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5. 某校组织八年级学生去公园游玩,从景区A出发到相距10 km的景区B,公园有4座脚踏车和7座电瓶车(不包含司机)两种交通工具可供租用,一部分学生骑脚踏车从景区A先出发,过了20 min后,其余学生乘电瓶车出发,结果他们同时到达景区B.已知电瓶车的速度是骑脚踏车学生速度的2倍,租用一辆脚踏车100元,租用一辆电瓶车400元.
(1)请问骑脚踏车学生的速度为多少?(请列分式方程解答)
(2)现共租用脚踏车和电瓶车20辆,使可乘坐学生的总数不低于110人,且租车总费用不超过5 600元,请求出费用最少的租车方案及最少费用.
(1)请问骑脚踏车学生的速度为多少?(请列分式方程解答)
(2)现共租用脚踏车和电瓶车20辆,使可乘坐学生的总数不低于110人,且租车总费用不超过5 600元,请求出费用最少的租车方案及最少费用.
答案
5. (1)骑脚踏车学生的速度为 15 km/h.
(2)租用脚踏车 10 辆,电瓶车 10 辆时,租车费用最少,最少费用为 5 000 元.
(2)租用脚踏车 10 辆,电瓶车 10 辆时,租车费用最少,最少费用为 5 000 元.
解析
【分析】
（1）第一问是行程类分式方程应用题，核心等量关系为：骑脚踏车的耗时 - 乘电瓶车的耗时 = 20分钟。解题时先统一时间单位，设骑脚踏车速度为x km/h，则电瓶车速度为2x km/h，根据“时间=路程÷速度”分别表示两种出行方式的耗时，代入等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根的合理性。
（2）第二问是不等式组结合最优方案问题，设租用脚踏车m辆，则电瓶车为(20-m)辆，根据“总载客量≥110人”“总费用≤5600元”两个限制条件列一元一次不等式组，求出m的整数取值范围，再结合费用随m的变化规律，找到费用最低的方案即可。
【解析】
解：(1) 设骑脚踏车学生的速度为x km/h，则电瓶车的速度为2x km/h，20分钟=$\frac{1}{3}$小时。
根据题意列方程：
$\frac{10}{x} - \frac{10}{2x} = \frac{1}{3}$
化简得：$\frac{5}{x} = \frac{1}{3}$
解得：$x=15$
检验：当$x=15$时，$2x≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 设租用脚踏车m辆，则租用电瓶车$(20-m)$辆，总租车费用为W元。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 4m + 7(20 - m) ≥ 110 \\ 100m + 400(20 - m) ≤ 5600 \end{cases}$
解第一个不等式：
$4m + 140 - 7m ≥ 110$
$-3m ≥ -30$
$m ≤ 10$
解第二个不等式：
$100m + 8000 - 400m ≤ 5600$
$-300m ≤ -2400$
$m ≥ 8$
因此m的取值范围为$8≤ m≤10$，且m为整数，即m可取8、9、10。
总费用$W=100m + 400(20 - m)=8000 - 300m$
∵$-300＜0$，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=10时，W取得最小值，最小值为$8000 - 300×10=5000$元，此时$20-m=10$辆。
【答案】
(1) 骑脚踏车学生的速度为 15 km/h；
(2) 租用脚踏车 10 辆，电瓶车 10 辆时，租车费用最少，最少费用为 5000 元。
【知识点】
分式方程应用、一元一次不等式组应用、最优方案求解
【点评】
本题结合生活出行场景命题，既考查了分式方程的实际应用，也考查了不等式组和最优方案的计算能力，解题时要注意行程问题的单位统一、分式方程必须验根，求解最值时可结合一次函数增减性快速判断结果。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是行程类分式方程应用题，核心等量关系为：骑脚踏车的耗时 - 乘电瓶车的耗时 = 20分钟。解题时先统一时间单位，设骑脚踏车速度为x km/h，则电瓶车速度为2x km/h，根据“时间=路程÷速度”分别表示两种出行方式的耗时，代入等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根的合理性。
（2）第二问是不等式组结合最优方案问题，设租用脚踏车m辆，则电瓶车为(20-m)辆，根据“总载客量≥110人”“总费用≤5600元”两个限制条件列一元一次不等式组，求出m的整数取值范围，再结合费用随m的变化规律，找到费用最低的方案即可。
【解析】
解：(1) 设骑脚踏车学生的速度为x km/h，则电瓶车的速度为2x km/h，20分钟=$\frac{1}{3}$小时。
根据题意列方程：
$\frac{10}{x} - \frac{10}{2x} = \frac{1}{3}$
化简得：$\frac{5}{x} = \frac{1}{3}$
解得：$x=15$
检验：当$x=15$时，$2x≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 设租用脚踏车m辆，则租用电瓶车$(20-m)$辆，总租车费用为W元。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 4m + 7(20 - m) ≥ 110 \\ 100m + 400(20 - m) ≤ 5600 \end{cases}$
解第一个不等式：
$4m + 140 - 7m ≥ 110$
$-3m ≥ -30$
$m ≤ 10$
解第二个不等式：
$100m + 8000 - 400m ≤ 5600$
$-300m ≤ -2400$
$m ≥ 8$
因此m的取值范围为$8≤ m≤10$，且m为整数，即m可取8、9、10。
总费用$W=100m + 400(20 - m)=8000 - 300m$
∵$-300＜0$，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=10时，W取得最小值，最小值为$8000 - 300×10=5000$元，此时$20-m=10$辆。
【答案】
(1) 骑脚踏车学生的速度为 15 km/h；
(2) 租用脚踏车 10 辆，电瓶车 10 辆时，租车费用最少，最少费用为 5000 元。
【知识点】
分式方程应用、一元一次不等式组应用、最优方案求解
【点评】
本题结合生活出行场景命题，既考查了分式方程的实际应用，也考查了不等式组和最优方案的计算能力，解题时要注意行程问题的单位统一、分式方程必须验根，求解最值时可结合一次函数增减性快速判断结果。
【难度系数】
0.7
6. 王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6 km，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15 min，才能按原驾车的时间到达学校.
(1)求王老师驾车的平均速度；
(2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4 kg，按这样计算，王老师一天(按一个往返计算)可以减少多少碳排放量？
(1)求王老师驾车的平均速度；
(2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4 kg，按这样计算，王老师一天(按一个往返计算)可以减少多少碳排放量？
答案
6. (1)设王老师骑自行车的平均速度为 x km/h,则王老师驾车的平均速度为 3x km/h.
根据题意,得$\frac{6}{x}-\frac{6}{3x}=\frac{15}{60}$.
解得 $x=16$.
经检验,$x=16$ 是所列分式方程的解,且符合题意.
所以 $3x=3×16=48$.
答:王老师驾车的平均速度为 48 km/h.
(2)王老师驾车往返学校所需的时间为 $2×\frac{6}{48}=0.25(\mathrm{h})$,
则 $2.4×0.25=0.6(\mathrm{kg})$.
答:王老师一天(按一个往返计算)可以减少 0.6 kg 碳排放量.
根据题意,得$\frac{6}{x}-\frac{6}{3x}=\frac{15}{60}$.
解得 $x=16$.
经检验,$x=16$ 是所列分式方程的解,且符合题意.
所以 $3x=3×16=48$.
答:王老师驾车的平均速度为 48 km/h.
(2)王老师驾车往返学校所需的时间为 $2×\frac{6}{48}=0.25(\mathrm{h})$,
则 $2.4×0.25=0.6(\mathrm{kg})$.
答:王老师一天(按一个往返计算)可以减少 0.6 kg 碳排放量.
解析
【分析】
（1）本题属于行程类分式方程应用题，解题核心是抓住时间差的等量关系：骑自行车走6km的时间 - 驾车走6km的时间=15分钟。我们可以设王老师骑自行车的平均速度为x km/h，根据驾车速度是骑自行车的3倍，可得驾车平均速度为3x km/h，再利用“时间=路程÷速度”分别表示出两种方式的行驶时间，注意将15分钟换算为$\frac{15}{60}$小时保证单位统一，列分式方程求解即可，分式方程的解需要检验是否符合方程和实际意义。
（2）要求一天减少的碳排放量，实际是求王老师原来驾车上下班往返的总碳排放量，先计算驾车往返的总时间，再乘每小时碳排放量即可得到结果。
【解析】
(1)设王老师骑自行车的平均速度为$x$ km/h，则王老师驾车的平均速度为$3x$ km/h。
根据题意，得$\frac{6}{x}-\frac{6}{3x}=\frac{15}{60}$，
化简得$\frac{6}{x}-\frac{2}{x}=\frac{1}{4}$，即$\frac{4}{x}=\frac{1}{4}$，
解得 $x=16$。
经检验，$x=16$ 是所列分式方程的解，且符合实际意义，
所以$3x=3×16=48$。
(2)王老师驾车往返学校所需的时间为 $2×\frac{6}{48}=0.25(\mathrm{h})$，
则减少的碳排放量为$2.4×0.25=0.6(\mathrm{kg})$。
【答案】
(1)王老师驾车的平均速度为48 km/h；
(2)王老师一天可以减少0.6 kg碳排放量。
【知识点】
分式方程的应用；行程问题数量关系；有理数的运算
【点评】
本题结合低碳出行的生活实际设计问题，既考查了分式方程解决实际问题的能力，又渗透了环保理念，解题时需注意找准等量关系、统一单位，同时牢记分式方程必须验根，是联系生活的典型应用题。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于行程类分式方程应用题，解题核心是抓住时间差的等量关系：骑自行车走6km的时间 - 驾车走6km的时间=15分钟。我们可以设王老师骑自行车的平均速度为x km/h，根据驾车速度是骑自行车的3倍，可得驾车平均速度为3x km/h，再利用“时间=路程÷速度”分别表示出两种方式的行驶时间，注意将15分钟换算为$\frac{15}{60}$小时保证单位统一，列分式方程求解即可，分式方程的解需要检验是否符合方程和实际意义。
（2）要求一天减少的碳排放量，实际是求王老师原来驾车上下班往返的总碳排放量，先计算驾车往返的总时间，再乘每小时碳排放量即可得到结果。
【解析】
(1)设王老师骑自行车的平均速度为$x$ km/h，则王老师驾车的平均速度为$3x$ km/h。
根据题意，得$\frac{6}{x}-\frac{6}{3x}=\frac{15}{60}$，
化简得$\frac{6}{x}-\frac{2}{x}=\frac{1}{4}$，即$\frac{4}{x}=\frac{1}{4}$，
解得 $x=16$。
经检验，$x=16$ 是所列分式方程的解，且符合实际意义，
所以$3x=3×16=48$。
(2)王老师驾车往返学校所需的时间为 $2×\frac{6}{48}=0.25(\mathrm{h})$，
则减少的碳排放量为$2.4×0.25=0.6(\mathrm{kg})$。
【答案】
(1)王老师驾车的平均速度为48 km/h；
(2)王老师一天可以减少0.6 kg碳排放量。
【知识点】
分式方程的应用；行程问题数量关系；有理数的运算
【点评】
本题结合低碳出行的生活实际设计问题，既考查了分式方程解决实际问题的能力，又渗透了环保理念，解题时需注意找准等量关系、统一单位，同时牢记分式方程必须验根，是联系生活的典型应用题。
【难度系数】
0.7
