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三、解答题
7. 图中以点 B 为顶点的角有几个？把它们表示出来. 以 D 为顶点的角有几个？把它们表示出来.
7. 图中以点 B 为顶点的角有几个？把它们表示出来. 以 D 为顶点的角有几个？把它们表示出来.
答案
7. 以点 B 为顶点的角有 3 个，分别是∠ABC，∠ABD，∠DBC；以点 D 为顶点的角有 4 个，分别是∠ADB，∠ADE，∠BDC，∠CDE
解析
【分析】
数以某点为顶点的角时，首先要确定顶点，再找出从该顶点出发的所有射线，按照固定顺序将射线两两组合，就能做到不重不漏计数，本题默认统计大于0°且小于180°的角。首先看以B为顶点，从B出发的射线有BA、BD、BC三条，按顺序组合即可得到所有角；再看以D为顶点，从D出发的射线有DA、DB、DC、DE四条，按规则两两组合就能得到符合要求的角。
【解析】
1. 计数以点B为顶点的角：
从点B出发的射线共有BA、BD、BC3条，两两组合形成的角分别为：射线BA和BD组成∠ABD，射线BD和BC组成∠DBC，射线BA和BC组成∠ABC，总计3个角。
2. 计数以点D为顶点的角：
从点D出发的射线共有DA、DB、DC、DE4条，两两组合形成的小于平角的角分别为：射线DA和DB组成∠ADB，射线DB和DC组成∠BDC，射线DC和DE组成∠CDE，射线DE和DA组成∠ADE，总计4个角。
【答案】
以点 B 为顶点的角有 3 个，分别是∠ABC，∠ABD，∠DBC；以 D 为顶点的角有 4 个，分别是∠ADB，∠ADE，∠BDC，∠CDE
【知识点】
角的概念；角的表示方法
【点评】
本题属于角的识别类基础题，解题关键是按固定顺序数角，避免出现漏数、重复计数的问题，注意这类题目通常默认统计小于平角的角。
【难度系数】
0.9
数以某点为顶点的角时，首先要确定顶点，再找出从该顶点出发的所有射线，按照固定顺序将射线两两组合，就能做到不重不漏计数，本题默认统计大于0°且小于180°的角。首先看以B为顶点，从B出发的射线有BA、BD、BC三条，按顺序组合即可得到所有角；再看以D为顶点，从D出发的射线有DA、DB、DC、DE四条，按规则两两组合就能得到符合要求的角。
【解析】
1. 计数以点B为顶点的角：
从点B出发的射线共有BA、BD、BC3条，两两组合形成的角分别为：射线BA和BD组成∠ABD，射线BD和BC组成∠DBC，射线BA和BC组成∠ABC，总计3个角。
2. 计数以点D为顶点的角：
从点D出发的射线共有DA、DB、DC、DE4条，两两组合形成的小于平角的角分别为：射线DA和DB组成∠ADB，射线DB和DC组成∠BDC，射线DC和DE组成∠CDE，射线DE和DA组成∠ADE，总计4个角。
【答案】
以点 B 为顶点的角有 3 个，分别是∠ABC，∠ABD，∠DBC；以 D 为顶点的角有 4 个，分别是∠ADB，∠ADE，∠BDC，∠CDE
【知识点】
角的概念；角的表示方法
【点评】
本题属于角的识别类基础题，解题关键是按固定顺序数角，避免出现漏数、重复计数的问题，注意这类题目通常默认统计小于平角的角。
【难度系数】
0.9
8. 请将图中的角用不同方法表示出来，填写下表。
答案
解：
表格空位按顺序填写结果如下：
第一行从左数第2个空：$∠ ABC$
第一行从左数第3个空：$∠ ACB$
第一行从左数第4个空：$∠ ACF$
第二行从左数第1个空：$∠ α$
表格空位按顺序填写结果如下：
第一行从左数第2个空：$∠ ABC$
第一行从左数第3个空：$∠ ACB$
第一行从左数第4个空：$∠ ACF$
第二行从左数第1个空：$∠ α$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要掌握角的几种常见表示规则：①用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间，两条边上的任意一点的字母写在两侧，适用于顶点处有多个角的情况；②用单个希腊字母（如α、β等）或阿拉伯数字表示角时，需要角的内部靠近顶点处标注了对应的符号，书写更简便。解题时先找到每个待表示角的顶点和两条边，再根据规则匹配对应的表示方法即可。
【解析】
我们逐个对应表格空位分析：
1. 第一行从左数第2个空：该角顶点为点B，两条边分别是射线BA、射线BC，按照三个大写字母表示角的规则，顶点放中间，所以表示为$∠ ABC$；
2. 第一行从左数第3个空：该角顶点为点C，两条边分别是射线CA、射线CB，同理表示为$∠ ACB$；
3. 第一行从左数第4个空：该角顶点为点C，两条边分别是射线CA、射线CF，同理表示为$∠ ACF$；
4. 第二行从左数第1个空：该角在图中用希腊字母$α$标注，所以可以直接表示为$∠ α$。
【答案】
表格空位按顺序填写结果如下：
第一行从左数第2个空：$∠ ABC$
第一行从左数第3个空：$∠ ACB$
第一行从左数第4个空：$∠ ACF$
第二行从左数第1个空：$∠ α$
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题是角的表示的基础应用题型，解题核心是准确识别角的顶点和两条边，需要注意用三个大写字母表示角时顶点字母的位置不能出错，熟练掌握不同的角的表示方法能为后续几何学习打好基础。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先要掌握角的几种常见表示规则：①用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间，两条边上的任意一点的字母写在两侧，适用于顶点处有多个角的情况；②用单个希腊字母（如α、β等）或阿拉伯数字表示角时，需要角的内部靠近顶点处标注了对应的符号，书写更简便。解题时先找到每个待表示角的顶点和两条边，再根据规则匹配对应的表示方法即可。
【解析】
我们逐个对应表格空位分析：
1. 第一行从左数第2个空：该角顶点为点B，两条边分别是射线BA、射线BC，按照三个大写字母表示角的规则，顶点放中间，所以表示为$∠ ABC$；
2. 第一行从左数第3个空：该角顶点为点C，两条边分别是射线CA、射线CB，同理表示为$∠ ACB$；
3. 第一行从左数第4个空：该角顶点为点C，两条边分别是射线CA、射线CF，同理表示为$∠ ACF$；
4. 第二行从左数第1个空：该角在图中用希腊字母$α$标注，所以可以直接表示为$∠ α$。
【答案】
表格空位按顺序填写结果如下：
第一行从左数第2个空：$∠ ABC$
第一行从左数第3个空：$∠ ACB$
第一行从左数第4个空：$∠ ACF$
第二行从左数第1个空：$∠ α$
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题是角的表示的基础应用题型，解题核心是准确识别角的顶点和两条边，需要注意用三个大写字母表示角时顶点字母的位置不能出错，熟练掌握不同的角的表示方法能为后续几何学习打好基础。
【难度系数】
0.85
9. 观察图形，并回答问题.
| 图形 | |
| | … |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 射线条数 | 2 | 3 | | … |
| 锐角个数 | 1 | 3 | | … |
（1）根据规律，完成以上表格；
（2）进一步思考：从一个点出发作 $ n $ 条射线，最多有多少个锐角？
| 图形 | |
| | … || --- | --- | --- | --- | --- |
| 射线条数 | 2 | 3 | | … |
| 锐角个数 | 1 | 3 | | … |
（1）根据规律，完成以上表格；
（2）进一步思考：从一个点出发作 $ n $ 条射线，最多有多少个锐角？
答案
(1) 4 6(从上到下) (2) $\frac{n(n-1)}{2}$
解析
【分析】
解决第一问时，先观察前两组图形和对应数据：射线条数为2时锐角有1个，射线条数为3时锐角有3个。先数第三个图形的射线条数，再按“先数单个小角，再数多个小角组合成的角”的方法计算锐角总数。解决第二问时，先列出前几组射线条数和对应锐角个数的关系，找规律：n条射线时，单个小角有(n-1)个，依次累加1到(n-1)，通过求和就能推导出通用公式。
【解析】
（1）观察第三个图形，从公共顶点出发共有4条射线，因此射线条数填4；
数该图形的锐角：单个小锐角共3个，由2个小锐角组成的锐角共2个，由3个小锐角组成的锐角共1个，总个数为$3+2+1=6$，因此锐角个数填6。
（2）整理已知数据找规律：
当射线条数$n=2$时，锐角个数$1=\frac{2×(2-1)}{2}$；
当射线条数$n=3$时，锐角个数$3=\frac{3×(3-1)}{2}$；
当射线条数$n=4$时，锐角个数$6=\frac{4×(4-1)}{2}$；
以此类推，n条射线时锐角总数是1到(n-1)的和，根据等差数列求和公式可得：
$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$
【答案】
(1) 从上到下依次填4、6；(2) $\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
角的计数、规律探究、等差数列求和
【点评】
本题是图形规律探究类基础题，核心是掌握角的计数方法，通过观察少量数据的共性归纳通用规律，能够有效锻炼观察能力和归纳推导能力。
【难度系数】
0.75
解决第一问时，先观察前两组图形和对应数据：射线条数为2时锐角有1个，射线条数为3时锐角有3个。先数第三个图形的射线条数，再按“先数单个小角，再数多个小角组合成的角”的方法计算锐角总数。解决第二问时，先列出前几组射线条数和对应锐角个数的关系，找规律：n条射线时，单个小角有(n-1)个，依次累加1到(n-1)，通过求和就能推导出通用公式。
【解析】
（1）观察第三个图形，从公共顶点出发共有4条射线，因此射线条数填4；
数该图形的锐角：单个小锐角共3个，由2个小锐角组成的锐角共2个，由3个小锐角组成的锐角共1个，总个数为$3+2+1=6$，因此锐角个数填6。
（2）整理已知数据找规律：
当射线条数$n=2$时，锐角个数$1=\frac{2×(2-1)}{2}$；
当射线条数$n=3$时，锐角个数$3=\frac{3×(3-1)}{2}$；
当射线条数$n=4$时，锐角个数$6=\frac{4×(4-1)}{2}$；
以此类推，n条射线时锐角总数是1到(n-1)的和，根据等差数列求和公式可得：
$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$
【答案】
(1) 从上到下依次填4、6；(2) $\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
角的计数、规律探究、等差数列求和
【点评】
本题是图形规律探究类基础题，核心是掌握角的计数方法，通过观察少量数据的共性归纳通用规律，能够有效锻炼观察能力和归纳推导能力。
【难度系数】
0.75
