10. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=a(x+1)^2 - 3$与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左侧),与$y$轴交于点$C(0,-\dfrac{8}{3})$,顶点为$D$,对称轴与$x$轴交于点$H$.
(1)求$a$的值及点$A,B$的坐标;
(2)连接$AD,DC,CB$,求四边形$ABCD$的面积.

第10题图

解：​$(1)$​∵抛物线​$y = a(x + 1)^2 - 3$​与​$y$​轴交于点​$C(0，-\frac {8}{3})，$​ ∴​$a - 3 = -\frac {8}{3}，$​​$ a=3-\frac {8}{3}=\frac {1}{3}，$​ ∴​$y = \frac {1}{3}(x + 1)^2 - 3.$​​$ $​当​$y = 0$​时，有​$\frac {1}{3}(x + 1)^2 - 3 = 0，$​​$ (x + 1)^2 = 9，$​​$ x + 1=\pm 3，$​​$ $​解得​$x_{1} = 2，$​​$x_{2} = -4，$​ ∴​$A(-4，0)，$​​$B(2，0).$​​$ (2)$​根据题意，得​$D(-1，-3)，$​​$H(-1，0)，$​∵​$A(-4，0)，$​​$B(2，0)，$​​$C(0，-\frac {8}{3})，$​ ∴​$OA = 4，$​​$OB = 2，$​​$OC = \frac {8}{3}，$​​$OH = 1，$​​$DH = 3，$​ ∴​$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ADH}+S_{梯形OCDH}+S_{\triangle BOC}$​​$ =\frac {1}{2}×(4 - 1)×3+\frac {1}{2}×(\frac {8}{3}+3)×1+\frac {1}{2}×2×\frac {8}{3}$​​$ =\frac {9}{2}+\frac {1}{2}×(\frac {8 + 9}{3})+\frac {8}{3}$​​$ =\frac {9}{2}+\frac {17}{6}+\frac {8}{3}$​​$ =\frac {27 + 17+16}{6}$​​$ =10.$​

11.(2024·太仓期中)设二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2m)^2+1-m$.
(1)当$m=2$时,若点$A(6,n)$在该函数图像上,求$n$的值;
(2)该二次函数图像的顶点在某条______(A.直线;B.双曲线;C.抛物线)上,且表达式为______;
(3)已知点$P(a+1,c),Q(4m-7+a,c)$都在该二次函数的图像上,求证:$c≤ -\dfrac{7}{8}$.

A
; $y = -\frac{1}{2}x + 1$ ; 解​$：(1)$​当​$m=2$​时​$，y=−\frac {1}{2}(x−4)²−1， $​∵点​$A(6，n)$​在该函数图像上， ∴​$n=−\frac {1}{2}(6−4)²−1=−3.$​​$(3)$​∵点​$P(a + 1，c)，$​​$Q(4m - 7 + a，c)$​都在该二次函数图像上， ∴对称轴为直线​$x=\frac {a + 1+4m - 7 + a}{2}=a + 2m - 3，$​ ∴​$a + 2m - 3 = 2m，$​ ∴​$a = 3，$​∴​$P(4，c)，$​ ∴​$c = -\frac {1}{2}(4 - 2m)^2 + 1 - m$​​$ =-\frac {1}{2}(16 - 16m + 4\ \mathrm {m^2})+1 - m$​​$ =-8 + 8m - 2\ \mathrm {m^2}+1 - m$​​$ =-2\ \mathrm {m^2} + 7m - 7$​​$ =-2(\mathrm {m^2}-\frac {7}{2}m)-7$​​$ =-2(\mathrm {m^2}-\frac {7}{2}m+\frac {49}{16}-\frac {49}{16})-7$​​$ =-2((m - \frac {7}{4})^2-\frac {49}{16})-7$​​$ =-2(m - \frac {7}{4})^2+\frac {49}{8}-7$​​$ =-2(m - \frac {7}{4})^2-\frac {7}{8}，$​ ∴​$c\leqslant -\frac {7}{8}.$​