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1. 如果$(x+a)(x+b)$的结果中不含$x$的一次项，那么常数$a$，$b$满足（
A.$a=b$
B.$a=0$
C.$a=-b$
D.$b=0$
C
）A.$a=b$
B.$a=0$
C.$a=-b$
D.$b=0$
答案
1. C
解析
【分析】
解题思路如下：首先要先根据多项式乘多项式的运算法则，将$(x+a)(x+b)$展开并合并同类项，接着找到展开式中$x$的一次项的系数；题目说明结果中不含$x$的一次项，含义就是这一项的系数等于0，据此列出关于$a$、$b$的等式，化简就能得到$a$、$b$满足的关系。
【解析】
首先利用多项式乘多项式法则展开式子：
$\begin{aligned}(x+a)(x+b)&=x· x + x· b + a· x + a· b\\&=x^2 + bx + ax + ab\end{aligned}$
合并同类项后得：$x^2 + (a+b)x + ab$
因为结果中不含$x$的一次项，所以$x$的一次项系数为0，即：
$a + b = 0$
移项可得：$a = -b$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.多项式乘多项式法则
2.合并同类项
3.多项式项的系数
【点评】
本题属于整式乘法的基础常考题，解题关键是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握该规律可快速解决同类不含某项的整式乘法题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先要先根据多项式乘多项式的运算法则，将$(x+a)(x+b)$展开并合并同类项，接着找到展开式中$x$的一次项的系数；题目说明结果中不含$x$的一次项，含义就是这一项的系数等于0，据此列出关于$a$、$b$的等式，化简就能得到$a$、$b$满足的关系。
【解析】
首先利用多项式乘多项式法则展开式子：
$\begin{aligned}(x+a)(x+b)&=x· x + x· b + a· x + a· b\\&=x^2 + bx + ax + ab\end{aligned}$
合并同类项后得：$x^2 + (a+b)x + ab$
因为结果中不含$x$的一次项，所以$x$的一次项系数为0，即：
$a + b = 0$
移项可得：$a = -b$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.多项式乘多项式法则
2.合并同类项
3.多项式项的系数
【点评】
本题属于整式乘法的基础常考题，解题关键是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握该规律可快速解决同类不含某项的整式乘法题型。
【难度系数】
0.8
2. 已知$a+b=-5$，$ab=3$，则$(a-2)(b-2)=$
17
.答案
2. 17
解析
【分析】
要求代数式$(a-2)(b-2)$的值，无需单独求解$a$、$b$的具体数值。首先利用多项式乘多项式的法则将待求式展开，再通过变形整理成包含已知条件$a+b$、$ab$的形式，最后将已知数值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开待求式：
$\begin{aligned}(a-2)(b-2)&=ab - 2a - 2b + 4\\&=ab - 2(a + b) + 4\end{aligned}$
将已知$a+b=-5$，$ab=3$整体代入上式：
$\begin{aligned}原式&=3 - 2×(-5) + 4\\&=3 + 10 + 4\\&=17\end{aligned}$
【答案】
17
【知识点】
多项式乘多项式；整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握整式乘法的运算法则，灵活运用整体代入的思想，避免单独求解未知量带来的繁琐计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
要求代数式$(a-2)(b-2)$的值，无需单独求解$a$、$b$的具体数值。首先利用多项式乘多项式的法则将待求式展开，再通过变形整理成包含已知条件$a+b$、$ab$的形式，最后将已知数值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开待求式：
$\begin{aligned}(a-2)(b-2)&=ab - 2a - 2b + 4\\&=ab - 2(a + b) + 4\end{aligned}$
将已知$a+b=-5$，$ab=3$整体代入上式：
$\begin{aligned}原式&=3 - 2×(-5) + 4\\&=3 + 10 + 4\\&=17\end{aligned}$
【答案】
17
【知识点】
多项式乘多项式；整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握整式乘法的运算法则，灵活运用整体代入的思想，避免单独求解未知量带来的繁琐计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
3. 一个长方体的长、宽、高分别是 $3x - 4$，$2x - 1$ 和 $x$，则它的体积是
$6x^3-11x^2+4x$
.答案
3. $6x^3-11x^2+4x$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高。第一步先把题目给出的长、宽、高的代数式代入公式，得到整式乘法的算式；第二步按照整式乘法的运算顺序，先计算两个多项式的乘积，再将得到的结果与单项式相乘，计算过程中要注意符号规则，最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：长方体的体积公式为$V = 长 × 宽 × 高$，将长$3x-4$、宽$2x-1$、高$x$代入得：
$\begin{aligned}V&=(3x-4)(2x-1)x \\&=[3x·2x + 3x·(-1) + (-4)·2x + (-4)·(-1)]x \\&=(6x^2 - 3x - 8x + 4)x \\&=(6x^2 - 11x + 4)x \\&=6x^2· x - 11x· x + 4· x \\&=6x^3 - 11x^2 + 4x\end{aligned}$
【答案】
$6x^3-11x^2+4x$
【知识点】
长方体体积计算；多项式乘多项式；单项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法在几何计算中的基础应用，解题核心是熟练掌握整式乘法的运算法则，计算时要注意各项的符号，避免合并同类项时系数计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高。第一步先把题目给出的长、宽、高的代数式代入公式，得到整式乘法的算式；第二步按照整式乘法的运算顺序，先计算两个多项式的乘积，再将得到的结果与单项式相乘，计算过程中要注意符号规则，最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：长方体的体积公式为$V = 长 × 宽 × 高$，将长$3x-4$、宽$2x-1$、高$x$代入得：
$\begin{aligned}V&=(3x-4)(2x-1)x \\&=[3x·2x + 3x·(-1) + (-4)·2x + (-4)·(-1)]x \\&=(6x^2 - 3x - 8x + 4)x \\&=(6x^2 - 11x + 4)x \\&=6x^2· x - 11x· x + 4· x \\&=6x^3 - 11x^2 + 4x\end{aligned}$
【答案】
$6x^3-11x^2+4x$
【知识点】
长方体体积计算；多项式乘多项式；单项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法在几何计算中的基础应用，解题核心是熟练掌握整式乘法的运算法则，计算时要注意各项的符号，避免合并同类项时系数计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 设有边长分别为$a$和$b$（$a＞b$）的A类和B类正方形纸片、长为$a$宽为$b$的C类矩形纸片若干张. 如图所示, 要拼一个边长为$a+b$的正方形, 需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片. 若要拼一个长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的矩形, 则需要C类纸片的张数为（
A.6
B.7
C.8
D.9
C
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案
4. C
解析
【分析】
要解决拼接矩形需要多少张C类纸片的问题，核心思路是拼接前后总面积相等：首先计算目标矩形的总面积，再将面积表达式展开为整式形式，由于每张C类纸片的面积是ab，因此展开式中ab项的系数就是需要的C类纸片的张数。具体步骤为：1. 根据矩形面积公式写出目标矩形的面积表达式；2. 用多项式乘多项式的法则展开表达式；3. 找到ab项的系数，即为所求C类纸片张数。
【解析】
首先计算长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的矩形面积：
根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得：
$\begin{aligned}S&=(3a+b)(2a+2b)\\&=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b\\&=6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2\\&=6a^2 + 8ab + 2b^2\end{aligned}$
已知每张C类矩形纸片的面积为$ab$，因此展开式中$ab$项的系数为8，即需要C类纸片8张。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，面积法解题，整式乘法的几何应用
【点评】
本题将整式运算与几何图形拼接相结合，通过面积相等建立代数与几何的联系，解题的关键是理解拼接前后总面积不变，能够有效考查对整式乘法运算法则的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决拼接矩形需要多少张C类纸片的问题，核心思路是拼接前后总面积相等：首先计算目标矩形的总面积，再将面积表达式展开为整式形式，由于每张C类纸片的面积是ab，因此展开式中ab项的系数就是需要的C类纸片的张数。具体步骤为：1. 根据矩形面积公式写出目标矩形的面积表达式；2. 用多项式乘多项式的法则展开表达式；3. 找到ab项的系数，即为所求C类纸片张数。
【解析】
首先计算长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的矩形面积：
根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得：
$\begin{aligned}S&=(3a+b)(2a+2b)\\&=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b\\&=6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2\\&=6a^2 + 8ab + 2b^2\end{aligned}$
已知每张C类矩形纸片的面积为$ab$，因此展开式中$ab$项的系数为8，即需要C类纸片8张。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，面积法解题，整式乘法的几何应用
【点评】
本题将整式运算与几何图形拼接相结合，通过面积相等建立代数与几何的联系，解题的关键是理解拼接前后总面积不变，能够有效考查对整式乘法运算法则的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 计算:
(1) $(x-3y)(x+7y)$;
(2) $(y+1)^2$;
(3) $(2x-5)(x^2+2x+3)$;
(4) $(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$.
(1) $(x-3y)(x+7y)$;
(2) $(y+1)^2$;
(3) $(2x-5)(x^2+2x+3)$;
(4) $(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$.
答案
(1) $x^2+4xy-21y^2$
(2) $y^2+2y+1$
(3) $2x^3-x^2-4x-15$
(4) $8x^3-27y^3$
(2) $y^2+2y+1$
(3) $2x^3-x^2-4x-15$
(4) $8x^3-27y^3$
解析
【分析】
这四道题均属于整式乘法运算，解题思路清晰可遵循：①对于普通多项式乘多项式的题型，严格按照“用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再把所有积相加，最后合并同类项”的规则计算，注意不要漏乘、不要弄错符号；②对于符合乘法公式特征的式子，可以直接套用对应的公式计算，比逐项相乘更简便。具体到每道题：第(1)题是两个二项式相乘，直接按多项式乘多项式法则计算即可；第(2)题是两数和的平方，可直接用完全平方和公式，也可转化为两个二项式相乘计算；第(3)题是二项式乘三项式，逐项相乘后合并同类项即可；第(4)题符合立方差公式的结构特征，可直接套用公式，也可按普通多项式乘法规则计算。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(x-3y)(x+7y)&=x· x + x·7y + (-3y)· x + (-3y)·7y\\&=x^2 +7xy -3xy -21y^2\\&=x^2 +4xy -21y^2\end{aligned}$
(2) 利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$计算，令$a=y$，$b=1$：
$(y+1)^2=y^2 + 2· y·1 +1^2 = y^2+2y+1$
也可转化为$(y+1)(y+1)$按多项式乘法规则计算，结果一致。
(3) 根据多项式乘多项式法则逐项相乘后合并同类项：
$\begin{aligned}(2x-5)(x^2+2x+3)&=2x· x^2 +2x·2x +2x·3 + (-5)· x^2 + (-5)·2x + (-5)·3\\&=2x^3 +4x^2 +6x -5x^2 -10x -15\\&=2x^3 -x^2 -4x -15\end{aligned}$
(4) 利用立方差公式$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$计算，令$a=2x$，$b=3y$：
$\begin{aligned}(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)&=(2x)^3 - (3y)^3\\&=8x^3 -27y^3\end{aligned}$
也可按多项式乘多项式规则逐项计算，合并同类项后结果一致。
【答案】
(1) $x^2+4xy-21y^2$
(2) $y^2+2y+1$
(3) $2x^3-x^2-4x-15$
(4) $8x^3-27y^3$
【知识点】
多项式乘多项式、完全平方公式、立方差公式
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，核心考查多项式乘法运算规则的掌握程度，计算时需注意不要漏乘项、不要写错项的符号，合并同类项要准确，熟练掌握常用乘法公式能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
这四道题均属于整式乘法运算，解题思路清晰可遵循：①对于普通多项式乘多项式的题型，严格按照“用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再把所有积相加，最后合并同类项”的规则计算，注意不要漏乘、不要弄错符号；②对于符合乘法公式特征的式子，可以直接套用对应的公式计算，比逐项相乘更简便。具体到每道题：第(1)题是两个二项式相乘，直接按多项式乘多项式法则计算即可；第(2)题是两数和的平方，可直接用完全平方和公式，也可转化为两个二项式相乘计算；第(3)题是二项式乘三项式，逐项相乘后合并同类项即可；第(4)题符合立方差公式的结构特征，可直接套用公式，也可按普通多项式乘法规则计算。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(x-3y)(x+7y)&=x· x + x·7y + (-3y)· x + (-3y)·7y\\&=x^2 +7xy -3xy -21y^2\\&=x^2 +4xy -21y^2\end{aligned}$
(2) 利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$计算，令$a=y$，$b=1$：
$(y+1)^2=y^2 + 2· y·1 +1^2 = y^2+2y+1$
也可转化为$(y+1)(y+1)$按多项式乘法规则计算，结果一致。
(3) 根据多项式乘多项式法则逐项相乘后合并同类项：
$\begin{aligned}(2x-5)(x^2+2x+3)&=2x· x^2 +2x·2x +2x·3 + (-5)· x^2 + (-5)·2x + (-5)·3\\&=2x^3 +4x^2 +6x -5x^2 -10x -15\\&=2x^3 -x^2 -4x -15\end{aligned}$
(4) 利用立方差公式$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$计算，令$a=2x$，$b=3y$：
$\begin{aligned}(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)&=(2x)^3 - (3y)^3\\&=8x^3 -27y^3\end{aligned}$
也可按多项式乘多项式规则逐项计算，合并同类项后结果一致。
【答案】
(1) $x^2+4xy-21y^2$
(2) $y^2+2y+1$
(3) $2x^3-x^2-4x-15$
(4) $8x^3-27y^3$
【知识点】
多项式乘多项式、完全平方公式、立方差公式
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，核心考查多项式乘法运算规则的掌握程度，计算时需注意不要漏乘项、不要写错项的符号，合并同类项要准确，熟练掌握常用乘法公式能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
6. 小明想把一长为60 cm、宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形.
(1) 若设小正方形的边长为x cm，求图中阴影部分的面积.
(2) 当x=5时，求这个盒子的体积.
(1) 若设小正方形的边长为x cm，求图中阴影部分的面积.
(2) 当x=5时，求这个盒子的体积.
答案
解：(1) $(60-2x)(40-2x)=4x^2-200x+2\ 400$。
答：阴影部分的面积为 $(4x^2-200x+2\ 400)\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 当 $x=5$ 时，$4x^2-200x+2\ 400=1\ 500\ (\mathrm{cm}^2)$，这个盒子的体积为 $1\ 500×5=7\ 500\ (\mathrm{cm}^3)$。
答：这个盒子的体积为 $7\ 500\ \mathrm{cm}^3$。
答：阴影部分的面积为 $(4x^2-200x+2\ 400)\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 当 $x=5$ 时，$4x^2-200x+2\ 400=1\ 500\ (\mathrm{cm}^2)$，这个盒子的体积为 $1\ 500×5=7\ 500\ (\mathrm{cm}^3)$。
答：这个盒子的体积为 $7\ 500\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
(1) 要求阴影部分的面积，首先明确阴影部分是剪去四个小正方形后剩余的长方形：原来长方形纸片的长为60cm，宽为40cm，四个角各剪去边长为x的小正方形后，阴影部分的长为$(60-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(40-2x)\mathrm{cm}$，再根据长方形面积公式“面积=长×宽”列式，最后利用多项式乘多项式法则展开即可。
(2) 无盖长方体盒子的高就是剪去的小正方形的边长x，体积公式为“体积=底面积×高”，先将x=5代入(1)中得到的底面积代数式求出底面积，再乘高x就能得到盒子体积。
【解析】
(1) 由题意可知，阴影部分为长方形，长为$(60-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(40-2x)\mathrm{cm}$，因此面积为：
$\begin{aligned}&(60-2x)(40-2x)\\=&60×40 -60×2x -2x×40 +(2x)×(2x)\\=&2400 -120x -80x +4x^2\\=&4x^2 -200x +2400\end{aligned}$
即阴影部分面积为$(4x^2 -200x +2400)\mathrm{cm}^2$。
(2) 当$x=5$时，先计算底面积：
将$x=5$代入$4x^2 -200x +2400$得：
$4×5^2 -200×5 +2400=4×25 -1000 +2400=1500(\mathrm{cm}^2)$
长方体盒子的高为$x=5\mathrm{cm}$，因此体积为：
$1500×5=7500(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) 阴影部分的面积为$\boldsymbol{(4x^2-200x+2400)\ \mathrm{cm}^2}$；
(2) 这个盒子的体积为$\boldsymbol{7500\ \mathrm{cm}^3}$。
【知识点】
多项式乘多项式；列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查整式运算的应用，解题核心是找准实际量对应的代数式，既考查了整式运算的基础能力，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的应用意识。
【难度系数】
0.7
(1) 要求阴影部分的面积，首先明确阴影部分是剪去四个小正方形后剩余的长方形：原来长方形纸片的长为60cm，宽为40cm，四个角各剪去边长为x的小正方形后，阴影部分的长为$(60-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(40-2x)\mathrm{cm}$，再根据长方形面积公式“面积=长×宽”列式，最后利用多项式乘多项式法则展开即可。
(2) 无盖长方体盒子的高就是剪去的小正方形的边长x，体积公式为“体积=底面积×高”，先将x=5代入(1)中得到的底面积代数式求出底面积，再乘高x就能得到盒子体积。
【解析】
(1) 由题意可知，阴影部分为长方形，长为$(60-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(40-2x)\mathrm{cm}$，因此面积为：
$\begin{aligned}&(60-2x)(40-2x)\\=&60×40 -60×2x -2x×40 +(2x)×(2x)\\=&2400 -120x -80x +4x^2\\=&4x^2 -200x +2400\end{aligned}$
即阴影部分面积为$(4x^2 -200x +2400)\mathrm{cm}^2$。
(2) 当$x=5$时，先计算底面积：
将$x=5$代入$4x^2 -200x +2400$得：
$4×5^2 -200×5 +2400=4×25 -1000 +2400=1500(\mathrm{cm}^2)$
长方体盒子的高为$x=5\mathrm{cm}$，因此体积为：
$1500×5=7500(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) 阴影部分的面积为$\boldsymbol{(4x^2-200x+2400)\ \mathrm{cm}^2}$；
(2) 这个盒子的体积为$\boldsymbol{7500\ \mathrm{cm}^3}$。
【知识点】
多项式乘多项式；列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查整式运算的应用，解题核心是找准实际量对应的代数式，既考查了整式运算的基础能力，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的应用意识。
【难度系数】
0.7
