7. (2024·湖南)如图,在锐角三角形 ABC 中,AD 是边 BC 上的高,在 BA、BC 上分别截取线段 BE、BF,使 BE=BF;分别以点 E 和点 F 为圆心、大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,在∠ABC内部,两弧交于点 P,作射线 BP,交 AD 于点 M,过点 M 作 MN⊥AB 于点 N.若 MN=2,AD=4MD,则 AM=______.

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8. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是30 cm²，AB=8 cm，BC=7 cm，则DE=______cm.

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9. 如图，$AD// BC$，$∠ ABC$的平分线$BP$与$∠ BAD$的平分线$AP$相交于点$P$，过点$P$作$PE⊥ AB$于点$E$。若两平行线之间的距离为4，则$PE=$______。

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10. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$∠ C=90°$,$DE⊥ AB$于点$E$,点$F$在$AC$上,$BD=DF$.
(1)求证:$CF=EB$.
(2)若$AB=12$,$AF=8$,求$CF$的长.

（1）证明：$\because AD$平分$\angle BAC，$$\angle C = 90^{\circ}，$$DE\perp AB，$ $\therefore DE = DC.$
在$Rt\triangle FCD$和$Rt\triangle BED$中，$\begin{cases}DF = DB,\\DC = DE,\end{cases}$ $\therefore Rt\triangle FCD\cong Rt\triangle BED(HL)，$$\therefore CF = EB.$ （2）设$CF = x，$则$EB = x，$$AC = AF + CF = 8 + x，$$AE = AB - EB = 12 - x.$在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle AED$中，$\begin{cases}AD = AD,\\DC = DE,\end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle AED(HL)，$
$\therefore AC = AE，$即$8 + x = 12 - x，$ 移项可得$x+x=12 - 8，$ $2x = 4，$ 解得$x = 2，$$\therefore CF = 2.$

11. 如图,有两个长度相等的滑梯 BC 和 EF,左边滑梯 BC 的高 AC 与右边滑梯 EF 水平方向的长度 DF 相等,两滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什么关系?请说明理由.

解：$\angle ABC$与$\angle DFE$互余，理由如下：在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$中，$\begin{cases}BC = EF,\\AC = DF,\end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF(HL)，$
$\therefore \angle ABC = \angle DEF.$
又$\because \angle DEF+\angle DFE = 90^{\circ}，$
$\therefore \angle ABC+\angle DFE = 90^{\circ}，$即两滑梯的倾斜角$\angle ABC$与$\angle DFE$互余.