，解题思路清晰，只要掌握角的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
14.如图,将三个形状、大小完全一样的正方形的一个顶点重合放置,$∠ FAG=45°$,$∠ BAC=30°$,求$∠ DAE$的度数.
答案
14.解：由题意可得$∠FAC=∠GAD=∠EAB=90°$,
$∴∠DAF=∠GAD−∠FAG=90°−45°=45°$,
$∠EAC=∠EAB−∠BAC=90°−30°=60°$.
$∵∠DAF−∠DAE+∠EAC=∠FAC$,
$∴∠DAE=∠DAF+∠EAC−∠FAC=45°+60°−90°=15°$.
$∴∠DAF=∠GAD−∠FAG=90°−45°=45°$,
$∠EAC=∠EAB−∠BAC=90°−30°=60°$.
$∵∠DAF−∠DAE+∠EAC=∠FAC$,
$∴∠DAE=∠DAF+∠EAC−∠FAC=45°+60°−90°=15°$.
解析
【分析】
解题时首先利用正方形的特征得到三个重合的顶角均为90°，再结合已知的∠FAG和∠BAC的度数，分别求出∠DAF、∠EAC的度数；最后观察角的组成关系：∠DAF与∠EAC的和包含了1个90°的直角和重叠的∠DAE，据此通过角的和差运算即可求出∠DAE的度数。
【解析】
由题意可得$∠FAC=∠GAD=∠EAB=90°$,
$∴∠DAF=∠GAD−∠FAG=90°−45°=45°$,
$∠EAC=∠EAB−∠BAC=90°−30°=60°$.
$∵∠DAF+∠EAC−∠DAE=∠FAC$,
$∴∠DAE=∠DAF+∠EAC−∠FAC=45°+60°−90°=15°$.
【答案】
$15°$
【知识点】
1. 角的和差运算 2. 直角的特征
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的核心是准确识别多个角重合时的数量关系，尤其要注意重叠角部分避免重复计算，熟练掌握角的和差运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正方形的特征得到三个重合的顶角均为90°，再结合已知的∠FAG和∠BAC的度数，分别求出∠DAF、∠EAC的度数；最后观察角的组成关系：∠DAF与∠EAC的和包含了1个90°的直角和重叠的∠DAE，据此通过角的和差运算即可求出∠DAE的度数。
【解析】
由题意可得$∠FAC=∠GAD=∠EAB=90°$,
$∴∠DAF=∠GAD−∠FAG=90°−45°=45°$,
$∠EAC=∠EAB−∠BAC=90°−30°=60°$.
$∵∠DAF+∠EAC−∠DAE=∠FAC$,
$∴∠DAE=∠DAF+∠EAC−∠FAC=45°+60°−90°=15°$.
【答案】
$15°$
【知识点】
1. 角的和差运算 2. 直角的特征
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的核心是准确识别多个角重合时的数量关系，尤其要注意重叠角部分避免重复计算，熟练掌握角的和差运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
15.如图①,将一副三角尺的直角顶点C叠放在一起.
(1)若∠DCE＝35°,则∠ACB＝
(2)求∠ACB与∠DCE之间的数量关系.
(3)如图②,若将两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起,求∠DAB与∠CAE之间的数量关系.
(4)如图③,如果把任意两个锐角∠AOB,∠COD的顶点O重合在一起,已知∠AOB＝∠COD＝α,求∠AOD与∠BOC之间的数量关系.
(1)若∠DCE＝35°,则∠ACB＝
145°
；若∠ACB＝150°,则∠DCE＝30°
.(2)求∠ACB与∠DCE之间的数量关系.
(3)如图②,若将两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起,求∠DAB与∠CAE之间的数量关系.
(4)如图③,如果把任意两个锐角∠AOB,∠COD的顶点O重合在一起,已知∠AOB＝∠COD＝α,求∠AOD与∠BOC之间的数量关系.
答案
15.(1)$145°;30°$
(2)$∠ACB+∠DCE=180°$.
(3)$∠DAB+∠CAE=120°$.
(4)$∠AOD+∠BOC=2α$.
(2)$∠ACB+∠DCE=180°$.
(3)$∠DAB+∠CAE=120°$.
(4)$∠AOD+∠BOC=2α$.
解析
【分析】
本题围绕角的叠合问题展开，核心解题思路是利用角的和差关系拆分角，消去公共重叠部分推导数量关系：
1. 第(1)问先明确三角尺的直角均为90°，∠ACB的大小等于两个直角的和减去重叠部分∠DCE，代入已知数值即可计算；
2. 第(2)问将(1)的特殊数值替换为通用角，通过角的和差拆分∠ACB和∠DCE，相加后消去公共部分即可得到数量关系；
3. 第(3)问换成60°角重合的情况，同理拆分∠DAB和∠CAE，相加后消去重叠的公共角即可得结论；
4. 第(4)问推广到任意等角叠合，沿用上述拆分思路，消去公共角后即可得到通用规律。
【解析】
(1) 已知三角尺的直角$∠ ACD=∠ BCE=90°$，
$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCE - ∠ DCE$，
当$∠ DCE=35°$时，$∠ ACB=90°+90°-35°=145°$；
当$∠ ACB=150°$时，$150°=180°-∠ DCE$，解得$∠ DCE=30°$。
(2) $\because ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 90° + ∠ BCD$，
$∠ DCE = ∠ BCE - ∠ BCD = 90° - ∠ BCD$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ DCE = (90°+∠ BCD)+(90°-∠ BCD)=180°$。
(3) 由三角尺特征得$∠ DAE=∠ BAC=60°$，
$\because ∠ DAB = ∠ DAE + ∠ EAB$，
$∠ CAE = ∠ BAC - ∠ EAB$，
$\therefore ∠ DAB + ∠ CAE = (∠ DAE + ∠ EAB)+(∠ BAC - ∠ EAB)=60°+60°=120°$。
(4) $\because ∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$，
$∠ BOC = ∠ COD - ∠ BOD$，
又$\because ∠ AOB=∠ COD=α$，
$\therefore ∠ AOD + ∠ BOC = (α + ∠ BOD)+(α - ∠ BOD)=2α$。
【答案】
(1) $145°$；$30°$
(2) $∠ ACB + ∠ DCE = 180°$
(3) $∠ DAB + ∠ CAE = 120°$
(4) $∠ AOD + ∠ BOC = 2α$
【知识点】
角的和差运算；三角尺的角度特征；叠合角规律探究
【点评】
本题从特殊的三角尺叠合案例出发，逐步推导到一般等角叠合的通用规律，考查对角的和差关系的理解与运用能力，是角的运算模块的典型题型，有助于培养从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7
本题围绕角的叠合问题展开，核心解题思路是利用角的和差关系拆分角，消去公共重叠部分推导数量关系：
1. 第(1)问先明确三角尺的直角均为90°，∠ACB的大小等于两个直角的和减去重叠部分∠DCE，代入已知数值即可计算；
2. 第(2)问将(1)的特殊数值替换为通用角，通过角的和差拆分∠ACB和∠DCE，相加后消去公共部分即可得到数量关系；
3. 第(3)问换成60°角重合的情况，同理拆分∠DAB和∠CAE，相加后消去重叠的公共角即可得结论；
4. 第(4)问推广到任意等角叠合，沿用上述拆分思路，消去公共角后即可得到通用规律。
【解析】
(1) 已知三角尺的直角$∠ ACD=∠ BCE=90°$，
$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCE - ∠ DCE$，
当$∠ DCE=35°$时，$∠ ACB=90°+90°-35°=145°$；
当$∠ ACB=150°$时，$150°=180°-∠ DCE$，解得$∠ DCE=30°$。
(2) $\because ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 90° + ∠ BCD$，
$∠ DCE = ∠ BCE - ∠ BCD = 90° - ∠ BCD$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ DCE = (90°+∠ BCD)+(90°-∠ BCD)=180°$。
(3) 由三角尺特征得$∠ DAE=∠ BAC=60°$，
$\because ∠ DAB = ∠ DAE + ∠ EAB$，
$∠ CAE = ∠ BAC - ∠ EAB$，
$\therefore ∠ DAB + ∠ CAE = (∠ DAE + ∠ EAB)+(∠ BAC - ∠ EAB)=60°+60°=120°$。
(4) $\because ∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$，
$∠ BOC = ∠ COD - ∠ BOD$，
又$\because ∠ AOB=∠ COD=α$，
$\therefore ∠ AOD + ∠ BOC = (α + ∠ BOD)+(α - ∠ BOD)=2α$。
【答案】
(1) $145°$；$30°$
(2) $∠ ACB + ∠ DCE = 180°$
(3) $∠ DAB + ∠ CAE = 120°$
(4) $∠ AOD + ∠ BOC = 2α$
【知识点】
角的和差运算；三角尺的角度特征；叠合角规律探究
【点评】
本题从特殊的三角尺叠合案例出发，逐步推导到一般等角叠合的通用规律，考查对角的和差关系的理解与运用能力，是角的运算模块的典型题型，有助于培养从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7
