6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=2$,$BC=3$.
(1) 求$\sin A$和$\cos B$;
(2) 求$\cos A$和$\sin B$;
(3) 观察(1)(2)中的计算结果,你发现了什么?请说明理由.

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
(1) $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$
$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$
(2) $\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$
(3) 发现：$\sin A=\cos B$，$\cos A=\sin B$
理由：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A+∠ B=90°$，即$∠ B=90°-∠ A$，$∠ A=90°-∠ B$
根据锐角三角函数的定义，$\sin A=\frac{BC}{AB}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}$，故$\sin A=\cos B$；
同理，$\cos A=\frac{AC}{AB}$，$\sin B=\frac{AC}{AB}$，故$\cos A=\sin B$。

如图7-10,一块平行四边形木板ABCD的两条邻边的长分别为60 cm和30 cm,它们之间的夹角为36°.你能求出这块木板的面积吗?

图7-10

解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
在Rt△ADE中，∠A=36°，AD=30cm，
由正弦的定义得：$\sin36°=\frac{DE}{AD}$，
所以$DE=AD·\sin36°=30×\sin36°$。
平行四边形ABCD的面积$S=AB· DE$，
因为$AB=60\mathrm{cm}$，
所以$S=60×30×\sin36°=1800\sin36°\approx1800×0.5878\approx1058.04(\mathrm{cm}^2)$。
答：这块木板的面积约为$1058.04\mathrm{cm}^2$。

例1 已知:如图7-11,在Rt△ABC中,分别求sin A和cos A的值.
解 如图7-11①,在Rt△ABC中,AC=2,BC=3,
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$,$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.
如图7-11②,在Rt△ABC中,AC=4,

AB=5,
$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{25-16}=3$.
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$,$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$.
图7-11

解：
如图7-11①，在Rt△ABC中，AC=2，BC=3，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$；
如图7-11②，在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，
$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。

例2 如图7-12,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图.请你参考图中数据计算车位所占地面的宽度EF(结果精确到0.1 m).
解 在Rt△CDF中,

$\because CD=5.4$,$∠ DCF=40°$,
$\therefore DF=CD· \sin40°\approx 5.4× 0.64\approx 3.46$.
在Rt△ADE中,
$\because AD=2.2$,$∠ ADE=∠ DCF=40°$,
$\therefore DE=AD· \cos40°\approx 2.2× 0.77\approx 1.69$.
$\therefore EF=DF+DE\approx 5.15\approx 5.2$,
即车位所占地面的宽度EF约为5.2 m.
图7-12

解：
在Rt△CDF中，
∵ CD=5.4，∠DCF=40°，
∴ DF=CD·sin40°≈5.4×0.64≈3.46(m)。
在Rt△ADE中，
∵ AD=2.2，∠ADE=∠DCF=40°，
∴ DE=AD·cos40°≈2.2×0.77≈1.69(m)。
∴ EF=DF+DE≈3.46+1.69≈5.2(m)。
答：车位所占地面的宽度EF约为5.2 m。