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【例1】 如图所示，直线 $ l_1: y = x + 3 $ 分别交x轴、y轴于点A，B，直线 $ l_2: y = -2x + 6 $ 分别交x轴、y轴于点C，D，两直线交于点 $ P(1,a) $。
(1)求直线AB与坐标轴围成的$ △ AOB $的面积。
(2)求点P的坐标和$ △ PAC $的面积。
(1)求直线AB与坐标轴围成的$ △ AOB $的面积。
(2)求点P的坐标和$ △ PAC $的面积。
答案
(1)在 $y=x+3$ 中，当 $y=0$ 时，$x+3=0$，解得 $x=-3$；当 $x=0$ 时，$y=3$。$\therefore A(-3,0),B(0,3)$。$\therefore OA=OB=3$。$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
(2)把点 $P(1,a)$ 代入 $y=x+3$，得 $a=1+3=4$。$\therefore P(1,4)$。在 $y=-2x+6$ 中，当 $y=0$ 时，$0=-2x+6$，解得 $x=3$。$\therefore C(3,0)$。$\therefore S_{△ PAC}=\frac{1}{2}CA· y_P=\frac{1}{2}×(3+3)×4=12$。
(2)把点 $P(1,a)$ 代入 $y=x+3$，得 $a=1+3=4$。$\therefore P(1,4)$。在 $y=-2x+6$ 中，当 $y=0$ 时，$0=-2x+6$，解得 $x=3$。$\therefore C(3,0)$。$\therefore S_{△ PAC}=\frac{1}{2}CA· y_P=\frac{1}{2}×(3+3)×4=12$。
解析
【分析】
(1) 要求$△ AOB$的面积，首先明确$△ AOB$是直角在原点$O$的直角三角形，只需要求出两条直角边$OA$、$OB$的长度即可。$OA$、$OB$的长度对应直线$l_1$与$x$轴、$y$轴交点的横、纵坐标的绝对值，因此我们可以通过令$l_1$解析式中$y=0$求点$A$坐标，令$x=0$求点$B$坐标，再代入直角三角形面积公式计算即可。
(2) 求点$P$的坐标，因为点$P$在直线$l_1$上，将$P$的横坐标代入$l_1$解析式即可求出纵坐标$a$；求$△ PAC$的面积时，$A$、$C$都在$x$轴上，因此$AC$为三角形的底，先令$l_2$解析式中$y=0$求出点$C$坐标，得到$AC$的长度，三角形的高就是点$P$到$x$轴的距离，即点$P$的纵坐标，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 对于直线$l_1:y=x+3$：
令$y=0$，得$x+3=0$，解得$x=-3$，$\therefore A(-3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，得$y=3$，$\therefore B(0,3)$，$OB=3$。
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OA × OB=\frac{1}{2} × 3 × 3=\frac{9}{2}$。
(2) 把点$P(1,a)$代入$y=x+3$，得$a=1+3=4$，$\therefore P$的坐标为$(1,4)$。
对于直线$l_2:y=-2x+6$，令$y=0$，得$0=-2x+6$，解得$x=3$，$\therefore C(3,0)$。
$\therefore AC$的长度为$3 - (-3)=6$，$△ PAC$的高为点$P$的纵坐标$4$，
$\therefore S_{△ PAC}=\frac{1}{2} × AC × y_P=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$。
【答案】
(1) $△ AOB$的面积为$\frac{9}{2}$；
(2) 点$P$的坐标为$(1,4)$，$△ PAC$的面积为$12$。
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与坐标轴的交点；坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础题型，解题核心是将求线段长度、图形面积的问题转化为求一次函数上点的坐标的问题，掌握坐标轴上点的坐标特点、明确坐标系中三角形底和高的对应关系是解题关键，属于一次函数部分的常规考法。
【难度系数】
0.8
(1) 要求$△ AOB$的面积，首先明确$△ AOB$是直角在原点$O$的直角三角形，只需要求出两条直角边$OA$、$OB$的长度即可。$OA$、$OB$的长度对应直线$l_1$与$x$轴、$y$轴交点的横、纵坐标的绝对值，因此我们可以通过令$l_1$解析式中$y=0$求点$A$坐标，令$x=0$求点$B$坐标，再代入直角三角形面积公式计算即可。
(2) 求点$P$的坐标，因为点$P$在直线$l_1$上，将$P$的横坐标代入$l_1$解析式即可求出纵坐标$a$；求$△ PAC$的面积时，$A$、$C$都在$x$轴上，因此$AC$为三角形的底，先令$l_2$解析式中$y=0$求出点$C$坐标，得到$AC$的长度，三角形的高就是点$P$到$x$轴的距离，即点$P$的纵坐标，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 对于直线$l_1:y=x+3$：
令$y=0$，得$x+3=0$，解得$x=-3$，$\therefore A(-3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，得$y=3$，$\therefore B(0,3)$，$OB=3$。
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OA × OB=\frac{1}{2} × 3 × 3=\frac{9}{2}$。
(2) 把点$P(1,a)$代入$y=x+3$，得$a=1+3=4$，$\therefore P$的坐标为$(1,4)$。
对于直线$l_2:y=-2x+6$，令$y=0$，得$0=-2x+6$，解得$x=3$，$\therefore C(3,0)$。
$\therefore AC$的长度为$3 - (-3)=6$，$△ PAC$的高为点$P$的纵坐标$4$，
$\therefore S_{△ PAC}=\frac{1}{2} × AC × y_P=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$。
【答案】
(1) $△ AOB$的面积为$\frac{9}{2}$；
(2) 点$P$的坐标为$(1,4)$，$△ PAC$的面积为$12$。
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与坐标轴的交点；坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础题型，解题核心是将求线段长度、图形面积的问题转化为求一次函数上点的坐标的问题，掌握坐标轴上点的坐标特点、明确坐标系中三角形底和高的对应关系是解题关键，属于一次函数部分的常规考法。
【难度系数】
0.8
1. 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数 $ y = kx $ 与一次函数 $ y = -x + b $ 的图象相交于点 $ A(4,3) $,一次函数 $ y = -x + b $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ D $.过点 $ P(0,4) $ 作 $ x $ 轴的平行线,分别交 $ y = kx $ 与 $ y = -x + b $ 的图象于点 $ B,C $,连接 $ OC $.
(1) 求这两个函数的表达式.
(2) 求 $ △ BOC $ 的面积.
(1) 求这两个函数的表达式.
(2) 求 $ △ BOC $ 的面积.
答案
(1)$\because$ 正比例函数 $y=kx$ 与一次函数 $y=-x+b$ 的图象相交于点 $A(4,3)$，$\therefore 3=4k,3=-4+b$，解得 $k=\frac{3}{4},b=7$。$\therefore$ 正比例函数的表达式为 $y=\frac{3}{4}x$，一次函数的表达式为 $y=-x+7$。
(2)$\because PC// x$ 轴，$P(0,4)$，$\therefore$ 把 $y=4$ 代入 $y=\frac{3}{4}x$，得 $x=\frac{16}{3}$。$\therefore B(\frac{16}{3},4)$。把 $y=4$ 代入 $y=-x+7$，得 $x=3$。$\therefore C(3,4)$。$\therefore BC=\frac{16}{3}-3=\frac{7}{3}$。又 $\because P(0,4)$，$\therefore OP=4$。$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BC· OP=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×4=\frac{14}{3}$。
(2)$\because PC// x$ 轴，$P(0,4)$，$\therefore$ 把 $y=4$ 代入 $y=\frac{3}{4}x$，得 $x=\frac{16}{3}$。$\therefore B(\frac{16}{3},4)$。把 $y=4$ 代入 $y=-x+7$，得 $x=3$。$\therefore C(3,4)$。$\therefore BC=\frac{16}{3}-3=\frac{7}{3}$。又 $\because P(0,4)$，$\therefore OP=4$。$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BC· OP=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×4=\frac{14}{3}$。
解析
【分析】
(1) 要求两个函数的表达式，已知两个函数图象均过点$A(4,3)$，根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将$A$点坐标分别代入两个函数式，得到关于$k$、$b$的一元一次方程，解方程求出参数即可得到函数表达式。
(2) 求$△ BOC$的面积时，先由$PC// x$轴、$P(0,4)$可知$B$、$C$两点纵坐标均为4，将$y=4$代入已求出的两个函数表达式，可得到$B$、$C$的横坐标，横坐标的差就是$BC$的长度；$△ BOC$中$BC$边上的高为$BC$所在直线到$x$轴的距离，即$P$点的纵坐标4，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 正比例函数$y=kx$与一次函数$y=-x+b$的图象相交于点$A(4,3)$，
$\therefore$ 将$A(4,3)$代入$y=kx$得：$3=4k$，解得$k=\frac{3}{4}$；
将$A(4,3)$代入$y=-x+b$得：$3=-4+b$，解得$b=7$。
$\therefore$ 正比例函数的表达式为$y=\frac{3}{4}x$，一次函数的表达式为$y=-x+7$。
(2) $\because PC// x$轴，$P(0,4)$，$\therefore B$、$C$两点的纵坐标均为4。
把$y=4$代入$y=\frac{3}{4}x$，得$4=\frac{3}{4}x$，解得$x=\frac{16}{3}$，即$B(\frac{16}{3},4)$；
把$y=4$代入$y=-x+7$，得$4=-x+7$，解得$x=3$，即$C(3,4)$。
$\therefore BC=\frac{16}{3}-3=\frac{7}{3}$，
又$\because BC$所在直线到$x$轴的距离为4，即$△ BOC$中$BC$边上的高为4，
$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× BC× 高=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×4=\frac{14}{3}$。
【答案】
(1) 正比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{4}x}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+7}$；
(2) $△ BOC$的面积为$\boldsymbol{\frac{14}{3}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数点的坐标特征；坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查核心是函数图象与点坐标的对应关系，解题思路清晰，只要掌握待定系数法求解析式的方法，以及坐标系中水平线段长度、三角形面积的计算方法即可顺利求解，是一次函数章节的常规考法。
【难度系数】
0.8
(1) 要求两个函数的表达式，已知两个函数图象均过点$A(4,3)$，根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将$A$点坐标分别代入两个函数式，得到关于$k$、$b$的一元一次方程，解方程求出参数即可得到函数表达式。
(2) 求$△ BOC$的面积时，先由$PC// x$轴、$P(0,4)$可知$B$、$C$两点纵坐标均为4，将$y=4$代入已求出的两个函数表达式，可得到$B$、$C$的横坐标，横坐标的差就是$BC$的长度；$△ BOC$中$BC$边上的高为$BC$所在直线到$x$轴的距离，即$P$点的纵坐标4，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 正比例函数$y=kx$与一次函数$y=-x+b$的图象相交于点$A(4,3)$，
$\therefore$ 将$A(4,3)$代入$y=kx$得：$3=4k$，解得$k=\frac{3}{4}$；
将$A(4,3)$代入$y=-x+b$得：$3=-4+b$，解得$b=7$。
$\therefore$ 正比例函数的表达式为$y=\frac{3}{4}x$，一次函数的表达式为$y=-x+7$。
(2) $\because PC// x$轴，$P(0,4)$，$\therefore B$、$C$两点的纵坐标均为4。
把$y=4$代入$y=\frac{3}{4}x$，得$4=\frac{3}{4}x$，解得$x=\frac{16}{3}$，即$B(\frac{16}{3},4)$；
把$y=4$代入$y=-x+7$，得$4=-x+7$，解得$x=3$，即$C(3,4)$。
$\therefore BC=\frac{16}{3}-3=\frac{7}{3}$，
又$\because BC$所在直线到$x$轴的距离为4，即$△ BOC$中$BC$边上的高为4，
$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× BC× 高=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×4=\frac{14}{3}$。
【答案】
(1) 正比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{4}x}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+7}$；
(2) $△ BOC$的面积为$\boldsymbol{\frac{14}{3}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数点的坐标特征；坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查核心是函数图象与点坐标的对应关系，解题思路清晰，只要掌握待定系数法求解析式的方法，以及坐标系中水平线段长度、三角形面积的计算方法即可顺利求解，是一次函数章节的常规考法。
【难度系数】
0.8
