1.【问题】如图①,在$△ ABC$中,D是BC的中点,E是AB上一点,延长DE,CA交于点F,若$DE=EF$,$AB=4$,求AE的长.(提示:如图②,过点E作$EH// BC$交AC于H.)
【探究】在原问题的条件下,可以得到AF和AC的数量关系是.
【拓展】如图③,在$△ ABC$中,AD是中线,点E在线段AD上,且$AE:AD=1:3$,连接BE并延长,交AC于点F,若$S_{△ AEF}=1$,则$S_{四边形EFCD}=$.

1. 【问题】AE=1，解析：过点E作EH//BC交AC于H，
∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，
∴△FEH∽△FDC，
∴EH/DC=FE/FD。
∵DE=EF，
∴EH/DC=1/2。
∵BD=DC，
∴EH/BC=1/4，同理得△AEH∽△ABC，
∴AE/AB=EH/BC=1/4。
∵AB=4，
∴AE=1。
【探究】$\frac{AF}{AC}=\frac{1}{2}$，解析：过点A作AM//BC，交DF于点M，
∴△AEM∽△BED，
∴AM/BD=AE/BE=1/3。
∵BD=CD，
∴AM/CD=AM/BD=1/3。
∵AM//BC，
∴△AFM∽△CFD，
∴AF/CF=AM/CD=1/3，
∴AF/AC=1/2。
【拓展】14，解析：作EG//BC，FH//BC。
∴△AEG∽△ADC，
∴EG/DC=AE/AD=1/3。
∵△FEG∽△FBC，BC=2DC，
∴FE/FB=EG/BC=1/6。
∵△FEH∽△BED，
∴EH/ED=EF/EB=1/5。设DE=5EH=5x，
∵AE:AD=1:3，
∴AD=3AE，
∴DE=2AE，
∴AE=2.5x，
∴AH=1.5x，
∴S△AHF/S△AEF=AH/AE=1.5x/2.5x=3/5，
∴S△AHF=3/5×1=3/5。
∵△AHF∽△ADC，
∴S△ADC/S△AHF=(AD/AH)²=(7.5x/1.5x)²=25，
∴S△ADC=3/5×25=15，
∴S四边形EFCD=15-1=14。

2. (东营中考)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
(1)如图①,在$△ ABC$中,点$O$在线段$BC$上,$∠ BAO=30°$, $∠ OAC=75°$, $AO=3\sqrt{3}$, $BO:CO=1:3$,求$AB$的长.
经过社团成员讨论发现,过点$B$作$BD// AC$,交$AO$的延长线于点$D$,通过构造$△ ABD$就可以解决问题(如图②).
请回答:$∠ ADB=$$°$, $AB=$.
(2)请参考以上解题思路,解决问题:
如图③,在四边形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$, $AC⊥ AD$, $AO=3\sqrt{3}$, $∠ ABC=∠ ACB=75°$, $BO:OD=1:3$,求$DC$的长.

2. (1) 75，$4\sqrt{3}$，解析：
∵BD//AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°。
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴OD/OA=OB/OC=1/3。又
∵AO=3√3，
∴OD=1/3 AO=√3，
∴AD=AO+OD=4√3。
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4√3。
(2) DC的长为$4\sqrt{13}$，解析：过点B作BE//AD交AC于点E。
∵AC⊥AD，BE//AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°。
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴BO/DO=EO/AO=BE/DA。
∵BO:OD=1:3，
∴EO/AO=BE/DA=1/3。
∵AO=3√3，
∴EO=√3，
∴AE=4√3。
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE。在Rt△AEB中，BE²+AE²=AB²，即BE²+(4√3)²=(2BE)²，解得BE=4(负值已舍去)，
∴AB=AC=8，AD=12。在Rt△CAD中，AC²+AD²=DC²，即8²+12²=DC²，解得DC=4√13(负值已舍去)。