⊙O,AC平分∠BAD,连接BD.
(1)求证:∠CBD=∠BDC;
(2)延长AB至点E,使BE=AD,连接CE.求证:$\frac{AC}{AB+AD}=\frac{BC}{BD}$.

2. (2025·绵阳中考)如图,点A,C在⊙O上,连

1. (1)
∵ AC 平分∠BAD,
∴ ∠BAC=∠CAD.
∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠BAC=∠BDC,∠CAD=∠CBD.
∴ ∠CBD=∠BDC.
(2)
∵ BE=AD,
∴ AB+AD=AB+BE=AE.
∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠ABC+∠ADC=180°.
又
∵ ∠ABC+∠EBC=180°,
∴ ∠EBC=∠ADC.
由(1)知∠CBD=∠BDC,
∴ BC=CD(等角对等边).
在△EBC 和△ADC 中,$\begin{cases} BE=DA, \\ ∠EBC=∠ADC, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴ △EBC≌△ADC(SAS).
∴ EC=AC,∠BCE=∠DCA.
∵ ∠ACE=∠ACB+∠BCE,∠BCD=∠ACB+∠DCA,
∴ ∠ACE=∠BCD.
又
∵ ∠BAC=∠BDC,∠BDC=∠CBD,
∴ ∠BAC=∠CBD,即∠EAC=∠CBD,
∴ △EAC∽△DBC,
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BD}$,
∴ $\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{BD}$,即$\frac{AC}{AB+AD}=\frac{BC}{BD}$.

接AO,CO并延长,分别与⊙O的切线相交于点B,点D,切点为E,CD与⊙O交于点F,连接AE,AF,AD⊥BD,垂足为点D,DE=3,DF=1.
(1)求证:AE平分∠BAD;
(2)设AB=kOB(k＞0),求k的值;
(3)求cos∠EAF的值.

备用图

2. (1) 如图①,连接 OE,由题意,得 BD 与⊙O 相切于点 E,
∴ OE⊥BD.又 AD⊥BD,
∴ OE//AD,
∴ ∠OEA=∠DAE.
∵ OA 和 OE 都是⊙O 的半径,
∴ OA = OE,
∴ ∠OEA = ∠OAE,
∴ ∠DAE=∠OAE,
∴ AE 平分∠BAD.
(2) 由(1)得 OE⊥BD,
∵ 点 F 在⊙O 上,
∴ OF=OE,
∴ OD=OF+DF=OE+1.在 Rt△OED 中,$OD^2=OE^2+DE^2$,即$(OE+1)^2=OE^2+3^2$,解得 OE=4,
∴ OA=4,
∴ AB=OB+OA=OB+4=kOB,
∴ $OB=\frac{4}{k-1}$.
∵ ∠B = ∠B, ∠OEB = ∠ADB = 90°,
∴ △OBE∽△ABD,
∴ $\frac{BE}{BD}=\frac{OB}{AB}$,即$\frac{BE}{BE+3}=\frac{1}{k}$,
∴ $BE=\frac{3}{k-1}$.在Rt△OBE 中,$OB^2=BE^2+OE^2$,即$(\frac{4}{k-1})^2 = (\frac{3}{k-1})^2 +4^2$,设$t=\frac{1}{k-1}$,则$(4t)^2=(3t)^2+4^2$,解得$t=\frac{4\sqrt{7}}{7}$(负值已舍去),
∴ $\frac{1}{k-1}=\frac{4\sqrt{7}}{7}$,
∴ $k=\frac{\sqrt{7}}{4}+1$.
(3) 由圆周角定理,得∠EOF=2∠EAF,如图②,过点 O 作 OM 平分∠EOF,交 DE 于点 M,连接 MF.
由(2)得 OE = OF,
∵ OM 平分∠EOF,
∴ ∠DOM = ∠EOM = $\frac{1}{2}$∠DOE = ∠EAF.又 OM=OM,
∴ △OEM≌△OFM(SAS),
∴ EM=FM,∠OFM=∠OEM=90°,
∴ DM=DE-EM=3-FM.在 Rt△DMF 中,$DM^2=DF^2+FM^2$,即$(3-FM)^2=1^2+FM^2$,解得$FM=\frac{4}{3}$,
∴ 在 Rt△OFM 中,$OM=\sqrt{OF^2+FM^2}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$,
∴ $\cos ∠DOM=\frac{OF}{OM}=\frac{4}{\frac{4\sqrt{10}}{3}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$,
∴ $\cos ∠EAF=\cos ∠DOM=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.