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【例2】计算：
(1)$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})^2$；
(2)$(-3\dfrac{1}{3})^3÷(-1\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{5})$。
(1)$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})^2$；
(2)$(-3\dfrac{1}{3})^3÷(-1\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{5})$。
答案
(1) $-\frac{40}{9}$.
(2) $-\frac{80}{9}$.
(2) $-\frac{80}{9}$.
解析
【分析】
本题是有理数的乘方、乘除混合运算，解题思路遵循有理数混合运算规则：①先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序计算；②遇到带分数先化为假分数，除法运算统一转化为乘法运算；③先判断最终结果的符号，再计算绝对值的乘积，计算过程中注意约分可简化计算步骤。
【解析】
(1) 按运算顺序逐步计算：
① 先算乘方：$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$
② 将除法转化为乘法：原式$=3×(-\dfrac{5}{6})×\dfrac{16}{9}$
③ 判断符号：式子中共有1个负因数，结果为负
④ 约分计算数值：$-(3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{16}{9})=-(\dfrac{5}{2}×\dfrac{16}{9})=-\dfrac{40}{9}$
(2) 按运算顺序逐步计算：
① 带分数化假分数：$-3\dfrac{1}{3}=-\dfrac{10}{3}$，$-1\dfrac{2}{3}=-\dfrac{5}{3}$
② 先算乘方：$(-\dfrac{10}{3})^3=-\dfrac{1000}{27}$
③ 将除法转化为乘法：原式$=(-\dfrac{1000}{27})×(-\dfrac{3}{5})×(-\dfrac{2}{5})$
④ 判断符号：式子中共有3个负因数，结果为负
⑤ 约分计算数值：$-(\dfrac{1000}{27}×\dfrac{3}{5}×\dfrac{2}{5})=-(\dfrac{200}{9}×\dfrac{2}{5})=-\dfrac{80}{9}$
【答案】
(1) $-\dfrac{40}{9}$
(2) $-\dfrac{80}{9}$
【知识点】
有理数混合运算顺序，有理数乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题核心考察有理数混合运算的规则应用，易错点为运算顺序错误、符号判断失误、带分数转化出错，计算时先理清运算顺序，优先判断符号，适时约分可有效降低出错率。
【难度系数】
0.65
本题是有理数的乘方、乘除混合运算，解题思路遵循有理数混合运算规则：①先算乘方，再算乘除，同级运算按照从左到右的顺序计算；②遇到带分数先化为假分数，除法运算统一转化为乘法运算；③先判断最终结果的符号，再计算绝对值的乘积，计算过程中注意约分可简化计算步骤。
【解析】
(1) 按运算顺序逐步计算：
① 先算乘方：$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$
② 将除法转化为乘法：原式$=3×(-\dfrac{5}{6})×\dfrac{16}{9}$
③ 判断符号：式子中共有1个负因数，结果为负
④ 约分计算数值：$-(3×\dfrac{5}{6}×\dfrac{16}{9})=-(\dfrac{5}{2}×\dfrac{16}{9})=-\dfrac{40}{9}$
(2) 按运算顺序逐步计算：
① 带分数化假分数：$-3\dfrac{1}{3}=-\dfrac{10}{3}$，$-1\dfrac{2}{3}=-\dfrac{5}{3}$
② 先算乘方：$(-\dfrac{10}{3})^3=-\dfrac{1000}{27}$
③ 将除法转化为乘法：原式$=(-\dfrac{1000}{27})×(-\dfrac{3}{5})×(-\dfrac{2}{5})$
④ 判断符号：式子中共有3个负因数，结果为负
⑤ 约分计算数值：$-(\dfrac{1000}{27}×\dfrac{3}{5}×\dfrac{2}{5})=-(\dfrac{200}{9}×\dfrac{2}{5})=-\dfrac{80}{9}$
【答案】
(1) $-\dfrac{40}{9}$
(2) $-\dfrac{80}{9}$
【知识点】
有理数混合运算顺序，有理数乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题核心考察有理数混合运算的规则应用，易错点为运算顺序错误、符号判断失误、带分数转化出错，计算时先理清运算顺序，优先判断符号，适时约分可有效降低出错率。
【难度系数】
0.65
【例3】已知$(a+1)^2$与$|b-2|$互为相反数，求$(a+b)^{2024}+a^{2025}$的值。
答案
0.
解析
【分析】
解题时首先根据相反数的性质：互为相反数的两个数和为0，列出等式；再结合平方和绝对值的非负性（即二者的取值都大于等于0），可推出两个非负数只能同时为0，进而求出a、b的取值；最后将a、b代入所求代数式，根据乘方的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $(a+1)^2$与$|b-2|$互为相反数
∴ $(a+1)^2 + |b-2| = 0$
又
∵ $(a+1)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$
∴ 只有$(a+1)^2 = 0$且$|b-2| = 0$时，等式成立
即 $a+1=0$，$b-2=0$
解得 $a=-1$，$b=2$
将$a=-1$、$b=2$代入代数式得：
$\begin{aligned}(a+b)^{2024}+a^{2025}&=(-1+2)^{2024}+(-1)^{2025}\\&=1^{2024}-1\\&=1-1\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质、非负数的性质、有理数的乘方
【点评】
本题是代数基础计算的常考题型，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的规律，同时要熟练区分有理数乘方中奇偶次幂的符号差异，避免计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据相反数的性质：互为相反数的两个数和为0，列出等式；再结合平方和绝对值的非负性（即二者的取值都大于等于0），可推出两个非负数只能同时为0，进而求出a、b的取值；最后将a、b代入所求代数式，根据乘方的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $(a+1)^2$与$|b-2|$互为相反数
∴ $(a+1)^2 + |b-2| = 0$
又
∵ $(a+1)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$
∴ 只有$(a+1)^2 = 0$且$|b-2| = 0$时，等式成立
即 $a+1=0$，$b-2=0$
解得 $a=-1$，$b=2$
将$a=-1$、$b=2$代入代数式得：
$\begin{aligned}(a+b)^{2024}+a^{2025}&=(-1+2)^{2024}+(-1)^{2025}\\&=1^{2024}-1\\&=1-1\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质、非负数的性质、有理数的乘方
【点评】
本题是代数基础计算的常考题型，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的规律，同时要熟练区分有理数乘方中奇偶次幂的符号差异，避免计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
【例4】计算：
(1)$-3^3 × (-\frac{1}{3})^2 -24×(\frac{3}{4}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8});$
(2)$-1^{100}-\frac{3}{4}÷[(-2)^2×(-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{2}].$
(1)$-3^3 × (-\frac{1}{3})^2 -24×(\frac{3}{4}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8});$
(2)$-1^{100}-\frac{3}{4}÷[(-2)^2×(-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{2}].$
答案
(1) -26.
(2) 2.
(2) 2.
解析
【分析】
这两道题属于有理数混合运算，解题遵循有理数运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算。第(1)题后半部分是整数乘分数的和差形式，可运用乘法分配律简化计算，避免通分的繁琐，同时要注意乘方的符号：$-3^3$表示$3^3$的相反数，结果为-27；$(-\frac{1}{3})^2$是平方运算，结果为正。第(2)题先计算中括号内的乘方，再算乘法、减法，最后算括号外的除法和减法，注意区分$-1^{100}$（结果为-1）和$(-1)^{100}$（结果为1）的符号差异。
【解析】
(1) 先算乘方，再运用乘法分配律计算，最后算加减：
$\begin{aligned}原式&=-27×\frac{1}{9} - (24×\frac{3}{4} - 24×\frac{1}{6} + 24×\frac{3}{8})\\&=-3 - (18 - 4 + 9)\\&=-3 - 23\\&=-26\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再算中括号内的运算，接着算除法，最后算减法：
$\begin{aligned}原式&=-1 - \frac{3}{4}÷[4×\frac{1}{16} - \frac{1}{2}]\\&=-1 - \frac{3}{4}÷(\frac{1}{4} - \frac{1}{2})\\&=-1 - \frac{3}{4}÷(-\frac{1}{4})\\&=-1 - (-3)\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-26}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、乘方运算
【点评】
本题重点考查有理数运算的规则和运算技巧，解题时要注意乘方的符号判断，合理运用乘法分配律可以简化计算过程，降低出错概率，运算中要尤其注意符号的变化。
【难度系数】
0.7
这两道题属于有理数混合运算，解题遵循有理数运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算。第(1)题后半部分是整数乘分数的和差形式，可运用乘法分配律简化计算，避免通分的繁琐，同时要注意乘方的符号：$-3^3$表示$3^3$的相反数，结果为-27；$(-\frac{1}{3})^2$是平方运算，结果为正。第(2)题先计算中括号内的乘方，再算乘法、减法，最后算括号外的除法和减法，注意区分$-1^{100}$（结果为-1）和$(-1)^{100}$（结果为1）的符号差异。
【解析】
(1) 先算乘方，再运用乘法分配律计算，最后算加减：
$\begin{aligned}原式&=-27×\frac{1}{9} - (24×\frac{3}{4} - 24×\frac{1}{6} + 24×\frac{3}{8})\\&=-3 - (18 - 4 + 9)\\&=-3 - 23\\&=-26\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再算中括号内的运算，接着算除法，最后算减法：
$\begin{aligned}原式&=-1 - \frac{3}{4}÷[4×\frac{1}{16} - \frac{1}{2}]\\&=-1 - \frac{3}{4}÷(\frac{1}{4} - \frac{1}{2})\\&=-1 - \frac{3}{4}÷(-\frac{1}{4})\\&=-1 - (-3)\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-26}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、乘方运算
【点评】
本题重点考查有理数运算的规则和运算技巧，解题时要注意乘方的符号判断，合理运用乘法分配律可以简化计算过程，降低出错概率，运算中要尤其注意符号的变化。
【难度系数】
0.7
【例】计算：
(1)$(-7.3)-(-6\dfrac{5}{6})+\left|-3.3\right|+1\dfrac{1}{6}$；
(2)$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})$。
(1)$(-7.3)-(-6\dfrac{5}{6})+\left|-3.3\right|+1\dfrac{1}{6}$；
(2)$3×(-\dfrac{5}{6})÷(-\dfrac{3}{4})$。
答案
(1) 4
(2) $\dfrac{10}{3}$
(2) $\dfrac{10}{3}$
解析
【分析】
对于第(1)题，属于有理数加减混合运算：第一步先按规则化简，根据减法法则把减法转化为加法，同时计算绝对值；第二步观察数的特征，发现小数部分可凑整、分数部分为同分母，可利用加法交换律和结合律分组计算，简化运算过程，避免通分的麻烦。
对于第(2)题，属于有理数乘除混合运算：乘除是同级运算，先根据除法法则把除法转化为乘法，先判断最终结果的符号（负因数个数为偶数时结果为正），再对数字部分约分计算，减少计算量。
【解析】
(1) 化简原式后分组计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-7.3 + 6\frac{5}{6} + 3.3 + 1\frac{1}{6}\\&=(-7.3 + 3.3) + (6\frac{5}{6} + 1\frac{1}{6})\\&=-4 + 8\\&=4\end{aligned}$
(2) 将除法转化为乘法后约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×(-\frac{5}{6})×(-\frac{4}{3})\\&=3×\frac{5}{6}×\frac{4}{3}\\&=\frac{10}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{\dfrac{10}{3}}$
【知识点】
有理数加减运算、有理数乘除运算、简便运算
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，核心考察运算符号的处理、运算规则的掌握以及运算律的灵活运用，运算时优先观察数据特征选择简便方法，同时注意符号判断，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
对于第(1)题，属于有理数加减混合运算：第一步先按规则化简，根据减法法则把减法转化为加法，同时计算绝对值；第二步观察数的特征，发现小数部分可凑整、分数部分为同分母，可利用加法交换律和结合律分组计算，简化运算过程，避免通分的麻烦。
对于第(2)题，属于有理数乘除混合运算：乘除是同级运算，先根据除法法则把除法转化为乘法，先判断最终结果的符号（负因数个数为偶数时结果为正），再对数字部分约分计算，减少计算量。
【解析】
(1) 化简原式后分组计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-7.3 + 6\frac{5}{6} + 3.3 + 1\frac{1}{6}\\&=(-7.3 + 3.3) + (6\frac{5}{6} + 1\frac{1}{6})\\&=-4 + 8\\&=4\end{aligned}$
(2) 将除法转化为乘法后约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×(-\frac{5}{6})×(-\frac{4}{3})\\&=3×\frac{5}{6}×\frac{4}{3}\\&=\frac{10}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{\dfrac{10}{3}}$
【知识点】
有理数加减运算、有理数乘除运算、简便运算
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，核心考察运算符号的处理、运算规则的掌握以及运算律的灵活运用，运算时优先观察数据特征选择简便方法，同时注意符号判断，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
