学习任务 去括号
从同质到异质
|情境创设|
已知两个代数式：
(1)$8×(2.5 - 0.125)$；
(2)$(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4})×(-12)$。
问题1:请利用分配律计算这两个式子。
|情境创设|
已知两个代数式：
(1)$8(a - b)$； (2)$-2(a - b)$。
问题2:这两个代数式可以看作和分别乘$(a - b)$，请类比问题1的解法去掉两个代数式中的括号。
问题3:问题2中去括号的依据是什么？
问题4:通过问题2中的计算，请你尝试写一写一个多项式与一个有理数相乘去括号时，有什么符号规律？
|探究归纳|
去括号法则
一般地，一个数与一个多项式，需要去括号，去括号就是用括号外的数括号内的每一项，再把所得的积。

1. (1) $8×(2.5-0.125)=8×2.5-8×0.125=20-1=19.$
(2) $(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})×(-12)=\dfrac{1}{2}×(-12)-\dfrac{1}{3}×(-12)-\dfrac{1}{4}×(-12)=-6+4+3=1.$
2. 8 -2
(1) $8(a - b)=8a - 8b.$
(2) $-2(a - b)=-2a + 2b.$
3. 分配律.
4. 当多项式与一个正数相乘时,去掉括号后,多项式的每一项都不改变符号;当多项式与一个负数相乘时,去掉括号后,多项式的每一项都要改变符号.
探究归纳
相乘 乘 相加

【分析】
这道题以有理数乘法分配律为切入点，逐步引导推导整式去括号法则，解题思路清晰：1. 处理问题1时，直接运用乘法分配律，将括号外的因数分别乘括号内的每一项，再按有理数运算规则计算结果，注意符号处理；2. 问题2类比问题1的解法，先确定括号外的因数分别是8和-2，再用这两个数分别乘括号内的两项，合并所得的积即可完成去括号；3. 问题3的依据就是全程用到的乘法分配律；4. 问题4对比两个去括号的结果，观察括号外因数的正负和括号内各项符号变化的对应关系，总结规律即可；最后根据推导过程补全去括号法则的空缺内容。
【解析】
问题1解答
(1) 计算$8×(2.5 - 0.125)$：
根据乘法分配律展开：
$8×(2.5 - 0.125)=8×2.5 - 8×0.125$
分别计算乘积后加减：
$=20 - 1=19$
(2) 计算$(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4})×(-12)$：
根据乘法分配律展开：
$(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4})×(-12)=\dfrac{1}{2}×(-12) - \dfrac{1}{3}×(-12) - \dfrac{1}{4}×(-12)$
分别计算乘积后加减，注意负负得正：
$=-6 + 4 + 3=1$
问题2解答
两个代数式可以看作$\boldsymbol{8}$和$\boldsymbol{-2}$分别乘$(a - b)$，类比分配律去括号：
(1) $8(a - b)=8×a - 8×b=8a - 8b$
(2) $-2(a - b)=-2×a - (-2)×b=-2a + 2b$
问题3解答
去括号的依据是乘法分配律。
问题4解答
对比去括号的结果可总结符号规律：当多项式与一个正数相乘时，去掉括号后，多项式的每一项都不改变符号；当多项式与一个负数相乘时，去掉括号后，多项式的每一项都要改变符号。
探究归纳解答
去括号法则：一般地，一个数与一个多项式$\boldsymbol{相乘}$，需要去括号，去括号就是用括号外的数$\boldsymbol{乘}$括号内的每一项，再把所得的积$\boldsymbol{相加}$。
【答案】
1. (1) $\boxed{19}$；(2) $\boxed{1}$
2. 依次填$\boxed{8}$、$\boxed{-2}$；(1) $\boxed{8a - 8b}$；(2) $\boxed{-2a + 2b}$
3. $\boxed{分配律}$
4. 当多项式与一个正数相乘时,去掉括号后,多项式的每一项都不改变符号;当多项式与一个负数相乘时,去掉括号后,多项式的每一项都要改变符号。
探究归纳：依次填$\boxed{相乘}$、$\boxed{乘}$、$\boxed{相加}$
【知识点】
乘法分配律，去括号法则，有理数混合运算
【点评】
本题从具体的有理数运算入手，通过类比的方法推导出去括号法则，凸显了去括号的本质是乘法分配律的应用，有助于理解规则的由来，解题时要格外注意括号外为负数时，括号内每一项都要变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

【例1】化简:(1)2(3x−y)+2(x−3y)−3(2x−y);
$(2)3x^2y−[6xy−2(4xy−2)−x^2y]+1.$

1. 解：原式=6x−2y+2x−6y−6x+3y=2x−5y
2. 解：原式=3x²y−(6xy−8xy+4−x²y)+1=3x²y+2xy−4+x²y+1=4x²y+2xy−3

【分析】
这两道题都属于整式的加减化简题，解题核心步骤是去括号、合并同类项。思考路径如下：①首先明确去括号规则：若括号前有系数，需根据乘法分配律将系数乘遍括号内每一项，避免漏乘；若括号前是负号，去括号后括号内所有项都要变号。②对于有多层括号的第(2)题，按照从内到外的顺序，先去小括号，再去中括号。③去完所有括号后，识别同类项（所含字母相同、相同字母的指数也相同的项），将同类项的系数相加，字母和字母指数不变，完成合并即可得到化简结果。
【解析】
(1) 先利用乘法分配律去括号：
原式$=6x - 2y + 2x - 6y - 6x + 3y$
再合并同类项：
$=(6x+2x-6x)+(-2y-6y+3y)$
$=2x - 5y$
(2) 先去小括号，再去中括号：
原式$=3x^2y - (6xy - 8xy + 4 - x^2y) + 1$
$=3x^2y - 6xy + 8xy - 4 + x^2y + 1$
再合并同类项：
$=(3x^2y + x^2y) + (-6xy + 8xy) + (-4 + 1)$
$=4x^2y + 2xy - 3$
【答案】
(1) $\boxed{2x-5y}$；(2) $\boxed{4x^2y+2xy-3}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的常规基础题型，易错点在于去括号时漏乘括号内的项、括号前为负号时部分项未变号，计算时只要严格遵循运算规则，逐次检查符号和乘法运算，就能有效提升正确率。
【难度系数】
0.75

|思路分析|
思考1:多项式中含有括号时,要先去掉,
再.
思考2:算式中含有中括号时,可以从里到外,
先去,再去.也可以从外到
里,先去,再去.
解:

思考1:括号 合并同类项
思考2:小括号 中括号 中括号 小括号
(1) 2x−5y.
(2) 4x²y+2xy−3.

【分析】
解决整式加减类问题时，首先回忆运算规则：当多项式中含有括号时，第一步要先处理括号，去括号时要注意符号变化和系数分配，之后再将同类项进行合并。如果算式中有多层括号（中括号和小括号），有两种去括号的顺序可以选择：一是从内向外，先去掉最内层的小括号，再去掉外层的中括号；二是从外向内，先把小括号当成整体去掉中括号，再去掉小括号，可根据算式特点选择更简便的顺序，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
思考1：根据整式加减的运算顺序，多项式中含有括号时，要先去掉括号，去括号时需注意：括号前为正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号，去括号后括号内各项均变号；括号前有系数时，系数要乘遍括号内每一项，再合并同类项。
思考2：算式含有中括号时，从里到外的去括号顺序为先去小括号，再去中括号；从外到里的去括号顺序为先去中括号，再去小括号，两种顺序均可灵活选用。
按照“去括号→合并同类项”的步骤计算后，可得对应化简结果。
【答案】
思考1:括号 合并同类项
思考2:小括号 中括号 中括号 小括号
(1) 2x−5y.
(2) 4x²y+2xy−3.
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察去括号的顺序、符号规则及合并同类项的方法，熟练掌握这些基础技能，能有效提升后续复杂整式运算的正确率和效率。
【难度系数】
0.8