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7. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$D$ 为边 $BC$ 的中点，以点 $A$ 为圆心、$AD$ 为半径画弧，与边 $AC$ 交于点 $E$，则 $∠ ADE$ 的度数为 （ ）
A. $60°$
B. $105°$
C. $75°$
D. $15°$
A. $60°$
B. $105°$
C. $75°$
D. $15°$
答案
C
8. 若三角形三边长满足$(a - b)^2 + |a - c| = 0$，则$△ ABC$的形状是$\underline{\hspace{5cm}}$．
答案
等边三角形
9. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AC=9$,点 $O$ 在 $AC$ 上,且 $AO=3$,$P$ 是 $AB$ 上的一动点,连接 $OP$,将线段 $OP$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $60°$ 得到线段 $OD$.要使点 $D$ 恰好落在 $BC$ 上,则 $AP$ 的长为 ______.
答案
6
10. 如图，C 为线段 AE 上一点（不与点 A、E 重合），在 AE 同侧作等边三角形 ABC 和等边三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ.
(1) 求证：$AD=BE$.
(2) 求证：$△ APC≌△ BQC$.
(3) 求证：$△ PCQ$ 是等边三角形.
(1) 求证：$AD=BE$.
(2) 求证：$△ APC≌△ BQC$.
(3) 求证：$△ PCQ$ 是等边三角形.
答案
证明：
(1) 因为$\triangle ABC$和$\triangle CDE$是等边三角形，所以$AC = BC，$$CD = CE，$$\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}。$ 则$\angle ACB + \angle BCD=\angle DCE + \angle BCD，$即$\angle ACD=\angle BCE。$ 在$\triangle ADC$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACD=\angle BCE\\CD = CE\end{cases}，$ 所以$\triangle ADC\cong\triangle BEC(SAS)，$所以$AD = BE。$ (2) 由
(1)，得$\triangle ADC\cong\triangle BEC，$所以$\angle CAD=\angle CBE，$
即$\angle CAP=\angle CBQ。$ 因为$\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}，$
所以$\angle BCD = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle DCE = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}，$所以$\angle ACB=\angle BCD，$即$\angle ACP=\angle BCQ。$ 在$\triangle APC$和$\triangle BQC$中，$\begin{cases}\angle ACP=\angle BCQ\\AC = BC\\\angle CAP=\angle CBQ\end{cases}，$ 所以$\triangle APC\cong\triangle BQC(ASA)。$ (3) 由
(2)得，$\triangle APC\cong\triangle BQC，$所以$CP = CQ。$ 又因为$\angle PCQ = 60^{\circ}，$所以$\triangle PCQ$是等边三角形。
(1) 因为$\triangle ABC$和$\triangle CDE$是等边三角形，所以$AC = BC，$$CD = CE，$$\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}。$ 则$\angle ACB + \angle BCD=\angle DCE + \angle BCD，$即$\angle ACD=\angle BCE。$ 在$\triangle ADC$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACD=\angle BCE\\CD = CE\end{cases}，$ 所以$\triangle ADC\cong\triangle BEC(SAS)，$所以$AD = BE。$ (2) 由
(1)，得$\triangle ADC\cong\triangle BEC，$所以$\angle CAD=\angle CBE，$
即$\angle CAP=\angle CBQ。$ 因为$\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}，$
所以$\angle BCD = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle DCE = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}，$所以$\angle ACB=\angle BCD，$即$\angle ACP=\angle BCQ。$ 在$\triangle APC$和$\triangle BQC$中，$\begin{cases}\angle ACP=\angle BCQ\\AC = BC\\\angle CAP=\angle CBQ\end{cases}，$ 所以$\triangle APC\cong\triangle BQC(ASA)。$ (3) 由
(2)得，$\triangle APC\cong\triangle BQC，$所以$CP = CQ。$ 又因为$\angle PCQ = 60^{\circ}，$所以$\triangle PCQ$是等边三角形。
11. 如图，$△ ABC$ 为等边三角形，$BD$ 平分$∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$，$DE // BC$ 交 $AB$ 于点 $E$。
(1)求证：$△ ADE$ 是等边三角形。
(2)求证：$AE=\dfrac{1}{2}AB$。
(1)求证：$△ ADE$ 是等边三角形。
(2)求证：$AE=\dfrac{1}{2}AB$。
答案
证明：
(1) 因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$\angle A=\angle ABC=\angle C = 60^{\circ}。$ 因为$DE// BC，$
所以$\angle AED=\angle ABC = 60^{\circ}，$
$\angle ADE=\angle C = 60^{\circ}，$
所以$\triangle ADE$是等边三角形。 (2) 因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$AB = BC = AC。$ 因为$BD$平分$\angle ABC，$所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB。$ 由
(1)，得$\triangle ADE$是等边三角形，所以$AE = AD，$所以$AE=\frac{1}{2}AB。$
(1) 因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$\angle A=\angle ABC=\angle C = 60^{\circ}。$ 因为$DE// BC，$
所以$\angle AED=\angle ABC = 60^{\circ}，$
$\angle ADE=\angle C = 60^{\circ}，$
所以$\triangle ADE$是等边三角形。 (2) 因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$AB = BC = AC。$ 因为$BD$平分$\angle ABC，$所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB。$ 由
(1)，得$\triangle ADE$是等边三角形，所以$AE = AD，$所以$AE=\frac{1}{2}AB。$
