7. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，点$A$在$x$轴负半轴，点$B$在$x$轴正半轴，与$y$轴交于点$C$，且$\tan∠ ACO=\frac{1}{2}$，$CO = BO$，$AB = 3$，则这条抛物线的函数解析式是.

7. $y = x ^ { 2 } - x - 2$

8. 抛物线$y = - x^{2}+bx + c$的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的$2$个正确结论：

.
（对称轴方程，图象与$x$正半轴、$y$轴交点坐标除外）

8. 关系式为$y = - x ^ { 2 } - 2 x + 3$。①开口方向向下为$0$；②图象经过$( - 3 , 0 )$（答案不唯一）。

9. 一条抛物线的对称轴是$x = 1$且与$x$轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是.(任写一个)

9. $y = - x ^ { 2 } + 2 x - 1$

10. 为了落实劳动教育，某校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量$y$千克与每平方米种植的株数$x$（$2≤ x≤8$，且$x$为整数）构成一种函数关系.每平方米种植$2$株时，平均单株产量为$4$千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加$1$株，单株产量减少$0.5$千克.
（1）求$y$关于$x$的函数表达式.
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？

10. （1）解：$\because$每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，$\therefore y = 4 - 0.5 ( x - 2 ) = - 0.5 x + 5$（$2 ≤ x ≤ 8$，且$x$为整数）；
（2）解：设每平方米小番茄产量为$W$千克，$W = x ( - 0.5 x + 5 ) = - 0.5 x ^ { 2 } + 5 x = - 0.5 ( x - 5 ) ^ { 2 } + 12.5$。$\therefore$当$x = 5$时，$W$有最大值12.5千克。答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克。

11. 如图，抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}+bx + c$经过$A(-\sqrt{3},0)$，$B(0,-3)$两点，此抛物线的对称轴为直线$l$，顶点为$C$，且$l$与直线$AB$交于点$D$.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）连接$BC$，求证：$BC = DC$.

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11. 解：（1）因为抛物线$y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + b x + c$经过$A ( - \sqrt { 3 } , 0 )$，$B ( 0 , - 3 )$两点，所以得$\begin{cases}\frac { 1 } { 3 } × ( - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } - \sqrt { 3 } b + c = 0 \\ c = - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - \frac { 2 } { 3 } \sqrt { 3 } \\ c = - 3\end{cases}$，所以此抛物线的解析式为$y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \sqrt { 3 } x - 3$。
（2）由（1）可知此抛物线的对称轴为$x = \sqrt { 3 }$，顶点$C$的坐标为$( \sqrt { 3 } , - 4 )$。
（3）证明：因为过$A$，$B$两点的直线解析式为$y = - \sqrt { 3 } x - 3$，所以当$x = \sqrt { 3 }$时，$y = - 6$，所以点$D$的纵坐标为-6，所以$CD = 2$。作$BE ⊥ l$于点$E$，则$BE = \sqrt { 3 }$，$CE = 1$，由勾股定理得$BC = 2$，所以$BC = DC$。