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21. (8分)如图,在$△ ABC$中,D为BC上一点,$∠ 1= ∠ 2$,$∠ 3= ∠ 4$,$∠ BAC=120°$,求$∠ DAC$的度数。
答案
21.解:因为$∠ BAC=120°$,
所以$∠ 2+∠ 3=60°$。①
因为$∠ 1=∠ 2$,
所以$∠ 4=∠ 3=∠ 1+∠ 2=2∠ 2$。②
把②代入①,得$3∠ 2=60°$,
$∠ 2=20°$。
所以$∠ DAC=120°-20°=100°$。
所以$∠ 2+∠ 3=60°$。①
因为$∠ 1=∠ 2$,
所以$∠ 4=∠ 3=∠ 1+∠ 2=2∠ 2$。②
把②代入①,得$3∠ 2=60°$,
$∠ 2=20°$。
所以$∠ DAC=120°-20°=100°$。
解析
【分析】
要计算$∠ DAC$的度数，已知$∠ BAC=120°$，因此只需求出$∠ 1$（或$∠ 2$）的度数即可。首先利用三角形内角和定理，由$∠ BAC=120°$可推出$∠ 2+∠ 3=60°$；再根据三角形外角的性质，$∠ 4$是$△ ABD$的外角，可得$∠ 4=∠ 1+∠ 2$，结合已知$∠ 1=∠ 2$、$∠ 3=∠ 4$，能进一步推出$∠ 3=2∠ 2$；最后将$∠ 3=2∠ 2$代入$∠ 2+∠ 3=60°$，求出$∠ 2$的度数，进而计算$∠ DAC=∠ BAC-∠ 2$。
【解析】
解：因为$∠ BAC=120°$，根据三角形内角和为$180°$，所以$∠ 2+∠ 3=180°-∠ BAC=60°$。①
因为$∠ 1=∠ 2$，且$∠ 4$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角和，可得$∠ 4=∠ 1+∠ 2=2∠ 2$。
又因为$∠ 3=∠ 4$，所以$∠ 3=2∠ 2$。②
把②代入①，得$∠ 2+2∠ 2=60°$，即$3∠ 2=60°$，解得$∠ 2=20°$。
因为$∠ 1=∠ 2$，所以$∠ DAC=∠ BAC-∠ 1=120°-20°=100°$。
【答案】
$\boxed{∠ DAC=100°}$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形外角性质
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理与三角形外角性质的综合应用，解题关键是通过外角性质建立角之间的等量关系，将多个角转化为同一个角的倍数关系，再结合内角和定理列方程求解，培养了角的转化与方程思想。
【难度系数】
0.6
要计算$∠ DAC$的度数，已知$∠ BAC=120°$，因此只需求出$∠ 1$（或$∠ 2$）的度数即可。首先利用三角形内角和定理，由$∠ BAC=120°$可推出$∠ 2+∠ 3=60°$；再根据三角形外角的性质，$∠ 4$是$△ ABD$的外角，可得$∠ 4=∠ 1+∠ 2$，结合已知$∠ 1=∠ 2$、$∠ 3=∠ 4$，能进一步推出$∠ 3=2∠ 2$；最后将$∠ 3=2∠ 2$代入$∠ 2+∠ 3=60°$，求出$∠ 2$的度数，进而计算$∠ DAC=∠ BAC-∠ 2$。
【解析】
解：因为$∠ BAC=120°$，根据三角形内角和为$180°$，所以$∠ 2+∠ 3=180°-∠ BAC=60°$。①
因为$∠ 1=∠ 2$，且$∠ 4$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角和，可得$∠ 4=∠ 1+∠ 2=2∠ 2$。
又因为$∠ 3=∠ 4$，所以$∠ 3=2∠ 2$。②
把②代入①，得$∠ 2+2∠ 2=60°$，即$3∠ 2=60°$，解得$∠ 2=20°$。
因为$∠ 1=∠ 2$，所以$∠ DAC=∠ BAC-∠ 1=120°-20°=100°$。
【答案】
$\boxed{∠ DAC=100°}$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形外角性质
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理与三角形外角性质的综合应用，解题关键是通过外角性质建立角之间的等量关系，将多个角转化为同一个角的倍数关系，再结合内角和定理列方程求解，培养了角的转化与方程思想。
【难度系数】
0.6
22. (10分)通过学习,我们知道可以用图形的面积解释一些代数恒等式的正确性。图①是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后按照图②的方式拼成一个大正方形。
(1)图②中,大正方形ABCD的边长等于
(2)请利用(1)中的结论,解决下列问题:
①若$(a+b)^{2}=31$,$(a-b)^{2}=3$,求ab的值;
②若$(1-m)(2-m)=6$,求$(3-2m)^{2}$的值。
(1)图②中,大正方形ABCD的边长等于
$a+b$
,小正方形EFGH的边长等于$a-b$
,根据图②,可以用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式:$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$或者$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$
;(2)请利用(1)中的结论,解决下列问题:
①若$(a+b)^{2}=31$,$(a-b)^{2}=3$,求ab的值;
②若$(1-m)(2-m)=6$,求$(3-2m)^{2}$的值。
答案
22.解:(1)根据题意,得每个小长方形的长为$a$,宽为$b$,
故大正方形$ABCD$的边长等于$a+b$,小正方形$EFGH$
的边长等于$a-b$,根据拼图的几何意义,得,$(a-b)^{2}=$
$(a+b)^{2}-4ab$或者$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$,
故答案为:$a+b$,$a-b$,$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$或者
$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$。
(2)①由完全平方公式变形得$ab=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}$,
因为$(a+b)^{2}=31$,$(a-b)^{2}=3$,
所以$ab=\frac{31-3}{4}=7$。
②$a=1-m$,$b=2-m$,
则$a+b=3-2m$,$ab=6$,$a-b=-1$,
所以$(a+b)^{2}=(-1)^{2}+4× 6=25$,
所以$(3-2m)^{2}=25$。
故大正方形$ABCD$的边长等于$a+b$,小正方形$EFGH$
的边长等于$a-b$,根据拼图的几何意义,得,$(a-b)^{2}=$
$(a+b)^{2}-4ab$或者$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$,
故答案为:$a+b$,$a-b$,$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$或者
$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$。
(2)①由完全平方公式变形得$ab=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}$,
因为$(a+b)^{2}=31$,$(a-b)^{2}=3$,
所以$ab=\frac{31-3}{4}=7$。
②$a=1-m$,$b=2-m$,
则$a+b=3-2m$,$ab=6$,$a-b=-1$,
所以$(a+b)^{2}=(-1)^{2}+4× 6=25$,
所以$(3-2m)^{2}=25$。
解析
【分析】
1. 对于第(1)问：观察图1，长为$2a$、宽为$2b$的长方形被分成4个长为$a$、宽为$b$的小长方形，图2中拼成的大正方形$ABCD$的边长是小长方形的长与宽之和，即$a+b$；小正方形$EFGH$的边长是小长方形的长与宽之差，即$a-b$。从面积角度看，大正方形的面积可直接表示为$(a+b)^2$，也可表示为小正方形面积加上4个小长方形的面积，即$(a-b)^2+4ab$，由此可推导出代数恒等式。
2. 对于第(2)问：
① 利用第(1)问的恒等式变形得到$ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$，将已知的$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值代入即可求解$ab$。
② 通过换元，设$a=1-m$，$b=2-m$，则$a+b=3-2m$，先求出$a-b$和$ab$的值，再代入恒等式$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，即可求出$(3-2m)^2$的值。
【解析】
(1) 由图1可知，每个小长方形的长为$a$，宽为$b$，
因此大正方形$ABCD$的边长为$a+b$；
小正方形$EFGH$的边长为$a-b$。
大正方形的面积可表示为$(a+b)^2$，也可表示为小正方形面积加上4个小长方形的面积，即$(a-b)^2+4ab$，
故代数恒等式为：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$（或$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$）。
(2) ① 根据(1)的恒等式变形得：
$ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$
将$(a+b)^2=31$，$(a-b)^2=3$代入：
$ab=\frac{31-3}{4}=\frac{28}{4}=7$
② 设$a=1-m$，$b=2-m$，
则$a+b=(1-m)+(2-m)=3-2m$，$ab=(1-m)(2-m)=6$，$a-b=(1-m)-(2-m)=-1$。
代入恒等式$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$得：
$(a+b)^2=(-1)^2+4×6=1+24=25$
即$(3-2m)^2=25$
【答案】
(1) $a+b$；$a-b$；$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$（或$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$）
(2) ① $\boldsymbol{7}$；② $\boldsymbol{25}$
【知识点】
完全平方公式的变形；图形面积验证代数恒等式；换元思想
【点评】
本题借助几何图形的面积关系，直观验证了完全平方公式的变形，考查了完全平方公式的灵活应用与换元思想的运用，体现了数形结合的数学思想，帮助加深对代数恒等式的理解。
【难度系数】
0.6
1. 对于第(1)问：观察图1，长为$2a$、宽为$2b$的长方形被分成4个长为$a$、宽为$b$的小长方形，图2中拼成的大正方形$ABCD$的边长是小长方形的长与宽之和，即$a+b$；小正方形$EFGH$的边长是小长方形的长与宽之差，即$a-b$。从面积角度看，大正方形的面积可直接表示为$(a+b)^2$，也可表示为小正方形面积加上4个小长方形的面积，即$(a-b)^2+4ab$，由此可推导出代数恒等式。
2. 对于第(2)问：
① 利用第(1)问的恒等式变形得到$ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$，将已知的$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值代入即可求解$ab$。
② 通过换元，设$a=1-m$，$b=2-m$，则$a+b=3-2m$，先求出$a-b$和$ab$的值，再代入恒等式$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，即可求出$(3-2m)^2$的值。
【解析】
(1) 由图1可知，每个小长方形的长为$a$，宽为$b$，
因此大正方形$ABCD$的边长为$a+b$；
小正方形$EFGH$的边长为$a-b$。
大正方形的面积可表示为$(a+b)^2$，也可表示为小正方形面积加上4个小长方形的面积，即$(a-b)^2+4ab$，
故代数恒等式为：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$（或$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$）。
(2) ① 根据(1)的恒等式变形得：
$ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$
将$(a+b)^2=31$，$(a-b)^2=3$代入：
$ab=\frac{31-3}{4}=\frac{28}{4}=7$
② 设$a=1-m$，$b=2-m$，
则$a+b=(1-m)+(2-m)=3-2m$，$ab=(1-m)(2-m)=6$，$a-b=(1-m)-(2-m)=-1$。
代入恒等式$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$得：
$(a+b)^2=(-1)^2+4×6=1+24=25$
即$(3-2m)^2=25$
【答案】
(1) $a+b$；$a-b$；$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$（或$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$）
(2) ① $\boldsymbol{7}$；② $\boldsymbol{25}$
【知识点】
完全平方公式的变形；图形面积验证代数恒等式；换元思想
【点评】
本题借助几何图形的面积关系，直观验证了完全平方公式的变形，考查了完全平方公式的灵活应用与换元思想的运用，体现了数形结合的数学思想，帮助加深对代数恒等式的理解。
【难度系数】
0.6
23. (12分)随着"低碳生活,绿色出行"理念的普及,新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售,据了解:2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元;3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元。
(1)A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元?
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买),请你帮助该公司设计购买方案;
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8 000元,销售1辆B型汽车可获利6 000元,在(2)中的购买方案中,假如这些新能源汽车全部售出,哪种方案获利最大? 最大利润是多少元?
(1)A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元?
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买),请你帮助该公司设计购买方案;
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8 000元,销售1辆B型汽车可获利6 000元,在(2)中的购买方案中,假如这些新能源汽车全部售出,哪种方案获利最大? 最大利润是多少元?
答案
23.解:(1)A,B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元和
10万元;
(2)设购买A型号的汽车$m$辆,B型号的汽车$n$辆,
由题意可得$25m+10n=180$且$m＞0$,$n＞0$,
解得$\begin{cases} m=2, \\ n=13 \end{cases}$或$\begin{cases} m=4, \\ n=8 \end{cases}$或$\begin{cases} m=6, \\ n=3。 \end{cases}$
所以该公司共有三种购买方案,
方案一:购买2辆A型汽车,购买13辆B型汽车;
方案二:购买4辆A型汽车,购买8辆B型汽车;
方案三:购买6辆A型汽车,购买3辆B型汽车;
(3)当$m=2$,$n=13$时,获得的利润为$8000× 2+6000$
$× 13=94000$(元),
当$m=4$,$n=8$时,获得的利润为$8000× 4+6000× 8$
$=80000$(元),
当$m=6$,$n=3$时,获得的利润为$8000× 6+6000× 3$
$=66000$(元),
由上可得,最大利润为94000元,
所以购买2辆A型汽车,13辆B型汽车获利最大,最大
利润为94000元。
10万元;
(2)设购买A型号的汽车$m$辆,B型号的汽车$n$辆,
由题意可得$25m+10n=180$且$m＞0$,$n＞0$,
解得$\begin{cases} m=2, \\ n=13 \end{cases}$或$\begin{cases} m=4, \\ n=8 \end{cases}$或$\begin{cases} m=6, \\ n=3。 \end{cases}$
所以该公司共有三种购买方案,
方案一:购买2辆A型汽车,购买13辆B型汽车;
方案二:购买4辆A型汽车,购买8辆B型汽车;
方案三:购买6辆A型汽车,购买3辆B型汽车;
(3)当$m=2$,$n=13$时,获得的利润为$8000× 2+6000$
$× 13=94000$(元),
当$m=4$,$n=8$时,获得的利润为$8000× 4+6000× 8$
$=80000$(元),
当$m=6$,$n=3$时,获得的利润为$8000× 6+6000× 3$
$=66000$(元),
由上可得,最大利润为94000元,
所以购买2辆A型汽车,13辆B型汽车获利最大,最大
利润为94000元。
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知两种不同数量组合的A、B型汽车总进价，存在两个未知量，可通过设未知数建立二元一次方程组求解。先设A、B型汽车每辆进价分别为$x$万元、$y$万元，根据“2辆A型+3辆B型进价80万元”“3辆A型+2辆B型进价95万元”这两个等量关系列方程组，再解方程组得到进价。
2. 第(2)问：计划用180万元购进两种车型且均购买，设购买A型$m$辆、B型$n$辆，根据总进价列方程$25m+10n=180$，结合$m$、$n$为正整数的实际要求，化简方程后找出所有符合条件的正整数解，即可得到购买方案。
3. 第(3)问：根据每辆车的获利金额，分别计算每个方案的总利润（总利润=A型车总获利+B型车总获利），再比较利润大小，得出获利最大的方案及最大利润。
【解析】
(1) 设A型号汽车每辆进价为$x$万元，B型号汽车每辆进价为$y$万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 80 \\ 3x + 2y = 95\end{cases}$
将第一个方程乘3，第二个方程乘2，得：
$\begin{cases}6x + 9y = 240 \\ 6x + 4y = 190\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$x$：
$5y = 50$，解得$y = 10$
把$y = 10$代入$2x + 3y = 80$，得$2x + 3×10 = 80$，解得$x = 25$
即A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元和10万元。
(2) 设购买A型号汽车$m$辆，B型号汽车$n$辆（$m＞0$，$n＞0$且$m$、$n$为整数）。
根据题意列方程：$25m + 10n = 180$
化简得：$5m + 2n = 36$，变形为$n = \frac{36 - 5m}{2}$
因为$n$为正整数，所以$36 - 5m$需为正偶数：
当$m=2$时，$n = \frac{36 - 10}{2} = 13$；
当$m=4$时，$n = \frac{36 - 20}{2} = 8$；
当$m=6$时，$n = \frac{36 - 30}{2} = 3$；
当$m≥8$时，$5m≥40＞36$，不符合要求。
因此共有三种购买方案：
方案一：购买2辆A型汽车，13辆B型汽车；
方案二：购买4辆A型汽车，8辆B型汽车；
方案三：购买6辆A型汽车，3辆B型汽车。
(3) 计算各方案利润：
方案一：$8000×2 + 6000×13 = 16000 + 78000 = 94000$（元）
方案二：$8000×4 + 6000×8 = 32000 + 48000 = 80000$（元）
方案三：$8000×6 + 6000×3 = 48000 + 18000 = 66000$（元）
因为$94000 ＞ 80000 ＞ 66000$，所以方案一获利最大，最大利润为94000元。
【答案】
(1) A型号汽车每辆进价25万元，B型号汽车每辆进价10万元；
(2) 共有三种购买方案：方案一：购买2辆A型汽车，13辆B型汽车；方案二：购买4辆A型汽车，8辆B型汽车；方案三：购买6辆A型汽车，3辆B型汽车；
(3) 购买2辆A型汽车、13辆B型汽车获利最大，最大利润为94000元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的正整数解；利润问题
【点评】
本题考查方程（组）在实际销售场景中的应用，解题核心是根据题意准确建立等量关系，结合车辆数为正整数的实际条件求解，同时通过利润计算与比较，培养学生的数学应用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：已知两种不同数量组合的A、B型汽车总进价，存在两个未知量，可通过设未知数建立二元一次方程组求解。先设A、B型汽车每辆进价分别为$x$万元、$y$万元，根据“2辆A型+3辆B型进价80万元”“3辆A型+2辆B型进价95万元”这两个等量关系列方程组，再解方程组得到进价。
2. 第(2)问：计划用180万元购进两种车型且均购买，设购买A型$m$辆、B型$n$辆，根据总进价列方程$25m+10n=180$，结合$m$、$n$为正整数的实际要求，化简方程后找出所有符合条件的正整数解，即可得到购买方案。
3. 第(3)问：根据每辆车的获利金额，分别计算每个方案的总利润（总利润=A型车总获利+B型车总获利），再比较利润大小，得出获利最大的方案及最大利润。
【解析】
(1) 设A型号汽车每辆进价为$x$万元，B型号汽车每辆进价为$y$万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 80 \\ 3x + 2y = 95\end{cases}$
将第一个方程乘3，第二个方程乘2，得：
$\begin{cases}6x + 9y = 240 \\ 6x + 4y = 190\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$x$：
$5y = 50$，解得$y = 10$
把$y = 10$代入$2x + 3y = 80$，得$2x + 3×10 = 80$，解得$x = 25$
即A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元和10万元。
(2) 设购买A型号汽车$m$辆，B型号汽车$n$辆（$m＞0$，$n＞0$且$m$、$n$为整数）。
根据题意列方程：$25m + 10n = 180$
化简得：$5m + 2n = 36$，变形为$n = \frac{36 - 5m}{2}$
因为$n$为正整数，所以$36 - 5m$需为正偶数：
当$m=2$时，$n = \frac{36 - 10}{2} = 13$；
当$m=4$时，$n = \frac{36 - 20}{2} = 8$；
当$m=6$时，$n = \frac{36 - 30}{2} = 3$；
当$m≥8$时，$5m≥40＞36$，不符合要求。
因此共有三种购买方案：
方案一：购买2辆A型汽车，13辆B型汽车；
方案二：购买4辆A型汽车，8辆B型汽车；
方案三：购买6辆A型汽车，3辆B型汽车。
(3) 计算各方案利润：
方案一：$8000×2 + 6000×13 = 16000 + 78000 = 94000$（元）
方案二：$8000×4 + 6000×8 = 32000 + 48000 = 80000$（元）
方案三：$8000×6 + 6000×3 = 48000 + 18000 = 66000$（元）
因为$94000 ＞ 80000 ＞ 66000$，所以方案一获利最大，最大利润为94000元。
【答案】
(1) A型号汽车每辆进价25万元，B型号汽车每辆进价10万元；
(2) 共有三种购买方案：方案一：购买2辆A型汽车，13辆B型汽车；方案二：购买4辆A型汽车，8辆B型汽车；方案三：购买6辆A型汽车，3辆B型汽车；
(3) 购买2辆A型汽车、13辆B型汽车获利最大，最大利润为94000元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的正整数解；利润问题
【点评】
本题考查方程（组）在实际销售场景中的应用，解题核心是根据题意准确建立等量关系，结合车辆数为正整数的实际条件求解，同时通过利润计算与比较，培养学生的数学应用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
