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1. 把等式 $ m - 2n = n - 2m $ 变形为 $ m + 2m = n + 2n $ 是根据(
A.在等式两边加 $ 2m $
B.在等式两边加 $ 2n $
C.在等式两边加 $ 2m + 2n $
D.在等式两边加 $ 2m - 2n $
C
).A.在等式两边加 $ 2m $
B.在等式两边加 $ 2n $
C.在等式两边加 $ 2m + 2n $
D.在等式两边加 $ 2m - 2n $
答案
1. C
解析
【分析】
解题要依据等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立。我们有两种思路：第一种是看变形目标，原等式左边有$-2n$，右边有$-2m$，要把含$m$的项都移到左边、含$n$的项都移到右边，需要消去左边的$-2n$和右边的$-2m$，因此两边同时加$2m+2n$即可得到目标等式；第二种是逐一验证每个选项的操作，看操作后左右两边是否等于目标等式的左右两边。
【解析】
原等式为$m - 2n = n - 2m$，我们逐一验证选项：
A. 等式两边加$2m$：左边$=m-2n+2m=3m-2n$，右边$=n-2m+2m=n$，两边不相等，不符合要求，错误；
B. 等式两边加$2n$：左边$=m-2n+2n=m$，右边$=n-2m+2n=3n-2m$，两边不相等，不符合要求，错误；
C. 等式两边加$2m+2n$：左边$=m-2n+2m+2n=3m=m+2m$，右边$=n-2m+2m+2n=3n=n+2n$，刚好得到目标等式，正确；
D. 等式两边加$2m-2n$：左边$=m-2n+2m-2n=3m-4n$，右边$=n-2m+2m-2n=-n$，两边不相等，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质1
【点评】
本题考查等式性质的基础应用，解题时既可以根据变形目标推导需要添加的整式，也可以通过逐一验证选项得出答案，需注意等式两边必须同时加同一个数或整式，才能保证等式仍然成立。
【难度系数】
0.8
解题要依据等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立。我们有两种思路：第一种是看变形目标，原等式左边有$-2n$，右边有$-2m$，要把含$m$的项都移到左边、含$n$的项都移到右边，需要消去左边的$-2n$和右边的$-2m$，因此两边同时加$2m+2n$即可得到目标等式；第二种是逐一验证每个选项的操作，看操作后左右两边是否等于目标等式的左右两边。
【解析】
原等式为$m - 2n = n - 2m$，我们逐一验证选项：
A. 等式两边加$2m$：左边$=m-2n+2m=3m-2n$，右边$=n-2m+2m=n$，两边不相等，不符合要求，错误；
B. 等式两边加$2n$：左边$=m-2n+2n=m$，右边$=n-2m+2n=3n-2m$，两边不相等，不符合要求，错误；
C. 等式两边加$2m+2n$：左边$=m-2n+2m+2n=3m=m+2m$，右边$=n-2m+2m+2n=3n=n+2n$，刚好得到目标等式，正确；
D. 等式两边加$2m-2n$：左边$=m-2n+2m-2n=3m-4n$，右边$=n-2m+2m-2n=-n$，两边不相等，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质1
【点评】
本题考查等式性质的基础应用，解题时既可以根据变形目标推导需要添加的整式，也可以通过逐一验证选项得出答案，需注意等式两边必须同时加同一个数或整式，才能保证等式仍然成立。
【难度系数】
0.8
2. 根据等式的性质填空,并填写依据.
(1)若$2m - 3n = 7$,则$2m = 7 + \_\_\_\_\_\_$,
______.
(2)若$\frac{1}{3}x + 4 = 6$,则$x + 12 = \_\_\_\_\_\_$,
______.
(1)若$2m - 3n = 7$,则$2m = 7 + \_\_\_\_\_\_$,
______.
(2)若$\frac{1}{3}x + 4 = 6$,则$x + 12 = \_\_\_\_\_\_$,
______.
答案
(1) 3n 根据等式的性质1,等式两边加3n,结果仍相等
(2) 18 根据等式的性质2,等式两边乘3,结果仍相等
(2) 18 根据等式的性质2,等式两边乘3,结果仍相等
解析
【分析】
解决此类题的核心是先观察等式变形前后的变化，再对应匹配等式的性质：
(1) 观察原等式左边是$2m-3n$，变形后目标左边是$2m$，说明左边需要加上$3n$消去$-3n$，根据等式的性质1，等式两边需同时加同一个式子，因此右边也要加$3n$即可得到结果。
(2) 观察原等式左边是$\frac{1}{3}x + 4$，变形后目标左边是$x+12$，可发现左边每一项都乘了3，根据等式的性质2，等式两边需同时乘同一个数，因此右边6也要乘3即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$2m - 3n = 7$，根据等式的性质1，等式两边同时加$3n$：
左边：$2m - 3n + 3n = 2m$，右边：$7 + 3n$，因此$2m = 7 + 3n$，依据为等式的性质1，等式两边加3n，结果仍相等。
(2) 已知$\frac{1}{3}x + 4 = 6$，根据等式的性质2，等式两边同时乘3：
左边：$3×(\frac{1}{3}x + 4) = x + 12$，右边：$6×3 = 18$，因此$x + 12 = 18$，依据为等式的性质2，等式两边乘3，结果仍相等。
【答案】
(1) $3n$，根据等式的性质1,等式两边加3n,结果仍相等
(2) $18$，根据等式的性质2,等式两边乘3,结果仍相等
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题考查等式基本性质的直接应用，解题关键是准确判断等式两边的变形方式（加减或乘除同一个数/式子），再对应选择对应的性质即可，是对等式性质基础掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
解决此类题的核心是先观察等式变形前后的变化，再对应匹配等式的性质：
(1) 观察原等式左边是$2m-3n$，变形后目标左边是$2m$，说明左边需要加上$3n$消去$-3n$，根据等式的性质1，等式两边需同时加同一个式子，因此右边也要加$3n$即可得到结果。
(2) 观察原等式左边是$\frac{1}{3}x + 4$，变形后目标左边是$x+12$，可发现左边每一项都乘了3，根据等式的性质2，等式两边需同时乘同一个数，因此右边6也要乘3即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$2m - 3n = 7$，根据等式的性质1，等式两边同时加$3n$：
左边：$2m - 3n + 3n = 2m$，右边：$7 + 3n$，因此$2m = 7 + 3n$，依据为等式的性质1，等式两边加3n，结果仍相等。
(2) 已知$\frac{1}{3}x + 4 = 6$，根据等式的性质2，等式两边同时乘3：
左边：$3×(\frac{1}{3}x + 4) = x + 12$，右边：$6×3 = 18$，因此$x + 12 = 18$，依据为等式的性质2，等式两边乘3，结果仍相等。
【答案】
(1) $3n$，根据等式的性质1,等式两边加3n,结果仍相等
(2) $18$，根据等式的性质2,等式两边乘3,结果仍相等
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题考查等式基本性质的直接应用，解题关键是准确判断等式两边的变形方式（加减或乘除同一个数/式子），再对应选择对应的性质即可，是对等式性质基础掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
3. 利用等式的性质解下列方程.
(1)$x-4=7$;
(2)$0.5x=15$;
(3)$5x-10=0$;
(4)$3x+1=4$.
(1)$x-4=7$;
(2)$0.5x=15$;
(3)$5x-10=0$;
(4)$3x+1=4$.
答案
3. 解 (1)$x-4=7$,方程两边加4,得$x-4+4=7+4$. 于是$x=11$.
(2)$0.5x=15$,方程两边除以0.5,得$\frac{0.5x}{0.5}=\frac{15}{0.5}$. 于是$x=30$.
(3)$5x-10=0$,方程两边加10,得$5x-10+10=0+10$. 于是$5x=10$. 方程两边除以5,得$\frac{5x}{5}=\frac{10}{5}$. 于是$x=2$.
(4)$3x+1=4$,方程两边减1,得$3x+1-1=4-1$. 于是$3x=3$. 方程两边除以3,得$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$. 于是$x=1$.
(2)$0.5x=15$,方程两边除以0.5,得$\frac{0.5x}{0.5}=\frac{15}{0.5}$. 于是$x=30$.
(3)$5x-10=0$,方程两边加10,得$5x-10+10=0+10$. 于是$5x=10$. 方程两边除以5,得$\frac{5x}{5}=\frac{10}{5}$. 于是$x=2$.
(4)$3x+1=4$,方程两边减1,得$3x+1-1=4-1$. 于是$3x=3$. 方程两边除以3,得$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$. 于是$x=1$.
解析
【分析】
解这类方程的核心是运用等式的性质，将方程逐步变形为“x=a”的最简形式。解题思路分为两步：①若方程左边带有常数项，先利用等式性质1（等式两边加/减同一个数，等式仍然成立），消去左侧的常数项，得到“mx=n（m≠0）”的形式；②再利用等式性质2（等式两边除以同一个不为0的数，等式仍然成立），将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。注意每一步变形都要保证等式两边同时进行相同运算，避免破坏等式的成立性。
【解析】
(1) 解方程$x-4=7$：
方程两边同时加4，得$x-4+4=7+4$，于是$x=11$。
(2) 解方程$0.5x=15$：
方程两边同时除以0.5，得$\frac{0.5x}{0.5}=\frac{15}{0.5}$，于是$x=30$。
(3) 解方程$5x-10=0$：
方程两边同时加10，得$5x-10+10=0+10$，于是$5x=10$；
方程两边同时除以5，得$\frac{5x}{5}=\frac{10}{5}$，于是$x=2$。
(4) 解方程$3x+1=4$：
方程两边同时减1，得$3x+1-1=4-1$，于是$3x=3$；
方程两边同时除以3，得$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$，于是$x=1$。
【答案】
(1)$x=11$；(2)$x=30$；(3)$x=2$；(4)$x=1$
【知识点】
1. 等式的性质 2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查等式性质的规范运用，解题时需注意等式两边必须同时进行相同的加、减、乘、除（除数不为0）运算，避免单边变形导致错误，熟练掌握本题解法是后续学习复杂方程求解的重要基础。
【难度系数】
0.9
解这类方程的核心是运用等式的性质，将方程逐步变形为“x=a”的最简形式。解题思路分为两步：①若方程左边带有常数项，先利用等式性质1（等式两边加/减同一个数，等式仍然成立），消去左侧的常数项，得到“mx=n（m≠0）”的形式；②再利用等式性质2（等式两边除以同一个不为0的数，等式仍然成立），将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。注意每一步变形都要保证等式两边同时进行相同运算，避免破坏等式的成立性。
【解析】
(1) 解方程$x-4=7$：
方程两边同时加4，得$x-4+4=7+4$，于是$x=11$。
(2) 解方程$0.5x=15$：
方程两边同时除以0.5，得$\frac{0.5x}{0.5}=\frac{15}{0.5}$，于是$x=30$。
(3) 解方程$5x-10=0$：
方程两边同时加10，得$5x-10+10=0+10$，于是$5x=10$；
方程两边同时除以5，得$\frac{5x}{5}=\frac{10}{5}$，于是$x=2$。
(4) 解方程$3x+1=4$：
方程两边同时减1，得$3x+1-1=4-1$，于是$3x=3$；
方程两边同时除以3，得$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$，于是$x=1$。
【答案】
(1)$x=11$；(2)$x=30$；(3)$x=2$；(4)$x=1$
【知识点】
1. 等式的性质 2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查等式性质的规范运用，解题时需注意等式两边必须同时进行相同的加、减、乘、除（除数不为0）运算，避免单边变形导致错误，熟练掌握本题解法是后续学习复杂方程求解的重要基础。
【难度系数】
0.9
4. 对于任意有理数$a,b,c,d$，我们规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，如$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1×4-2×3=-2$。若$\begin{vmatrix} x & -2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix}=-2$，请你根据等式的性质求出$x$的值。
答案
4. 解 由$\begin{vmatrix} x & -2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix}=-2$, 可得$-4x-(-2)×3=-2$, 即$-4x+6=-2$.
方程两边减6, 得$-4x+6-6=-2-6$. 于是$-4x=-8$.
方程两边除以$-4$, 得$\frac{-4x}{-4}=\frac{-8}{-4}$.
于是$x=2$.
方程两边减6, 得$-4x+6-6=-2-6$. 于是$-4x=-8$.
方程两边除以$-4$, 得$\frac{-4x}{-4}=\frac{-8}{-4}$.
于是$x=2$.
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，第一步先按照该规则将含$x$的行列式转化为关于$x$的一元一次方程，再根据等式的性质逐步解方程，计算过程中注意符号不要出错。
【解析】
解：根据题中规定的新运算规则，可得：
$\begin{vmatrix}x&-2\\3&-4\end{vmatrix}=-4x - (-2)×3=-2$
整理得：$-4x + 6 = -2$
根据等式的性质1，方程两边同时减去6，得：
$-4x + 6 - 6 = -2 - 6$
即$-4x = -8$
根据等式的性质2，方程两边同时除以$-4$，得：
$\frac{-4x}{-4}=\frac{-8}{-4}$
解得$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
新定义运算，等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题将新定义运算和等式性质的考查结合，解题核心是先把陌生的新运算转化为熟悉的一元一次方程，再按解方程的步骤求解，只要正确理解规则、注意符号运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解题目给出的新二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，第一步先按照该规则将含$x$的行列式转化为关于$x$的一元一次方程，再根据等式的性质逐步解方程，计算过程中注意符号不要出错。
【解析】
解：根据题中规定的新运算规则，可得：
$\begin{vmatrix}x&-2\\3&-4\end{vmatrix}=-4x - (-2)×3=-2$
整理得：$-4x + 6 = -2$
根据等式的性质1，方程两边同时减去6，得：
$-4x + 6 - 6 = -2 - 6$
即$-4x = -8$
根据等式的性质2，方程两边同时除以$-4$，得：
$\frac{-4x}{-4}=\frac{-8}{-4}$
解得$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
新定义运算，等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题将新定义运算和等式性质的考查结合，解题核心是先把陌生的新运算转化为熟悉的一元一次方程，再按解方程的步骤求解，只要正确理解规则、注意符号运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 小林平时总喜欢思考问题.有一天他对妈妈说:“我发现2和5是可以一样大的,我这里有一个方程$5x - 2 = 2x - 2$.方程两边加2,得$5x - 2 + 2 = 2x - 2 + 2$①,即$5x = 2x$.方程两边除以$x$,得$5 = 2$②.”你认为小林的说法正确吗?如果正确,请说明上述①②步的理由;如果不正确,请指出错在哪里,并加以改正.
答案
5. 解 不正确.
①正确,运用了等式的性质1;
②不正确,方程两边不能除以$x$,因为$x$可能为0.
改正:由$5x=2x$,方程两边减$2x$,于是$3x=0$.
方程两边除以3,于是$x=0$.
①正确,运用了等式的性质1;
②不正确,方程两边不能除以$x$,因为$x$可能为0.
改正:由$5x=2x$,方程两边减$2x$,于是$3x=0$.
方程两边除以3,于是$x=0$.
解析
【分析】
要判断小林的说法是否正确，需结合等式的性质逐一验证每一步操作：首先回忆等式的两条性质，等式性质1是等式两边加/减同一个数或式子，结果仍相等；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。先看第①步，两边同时加2，符合等式性质1，操作合法；再看第②步，两边同时除以x，此时x的值未知，可能为0，不符合等式性质2中“除以的数不能为0”的要求，因此操作错误。改正时需先把含x的项移到同侧，再求解。
【解析】
小林的说法不正确，具体分析如下：
1. 第①步操作正确：该步是在方程两边同时加2，符合等式的性质1，因此变形后的$5x=2x$成立。
2. 第②步操作错误：根据等式的性质2，等式两边除以同一个数时，这个数必须不为0，本题中x的取值不确定，有可能等于0，因此不能直接在方程两边除以x。
3. 正确解法：对$5x=2x$，方程两边同时减$2x$，得$3x=0$，再将方程两边同时除以3，得$x=0$。
【答案】
不正确。①正确，运用了等式的性质1；②不正确，方程两边不能除以$x$，因为$x$可能为0。改正：由$5x=2x$，方程两边减$2x$，于是$3x=0$，方程两边除以3，于是$x=0$。
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，核心易错点为使用等式性质2进行除法变形时，忽略除数不能为0的要求，解题时需特别注意这一前提条件。
【难度系数】
0.7
要判断小林的说法是否正确，需结合等式的性质逐一验证每一步操作：首先回忆等式的两条性质，等式性质1是等式两边加/减同一个数或式子，结果仍相等；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。先看第①步，两边同时加2，符合等式性质1，操作合法；再看第②步，两边同时除以x，此时x的值未知，可能为0，不符合等式性质2中“除以的数不能为0”的要求，因此操作错误。改正时需先把含x的项移到同侧，再求解。
【解析】
小林的说法不正确，具体分析如下：
1. 第①步操作正确：该步是在方程两边同时加2，符合等式的性质1，因此变形后的$5x=2x$成立。
2. 第②步操作错误：根据等式的性质2，等式两边除以同一个数时，这个数必须不为0，本题中x的取值不确定，有可能等于0，因此不能直接在方程两边除以x。
3. 正确解法：对$5x=2x$，方程两边同时减$2x$，得$3x=0$，再将方程两边同时除以3，得$x=0$。
【答案】
不正确。①正确，运用了等式的性质1；②不正确，方程两边不能除以$x$，因为$x$可能为0。改正：由$5x=2x$，方程两边减$2x$，于是$3x=0$，方程两边除以3，于是$x=0$。
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，核心易错点为使用等式性质2进行除法变形时，忽略除数不能为0的要求，解题时需特别注意这一前提条件。
【难度系数】
0.7
