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【知识点】多项式与多项式相乘
◎多项式与多项式相乘，先用一个多项式的
◎多项式与多项式相乘，先用一个多项式的
每一项
乘另一个多项式的每一项
，再把所得的积相加
，即$(a+b)(p+q) =$$ap+aq+bp+bq$
。答案
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即$(a+b)(p+q) = ap+aq+bp+bq$
解析
【分析】
这道题考查多项式与多项式相乘的基本运算法则，属于概念识记类题目，解题时只需回忆对应法则的具体内容即可：运算过程中要保证不重不漏乘项，先用第一个多项式的所有项分别乘第二个多项式的每一项，再把所有乘得的结果相加，最后按法则写出对应的展开公式即可。
【解析】
根据多项式与多项式相乘的运算法则：
1. 运算第一步：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，避免漏乘项；
2. 运算第二步：将前一步得到的所有积相加；
3. 对应公式推导：$(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq$。
因此对应空缺位置依次填入：每一项、每一项、相加、$ap+aq+bp+bq$。
【答案】
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即$(a+b)(p+q) = ap+aq+bp+bq$
【知识点】
多项式乘多项式法则
【点评】
本题是整式乘法模块的基础概念题，主要考查对多项式乘多项式运算法则的记忆掌握，该法则是后续整式化简、因式分解等运算的核心基础，需要熟练识记。
【难度系数】
0.9
这道题考查多项式与多项式相乘的基本运算法则，属于概念识记类题目，解题时只需回忆对应法则的具体内容即可：运算过程中要保证不重不漏乘项，先用第一个多项式的所有项分别乘第二个多项式的每一项，再把所有乘得的结果相加，最后按法则写出对应的展开公式即可。
【解析】
根据多项式与多项式相乘的运算法则：
1. 运算第一步：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，避免漏乘项；
2. 运算第二步：将前一步得到的所有积相加；
3. 对应公式推导：$(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq$。
因此对应空缺位置依次填入：每一项、每一项、相加、$ap+aq+bp+bq$。
【答案】
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即$(a+b)(p+q) = ap+aq+bp+bq$
【知识点】
多项式乘多项式法则
【点评】
本题是整式乘法模块的基础概念题，主要考查对多项式乘多项式运算法则的记忆掌握，该法则是后续整式化简、因式分解等运算的核心基础，需要熟练识记。
【难度系数】
0.9
1. 下列多项式相乘的结果为$x^2-4x-12$的是（
A.$(x+3)(x-4)$
B.$(x+2)(x-6)$
C.$(x-3)(x+4)$
D.$(x+6)(x-2)$
B
）A.$(x+3)(x-4)$
B.$(x+2)(x-6)$
C.$(x-3)(x+4)$
D.$(x+6)(x-2)$
答案
1. B
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，根据多项式乘多项式的运算法则，将四个选项分别展开，再与目标多项式$x^2-4x-12$对比，结果一致的即为正确选项；思路二，利用$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$的规律，找到乘积为$-12$、和为$-4$的两个数，即可直接确定对应的因式分解形式，匹配正确选项。
【解析】
我们通过多项式乘多项式展开的方法逐一验证选项：
多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，运算后合并同类项即可得到结果。
选项A：$(x+3)(x-4)=x^2-4x+3x-12=x^2-x-12$，与目标式不符，排除；
选项B：$(x+2)(x-6)=x^2-6x+2x-12=x^2-4x-12$，与目标式完全一致；
选项C：$(x-3)(x+4)=x^2+4x-3x-12=x^2+x-12$，与目标式不符，排除；
选项D：$(x+6)(x-2)=x^2-2x+6x-12=x^2+4x-12$，与目标式不符，排除。
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；整式乘法运算；十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，既可以通过直接展开计算验证选项，也可以通过因式分解的逆运算快速定位答案，解题时需要注意多项式相乘时的符号问题，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一，根据多项式乘多项式的运算法则，将四个选项分别展开，再与目标多项式$x^2-4x-12$对比，结果一致的即为正确选项；思路二，利用$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$的规律，找到乘积为$-12$、和为$-4$的两个数，即可直接确定对应的因式分解形式，匹配正确选项。
【解析】
我们通过多项式乘多项式展开的方法逐一验证选项：
多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，运算后合并同类项即可得到结果。
选项A：$(x+3)(x-4)=x^2-4x+3x-12=x^2-x-12$，与目标式不符，排除；
选项B：$(x+2)(x-6)=x^2-6x+2x-12=x^2-4x-12$，与目标式完全一致；
选项C：$(x-3)(x+4)=x^2+4x-3x-12=x^2+x-12$，与目标式不符，排除；
选项D：$(x+6)(x-2)=x^2-2x+6x-12=x^2+4x-12$，与目标式不符，排除。
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；整式乘法运算；十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，既可以通过直接展开计算验证选项，也可以通过因式分解的逆运算快速定位答案，解题时需要注意多项式相乘时的符号问题，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
2. 若$(x+a)(x+b)=x^2 -kx +ab$，则$k$的值为（
A.$a+b$
B.$-a-b$
C.$a-b$
D.$b-a$
B
）A.$a+b$
B.$-a-b$
C.$a-b$
D.$b-a$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先利用多项式乘多项式的运算法则将等式左边的式子展开并合并同类项，再根据等式两边对应同类项的系数相等的性质，列出关于k的关系式，求解即可得到k的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开等式左边的式子：
$(x+a)(x+b)=x· x + x· b + a· x + a· b = x^2 + (a+b)x + ab$
已知$(x+a)(x+b)=x^2 -kx +ab$，因此可得：
$x^2 + (a+b)x + ab = x^2 -kx +ab$
等式两边同类项的系数对应相等，一次项系数满足：
$a+b = -k$
解得$k = -a -b$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 多项式乘多项式
2. 同类项系数对应相等
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查多项式乘法运算和等式恒成立的性质，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时先利用多项式乘多项式的运算法则将等式左边的式子展开并合并同类项，再根据等式两边对应同类项的系数相等的性质，列出关于k的关系式，求解即可得到k的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开等式左边的式子：
$(x+a)(x+b)=x· x + x· b + a· x + a· b = x^2 + (a+b)x + ab$
已知$(x+a)(x+b)=x^2 -kx +ab$，因此可得：
$x^2 + (a+b)x + ab = x^2 -kx +ab$
等式两边同类项的系数对应相等，一次项系数满足：
$a+b = -k$
解得$k = -a -b$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 多项式乘多项式
2. 同类项系数对应相等
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查多项式乘法运算和等式恒成立的性质，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
3. 下列计算正确的是（
A.$(2a+b)(2a-b)=2a^2 - b^2$
B.$(-a - b)(a + b)=a^2 - b^2$
C.$(a - 3b)(3a - b)=3a^2 - 10ab + 3b^2$
D.$(a - b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 - b^3$
C
）A.$(2a+b)(2a-b)=2a^2 - b^2$
B.$(-a - b)(a + b)=a^2 - b^2$
C.$(a - 3b)(3a - b)=3a^2 - 10ab + 3b^2$
D.$(a - b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 - b^3$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查整式乘法的相关运算，解题思路为：逐一验证每个选项的计算结果是否正确。首先要明确各运算规则：1. 平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，仅适用于两个多项式是相同项与相反项的和乘差的形式；2. 完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$；3. 多项式乘多项式法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并所有同类项。计算时注意符号不要出错，不要漏乘项。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
选项A：根据平方差公式，$(2a+b)(2a-b)=(2a)^2 - b^2=4a^2 - b^2≠ 2a^2 - b^2$，故A错误；
选项B：先变形得$(-a - b)(a + b)=-(a+b)(a+b)=-(a+b)^2=-a^2 - 2ab - b^2≠ a^2 - b^2$，故B错误；
选项C：根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(a - 3b)(3a - b)&=a· 3a + a· (-b) + (-3b)· 3a + (-3b)· (-b)\\&=3a^2 - ab -9ab + 3b^2\\&=3a^2 -10ab + 3b^2\end{aligned}$
与选项给出的结果一致，故C正确；
选项D：展开计算：
$\begin{aligned}(a - b)(a^2 - ab + b^2)&=a· a^2 + a· (-ab) + a· b^2 + (-b)· a^2 + (-b)· (-ab) + (-b)· b^2\\&=a^3 -a^2b + ab^2 -a^2b + ab^2 -b^3\\&=a^3 -2a^2b + 2ab^2 -b^3≠ a^3 -b^3\end{aligned}$
故D错误。
综上，计算正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题核心考查整式乘法的运算法则和乘法公式的灵活应用，解题的关键是准确区分各公式的适用条件，多项式相乘时要注意不要漏乘项，合并同类项时要注意各项的符号，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查整式乘法的相关运算，解题思路为：逐一验证每个选项的计算结果是否正确。首先要明确各运算规则：1. 平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，仅适用于两个多项式是相同项与相反项的和乘差的形式；2. 完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$；3. 多项式乘多项式法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并所有同类项。计算时注意符号不要出错，不要漏乘项。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
选项A：根据平方差公式，$(2a+b)(2a-b)=(2a)^2 - b^2=4a^2 - b^2≠ 2a^2 - b^2$，故A错误；
选项B：先变形得$(-a - b)(a + b)=-(a+b)(a+b)=-(a+b)^2=-a^2 - 2ab - b^2≠ a^2 - b^2$，故B错误；
选项C：根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(a - 3b)(3a - b)&=a· 3a + a· (-b) + (-3b)· 3a + (-3b)· (-b)\\&=3a^2 - ab -9ab + 3b^2\\&=3a^2 -10ab + 3b^2\end{aligned}$
与选项给出的结果一致，故C正确；
选项D：展开计算：
$\begin{aligned}(a - b)(a^2 - ab + b^2)&=a· a^2 + a· (-ab) + a· b^2 + (-b)· a^2 + (-b)· (-ab) + (-b)· b^2\\&=a^3 -a^2b + ab^2 -a^2b + ab^2 -b^3\\&=a^3 -2a^2b + 2ab^2 -b^3≠ a^3 -b^3\end{aligned}$
故D错误。
综上，计算正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题核心考查整式乘法的运算法则和乘法公式的灵活应用，解题的关键是准确区分各公式的适用条件，多项式相乘时要注意不要漏乘项，合并同类项时要注意各项的符号，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
【例】如图，某小区有一块长为$(3a+b)\ \mathrm{m}$、宽为$(2a+b)\ \mathrm{m}$的长方形地块，开发商计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像.
(1) 用含有$a$，$b$的式子表示绿化的总面积.(结果写成最简形式)
(2) 若$a=8$，$b=\dfrac{5}{6}$，求出当时绿化的总面积.
(3) 在(2)的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程.已知甲队每小时绿化$14\ \mathrm{m}^2$，甲队先单独绿化$5\ \mathrm{h}$，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过$15\ \mathrm{h}$，则乙队每小时至少绿化多少平方米？
图16.2-1
【点拨】此题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.(1) 根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论.(2) 把$a=8$，$b=\dfrac{5}{6}$代入(1)的代数式即可得到结论.(3) 设乙队每小时至少绿化$x\ \mathrm{m}^2$，根据题意列出不等式进行计算即可.
(1) 用含有$a$，$b$的式子表示绿化的总面积.(结果写成最简形式)
(2) 若$a=8$，$b=\dfrac{5}{6}$，求出当时绿化的总面积.
(3) 在(2)的条件下，开发商找来甲、乙两队完成此项绿化工程.已知甲队每小时绿化$14\ \mathrm{m}^2$，甲队先单独绿化$5\ \mathrm{h}$，然后乙队加入，合作完成剩余部分的绿化，要求总工作时间不超过$15\ \mathrm{h}$，则乙队每小时至少绿化多少平方米？
图16.2-1
【点拨】此题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.(1) 根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论.(2) 把$a=8$，$b=\dfrac{5}{6}$代入(1)的代数式即可得到结论.(3) 设乙队每小时至少绿化$x\ \mathrm{m}^2$，根据题意列出不等式进行计算即可.
答案
解：(1) 总面积为 $(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2=(5a^2+3ab)\ (\mathrm{m})$。
(2) 将 $a=8,\ b=\dfrac{5}{6}$ 代入，$5a^2+3ab=5×8^2+3×8×\dfrac{5}{6}=320+20=340\ (\mathrm{m}^2)$。
(3) 设乙队每小时至少绿化 $x\ \mathrm{m}^2$，要求总工作时间不超过 15 h，故合作完成部分不得超过10 h，故甲单独工作 $5×14=70\ \mathrm{m}^2$，剩余 $340-70=270\ \mathrm{m}^2$，故 $10(14+x)≥270$，解得 $x≥13\ (\mathrm{m}^2)$。
答：则乙队每小时至少绿化 $13\ \mathrm{m}^2$。
(2) 将 $a=8,\ b=\dfrac{5}{6}$ 代入，$5a^2+3ab=5×8^2+3×8×\dfrac{5}{6}=320+20=340\ (\mathrm{m}^2)$。
(3) 设乙队每小时至少绿化 $x\ \mathrm{m}^2$，要求总工作时间不超过 15 h，故合作完成部分不得超过10 h，故甲单独工作 $5×14=70\ \mathrm{m}^2$，剩余 $340-70=270\ \mathrm{m}^2$，故 $10(14+x)≥270$，解得 $x≥13\ (\mathrm{m}^2)$。
答：则乙队每小时至少绿化 $13\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 绿化面积为阴影部分面积，可通过“大长方形总面积减去中间空白正方形面积”计算，先分别根据矩形、正方形面积公式写出两个图形的面积表达式，再展开、合并同类项化简即可。
(2) 将给定的a、b的值直接代入第(1)问得到的最简代数式，按运算顺序计算即可得到绿化面积的具体数值。
(3) 属于工程类不等式问题，先计算甲单独工作5小时完成的绿化量，再根据“总工作时间不超过15h”得出甲乙合作的最长工作时间，结合“合作完成的工作量≥剩余绿化量”列不等式求解即可。
【解析】
(1) 由题意得，绿化面积 = 长方形地块面积 - 中间空白正方形面积
长方形地块面积：$(3a+b)(2a+b)=6a^2+3ab+2ab+b^2=6a^2+5ab+b^2$
中间空白正方形面积：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
所以绿化总面积为：
$\begin{aligned}&(6a^2+5ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)\\=&6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\=&5a^2+3ab\end{aligned}$
(2) 将$a=8$，$b=\dfrac{5}{6}$代入$5a^2+3ab$得：
$\begin{aligned}&5×8^2+3×8×\dfrac{5}{6}\\=&5×64+24×\dfrac{5}{6}\\=&320+20\\=&340\end{aligned}$
(3) 设乙队每小时绿化$x\ \mathrm{m}^2$。
甲队单独工作5小时完成的绿化面积：$14×5=70\ \mathrm{m}^2$
剩余绿化面积：$340-70=270\ \mathrm{m}^2$
要求总工作时间不超过15h，则甲乙合作的时长最多为$15-5=10\ \mathrm{h}$，可列不等式：
$10(14+x)≥270$
解不等式：
两边同时除以10得：$14+x≥27$
移项得：$x≥13$
【答案】
(1) 绿化总面积为$(5a^2+3ab)\ \mathrm{m}^2$
(2) 此时绿化总面积为$340\ \mathrm{m}^2$
(3) 乙队每小时至少绿化$13\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
整式的混合运算，代数式求值，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际场景考查了整式运算、代数式代入求值以及不等式的实际应用，需要准确理解题意梳理数量关系，熟练掌握整式乘法公式和不等式的解法是解题的关键。
【难度系数】
0.65
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 绿化面积为阴影部分面积，可通过“大长方形总面积减去中间空白正方形面积”计算，先分别根据矩形、正方形面积公式写出两个图形的面积表达式，再展开、合并同类项化简即可。
(2) 将给定的a、b的值直接代入第(1)问得到的最简代数式，按运算顺序计算即可得到绿化面积的具体数值。
(3) 属于工程类不等式问题，先计算甲单独工作5小时完成的绿化量，再根据“总工作时间不超过15h”得出甲乙合作的最长工作时间，结合“合作完成的工作量≥剩余绿化量”列不等式求解即可。
【解析】
(1) 由题意得，绿化面积 = 长方形地块面积 - 中间空白正方形面积
长方形地块面积：$(3a+b)(2a+b)=6a^2+3ab+2ab+b^2=6a^2+5ab+b^2$
中间空白正方形面积：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
所以绿化总面积为：
$\begin{aligned}&(6a^2+5ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)\\=&6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\=&5a^2+3ab\end{aligned}$
(2) 将$a=8$，$b=\dfrac{5}{6}$代入$5a^2+3ab$得：
$\begin{aligned}&5×8^2+3×8×\dfrac{5}{6}\\=&5×64+24×\dfrac{5}{6}\\=&320+20\\=&340\end{aligned}$
(3) 设乙队每小时绿化$x\ \mathrm{m}^2$。
甲队单独工作5小时完成的绿化面积：$14×5=70\ \mathrm{m}^2$
剩余绿化面积：$340-70=270\ \mathrm{m}^2$
要求总工作时间不超过15h，则甲乙合作的时长最多为$15-5=10\ \mathrm{h}$，可列不等式：
$10(14+x)≥270$
解不等式：
两边同时除以10得：$14+x≥27$
移项得：$x≥13$
【答案】
(1) 绿化总面积为$(5a^2+3ab)\ \mathrm{m}^2$
(2) 此时绿化总面积为$340\ \mathrm{m}^2$
(3) 乙队每小时至少绿化$13\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
整式的混合运算，代数式求值，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际场景考查了整式运算、代数式代入求值以及不等式的实际应用，需要准确理解题意梳理数量关系，熟练掌握整式乘法公式和不等式的解法是解题的关键。
【难度系数】
0.65
