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1.边长为2的等边三角形的面积为
$\sqrt{3}$
答案
1.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算边长为2的等边三角形的面积，首先回忆三角形面积公式为“面积=1/2×底×高”，已知等边三角形边长为2，可直接将边长作为底，接下来只需求出对应底边上的高即可。等边三角形具有三线合一的性质，底边上的高同时是底边的中线，因此高会将底边分为长度为1的两段，再结合勾股定理就能求出高的长度，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
设该等边三角形的边长为a=2：
1. 过三角形的一个顶点作对边的高h，根据等边三角形三线合一的性质，高将对边平分为两段，每段长度为$\frac{a}{2}=1$；
2. 在高、边长的一半、边长组成的直角三角形中，由勾股定理可得：$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$；
3. 代入三角形面积公式计算：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；三角形面积公式
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等边三角形三线合一的性质建立高和边长的关系，结合勾股定理求出高后的数据计算难度很低，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要计算边长为2的等边三角形的面积，首先回忆三角形面积公式为“面积=1/2×底×高”，已知等边三角形边长为2，可直接将边长作为底，接下来只需求出对应底边上的高即可。等边三角形具有三线合一的性质，底边上的高同时是底边的中线，因此高会将底边分为长度为1的两段，再结合勾股定理就能求出高的长度，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
设该等边三角形的边长为a=2：
1. 过三角形的一个顶点作对边的高h，根据等边三角形三线合一的性质，高将对边平分为两段，每段长度为$\frac{a}{2}=1$；
2. 在高、边长的一半、边长组成的直角三角形中，由勾股定理可得：$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$；
3. 代入三角形面积公式计算：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；三角形面积公式
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等边三角形三线合一的性质建立高和边长的关系，结合勾股定理求出高后的数据计算难度很低，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若AB=6cm，则阴影部分的面积是
4.5
cm².答案
2.4.5
解析
【分析】
解题时先结合三角尺的特殊角度特征思考：首先，含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半，可先据此求出直角边AC的长度；再根据等腰直角三角尺的45°锐角，判断出阴影部分是等腰直角三角形，两条直角边长度等于AC的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，AB=6cm，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6 = 3cm，
又
∵ 等腰直角三角尺的锐角为45°，可得阴影部分为等腰直角三角形，两条直角边长均等于AC的长度，
∴ 阴影部分的面积S = $\frac{1}{2}$×AC×AC = $\frac{1}{2}$×3×3 = 4.5（cm²）。
【答案】
4.5
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查特殊直角三角形的性质应用，解题的关键是准确识别三角尺的固定角度，判断出阴影部分的形状，属于基础题型，计算量较小。
【难度系数】
0.7
解题时先结合三角尺的特殊角度特征思考：首先，含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半，可先据此求出直角边AC的长度；再根据等腰直角三角尺的45°锐角，判断出阴影部分是等腰直角三角形，两条直角边长度等于AC的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，AB=6cm，
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6 = 3cm，
又
∵ 等腰直角三角尺的锐角为45°，可得阴影部分为等腰直角三角形，两条直角边长均等于AC的长度，
∴ 阴影部分的面积S = $\frac{1}{2}$×AC×AC = $\frac{1}{2}$×3×3 = 4.5（cm²）。
【答案】
4.5
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查特殊直角三角形的性质应用，解题的关键是准确识别三角尺的固定角度，判断出阴影部分的形状，属于基础题型，计算量较小。
【难度系数】
0.7
3.直角三角形一条直角边长为12，周长为30，则斜边上的中线长为
6.5
。C E D B 45° （第2题）答案
3.6.5
解析
【分析】要计算直角三角形斜边上的中线长，根据直角三角形的性质可知斜边上的中线等于斜边的一半，因此只需先求出斜边的长度即可。已知一条直角边长和周长，可先得到另一条直角边与斜边的和，再结合勾股定理，利用平方差公式求出斜边与另一条直角边的差，联立即可解出斜边长度，最终得到中线长。
【解析】设该直角三角形的斜边长为$ c $，另一条直角边长为$ b $。
由题意得：$ 12 + b + c = 30 $，整理得$ b + c = 18 $ ①
根据勾股定理可得：$ 12^2 + b^2 = c^2 $，移项得$ c^2 - b^2 = 144 $
利用平方差公式因式分解得：$ (c - b)(c + b) = 144 $
将①代入得：$ 18(c - b) = 144 $，解得$ c - b = 8 $ ②
联立①②，两式相加得$ 2c = 26 $，解得$ c = 13 $
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长为$ \frac{1}{2} × 13 = 6.5 $
【答案】6.5
【知识点】直角三角形斜边中线性质；勾股定理
【点评】本题将直角三角形性质与勾股定理结合考查，解题的核心是将求中线长转化为求斜边长，通过方程思想即可快速求解，属于基础类综合题。
【难度系数】0.7
【解析】设该直角三角形的斜边长为$ c $，另一条直角边长为$ b $。
由题意得：$ 12 + b + c = 30 $，整理得$ b + c = 18 $ ①
根据勾股定理可得：$ 12^2 + b^2 = c^2 $，移项得$ c^2 - b^2 = 144 $
利用平方差公式因式分解得：$ (c - b)(c + b) = 144 $
将①代入得：$ 18(c - b) = 144 $，解得$ c - b = 8 $ ②
联立①②，两式相加得$ 2c = 26 $，解得$ c = 13 $
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长为$ \frac{1}{2} × 13 = 6.5 $
【答案】6.5
【知识点】直角三角形斜边中线性质；勾股定理
【点评】本题将直角三角形性质与勾股定理结合考查，解题的核心是将求中线长转化为求斜边长，通过方程思想即可快速求解，属于基础类综合题。
【难度系数】0.7
4.在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B = ∠ C$，且$AC = \frac{1}{2}AB$，则$∠ A =$
$60°$
。答案
4.$60°$
解析
【分析】
解题时先从三角形内角和为180°的性质入手，结合题目给出的∠A+∠B=∠C的关系，先求出∠C的度数，确定△ABC是直角三角形；再根据直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用，结合AC=1/2AB的条件，求出∠B的度数，最后利用内角和即可算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），
又
∵ ∠A+∠B=∠C，
∴ 代入得：∠C + ∠C = 180°，即2∠C=180°，
解得 ∠C=90°，即△ABC是直角三角形，AB为斜边。
∵ AC = $\frac{1}{2}$AB，且AC是∠B所对的直角边，
根据直角三角形的性质：若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°，
∴ ∠B=30°，
∴ ∠A=180° - ∠C - ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，重点考查三角形内角和与直角三角形特殊边角关系的应用，解题的关键是先判定三角形为直角三角形，再准确对应边和角的关系求解，熟练掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.7
解题时先从三角形内角和为180°的性质入手，结合题目给出的∠A+∠B=∠C的关系，先求出∠C的度数，确定△ABC是直角三角形；再根据直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用，结合AC=1/2AB的条件，求出∠B的度数，最后利用内角和即可算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），
又
∵ ∠A+∠B=∠C，
∴ 代入得：∠C + ∠C = 180°，即2∠C=180°，
解得 ∠C=90°，即△ABC是直角三角形，AB为斜边。
∵ AC = $\frac{1}{2}$AB，且AC是∠B所对的直角边，
根据直角三角形的性质：若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°，
∴ ∠B=30°，
∴ ∠A=180° - ∠C - ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，重点考查三角形内角和与直角三角形特殊边角关系的应用，解题的关键是先判定三角形为直角三角形，再准确对应边和角的关系求解，熟练掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.7
5.已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且满足$(a-b)^2 + |c^2 - a^2 - b^2| = 0$，则下列对$△ ABC$的形状的判断准确的为（
A.直角三角形但非等腰三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
C
）A.直角三角形但非等腰三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此我们可以将已知等式拆分成两个独立的等式，分别分析两个等式对应三角形的边长特征：第一个等式可得到两条边相等，对应等腰三角形的特征；第二个等式可得到三边满足勾股定理的逆定理的形式，对应直角三角形的特征，两个特征同时满足即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ 平方和绝对值都具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$|c^2 - a^2 - b^2|≥0$，且两者相加等于0
∴ 根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}(a-b)^2=0 \\ |c^2 - a^2 - b^2|=0\end{cases}$
由$(a-b)^2=0$解得：$a=b$，说明$△ ABC$有两条边相等，是等腰三角形；
由$|c^2 - a^2 - b^2|=0$解得：$c^2=a^2 + b^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
综上，$△ ABC$同时满足等腰、直角两个条件，因此是等腰直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形判定
【点评】
本题易错点是误将两个条件的关系判断为“或”从而错选B，解题时要注意多个非负数和为0时，每个非负数都为0，所有对应的特征要同时满足，需要熟练掌握平方、绝对值的非负性，以及勾股定理逆定理的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此我们可以将已知等式拆分成两个独立的等式，分别分析两个等式对应三角形的边长特征：第一个等式可得到两条边相等，对应等腰三角形的特征；第二个等式可得到三边满足勾股定理的逆定理的形式，对应直角三角形的特征，两个特征同时满足即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ 平方和绝对值都具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$|c^2 - a^2 - b^2|≥0$，且两者相加等于0
∴ 根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}(a-b)^2=0 \\ |c^2 - a^2 - b^2|=0\end{cases}$
由$(a-b)^2=0$解得：$a=b$，说明$△ ABC$有两条边相等，是等腰三角形；
由$|c^2 - a^2 - b^2|=0$解得：$c^2=a^2 + b^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C=90°$。
综上，$△ ABC$同时满足等腰、直角两个条件，因此是等腰直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形判定
【点评】
本题易错点是误将两个条件的关系判断为“或”从而错选B，解题时要注意多个非负数和为0时，每个非负数都为0，所有对应的特征要同时满足，需要熟练掌握平方、绝对值的非负性，以及勾股定理逆定理的应用。
【难度系数】
0.7
6.如图,一棵树因雪灾于A处折断,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,折断的树枝AB与地面BC的夹角为$45°$,树干AC垂直于地面,那么此时在未折断前的高度为多少米(精确到0.1米,参考值:$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73)$?
答案
6.9.6米
解析
【分析】
首先由题意可知△ACB是直角三角形，∠C=90°，已知∠B=45°，可判断该三角形为等腰直角三角形，先得到AC的长度，再通过勾股定理求出折断部分AB的长度，未折断前树的总高度为AC与AB的长度之和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠C=90°，
又
∵∠ABC=45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC=BC=4米，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx4×1.41=5.64$米，
则树未折断前的高度为$AC+AB=4+5.64\approx9.6$米。
【答案】
9.6米
【知识点】
等腰直角三角形性质、勾股定理、解直角三角形应用
【点评】
本题是直角三角形的实际应用问题，解题的关键是结合已知角度判断三角形为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出折断部分的长度，最后求和得到总高度，计算时注意近似值的取用要符合题目要求。
【难度系数】
0.7
首先由题意可知△ACB是直角三角形，∠C=90°，已知∠B=45°，可判断该三角形为等腰直角三角形，先得到AC的长度，再通过勾股定理求出折断部分AB的长度，未折断前树的总高度为AC与AB的长度之和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠C=90°，
又
∵∠ABC=45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC=BC=4米，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx4×1.41=5.64$米，
则树未折断前的高度为$AC+AB=4+5.64\approx9.6$米。
【答案】
9.6米
【知识点】
等腰直角三角形性质、勾股定理、解直角三角形应用
【点评】
本题是直角三角形的实际应用问题，解题的关键是结合已知角度判断三角形为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出折断部分的长度，最后求和得到总高度，计算时注意近似值的取用要符合题目要求。
【难度系数】
0.7
7.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=2,求BC的长.
（第7题）
（第7题）答案
7.6
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠B=∠C=30°，再结合三角形内角和求出∠BAC的度数；接下来由AB⊥AD得到∠BAD=90°，进而推出∠DAC=∠C，利用“等角对等边”求出DC的长度；最后在Rt△ABD中，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BD的长度，BC的长度就是BD与DC的和。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DC=AD=2，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=2，
∴BD=2AD=4（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴BC=BD+DC=4+2=6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是结合等腰三角形和直角三角形的边角性质，通过角度推导得到线段的等量关系，再分别计算各段线段长度求和即可，解题时要熟练掌握特殊三角形的相关性质，提升角度推导的敏感度。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠B=∠C=30°，再结合三角形内角和求出∠BAC的度数；接下来由AB⊥AD得到∠BAD=90°，进而推出∠DAC=∠C，利用“等角对等边”求出DC的长度；最后在Rt△ABD中，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BD的长度，BC的长度就是BD与DC的和。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DC=AD=2，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=2，
∴BD=2AD=4（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴BC=BD+DC=4+2=6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是结合等腰三角形和直角三角形的边角性质，通过角度推导得到线段的等量关系，再分别计算各段线段长度求和即可，解题时要熟练掌握特殊三角形的相关性质，提升角度推导的敏感度。
【难度系数】
0.7
8.将一副三角尺按如图所示的方式放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，求CD的长.
答案
8.如图,过点 B 作 $BM ⊥ FD$ 于点 M，
$\because ∠ ACB=90°,∠ A=60°,AC=10,$
$\therefore ∠ ABC=30°,\therefore AB=2AC=20,\therefore BC=10\sqrt{3},$
$\because AB// CF,\therefore ∠ BCM=∠ ABC=30°,\therefore BM=\frac{1}{2}BC=5\sqrt{3},$
在 $\mathrm{Rt}△ BCM$ 中,由勾股定理得 $CM=15,$
在 $△ DEF$ 中,$∠ F=90°,∠ E=45°,\therefore ∠ EDF=90°-∠ E=45°,$
在 $△ BDM$ 中,$∠ BMD=90°,∠ BDM=45°,$
$\therefore ∠ DBM=90°-∠ BDM=45°,\therefore ∠ BDM=∠ DBM,\therefore MD=BM=5\sqrt{3},$
$\therefore CD=CM-MD=15-5\sqrt{3}$,即 $CD$ 的长为 $15-5\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求CD的长度，观察图形可将CD转化为$CM-MD$求解，因此首先过点B作$BM⊥ FD$于点M构造直角三角形：第一步先在$Rt△ ABC$中，利用已知的角度和AC的边长求出BC的长度；第二步根据$AB// CF$的平行线性质，得到内错角相等，进而在$Rt△ BCM$中求出BM、CM的长度；第三步利用等腰直角三角尺的角度特征，判断$△ BMD$为等腰直角三角形，求出MD的长度；最后用CM减去MD即可得到CD的长。
【解析】
如图，过点 B 作 $BM ⊥ FD$ 于点 M，
$\because ∠ ACB=90°,∠ A=60°,AC=10,$
$\therefore ∠ ABC=30°,\therefore AB=2AC=20,\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=10\sqrt{3},$
$\because AB// CF,\therefore ∠ BCM=∠ ABC=30°,\therefore BM=\frac{1}{2}BC=5\sqrt{3},$
在 $\mathrm{Rt}△ BCM$ 中,由勾股定理得 $CM=\sqrt{BC^2-BM^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-(5\sqrt{3})^2}=15,$
在 $△ DEF$ 中,$∠ F=90°,∠ E=45°,\therefore ∠ EDF=90°-∠ E=45°,$
在 $△ BDM$ 中,$∠ BMD=90°,∠ BDM=45°,$
$\therefore ∠ DBM=90°-∠ BDM=45°,\therefore ∠ BDM=∠ DBM,\therefore MD=BM=5\sqrt{3},$
$\therefore CD=CM-MD=15-5\sqrt{3}$
【答案】
$15-5\sqrt{3}$
【知识点】
平行线的性质，特殊直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题以三角尺摆放为载体，综合考查了平行线的性质、特殊角度直角三角形的边角关系、勾股定理的应用，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将未知线段转化为可求线段的差进行计算。
【难度系数】
0.6
要求CD的长度，观察图形可将CD转化为$CM-MD$求解，因此首先过点B作$BM⊥ FD$于点M构造直角三角形：第一步先在$Rt△ ABC$中，利用已知的角度和AC的边长求出BC的长度；第二步根据$AB// CF$的平行线性质，得到内错角相等，进而在$Rt△ BCM$中求出BM、CM的长度；第三步利用等腰直角三角尺的角度特征，判断$△ BMD$为等腰直角三角形，求出MD的长度；最后用CM减去MD即可得到CD的长。
【解析】
如图，过点 B 作 $BM ⊥ FD$ 于点 M，
$\because ∠ ACB=90°,∠ A=60°,AC=10,$
$\therefore ∠ ABC=30°,\therefore AB=2AC=20,\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=10\sqrt{3},$
$\because AB// CF,\therefore ∠ BCM=∠ ABC=30°,\therefore BM=\frac{1}{2}BC=5\sqrt{3},$
在 $\mathrm{Rt}△ BCM$ 中,由勾股定理得 $CM=\sqrt{BC^2-BM^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-(5\sqrt{3})^2}=15,$
在 $△ DEF$ 中,$∠ F=90°,∠ E=45°,\therefore ∠ EDF=90°-∠ E=45°,$
在 $△ BDM$ 中,$∠ BMD=90°,∠ BDM=45°,$
$\therefore ∠ DBM=90°-∠ BDM=45°,\therefore ∠ BDM=∠ DBM,\therefore MD=BM=5\sqrt{3},$
$\therefore CD=CM-MD=15-5\sqrt{3}$
【答案】
$15-5\sqrt{3}$
【知识点】
平行线的性质，特殊直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题以三角尺摆放为载体，综合考查了平行线的性质、特殊角度直角三角形的边角关系、勾股定理的应用，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将未知线段转化为可求线段的差进行计算。
【难度系数】
0.6
