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11. 由下列条件解题:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1)已知$a=4,b=8$,求$c$;
(2)已知$b=10,∠ B=60°$,求$a、c$;
(3)已知$\sin A=\frac{2}{3},c=6$,求$a、b$.
(1)已知$a=4,b=8$,求$c$;
(2)已知$b=10,∠ B=60°$,求$a、c$;
(3)已知$\sin A=\frac{2}{3},c=6$,求$a、b$.
答案
(1) $c=4\sqrt{5}$
(2) $a=\frac{10\sqrt{3}}{3},c=\frac{20\sqrt{3}}{3}$
(3) $a=4,b=2\sqrt{5}$
(2) $a=\frac{10\sqrt{3}}{3},c=\frac{20\sqrt{3}}{3}$
(3) $a=4,b=2\sqrt{5}$
12. 如图，东、西两炮台A、B相距2000 m，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东$45°$的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.($\sqrt{2}≈1.414$，精确到1 m)
答案
$BC=2\ 000\ \mathrm{m},AC=2\ 828\ \mathrm{m}$
13. 在$△ ABC$中，已知$∠ C$为直角，$AC=6$，$∠ A$的平分线$AD=4\sqrt{3}$，解这个直角三角形。
答案
$∠BAC=60°,∠B=30°,AB=12,BC=6\sqrt{3}$
如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,AD 平分 $∠ BAC$,$DE ⊥ AB$,垂足为 E,$AE=16$, $\sin B=\frac{4}{5}$.
(1)求 BC 的长;
(2)求 $∠ ADE$ 的正切值.
(1)求 BC 的长;
(2)求 $∠ ADE$ 的正切值.
答案
13 （1）由$∠ACB=90°$，可知$AC⊥CD$.于是，由AD平分$∠BAC,DE⊥AB$，得$DC=DE$，即可证得$△ACD≌△AED$. $∴AC=AE=16$.在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，得$AB=20$，利用勾股定理，得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{20^2-16^2}=12$.
（2）$∵AB=20,AE=16,∴BE=4,DE⊥AB$，得$∠DEB=90°$，即得$∠DEB=∠ACB=90°$.
又$∵∠DBE=∠ABC,∴△DBE∽△ABC$.
$∴\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}$，即得$\frac{DE}{16}=\frac{4}{12}$，解得$DE=\frac{16}{3}$. $\mathrm{Rt}△ADE$中，$\tan∠ADE=\frac{AE}{DE}=\frac{16}{\frac{16}{3}}=3$.
（2）$∵AB=20,AE=16,∴BE=4,DE⊥AB$，得$∠DEB=90°$，即得$∠DEB=∠ACB=90°$.
又$∵∠DBE=∠ABC,∴△DBE∽△ABC$.
$∴\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}$，即得$\frac{DE}{16}=\frac{4}{12}$，解得$DE=\frac{16}{3}$. $\mathrm{Rt}△ADE$中，$\tan∠ADE=\frac{AE}{DE}=\frac{16}{\frac{16}{3}}=3$.
