1. 等式的性质
典例1 下列条件:①$a + 2 = b + 2$；②$-3a = -3b$；③$-a - c = b + c$；④$ac - 1 = bc - 1$；⑤$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，其中根据等式的性质可以推导出$a = b$的条件有(填序号)

1. 答案 ①②⑤
解析 $a+2=b+2$，等式两边减2，得$a=b$，故①符合题意；
$-3a=-3b$，等式两边除以$-3$，得$a=b$，故②符合题意；
$-a - c = b + c$，利用等式的性质不能得到$a=b$，故③不符合题意；
$ac -1 = bc -1$，等式两边加1，得$ac=bc$，当$c≠0$时，可以得到$a=b$；当$c=0$时，不一定有$a=b$，故④不符合题意；
$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$,则$c≠0$,等式两边乘$c$,得$a=b$,故⑤符合题意,故答案为①②⑤。

【分析】
解题需紧扣等式的两个基本性质逐一验证每个条件：等式性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。验证时要注意：若等式两边要除以含字母的式子，必须确认该式子不为0，若为分式形式则隐含分母不为0的前提，最后逐个判断5个条件能否推导出a=b即可。
【解析】
①对等式$a+2=b+2$，两边同时减去2，根据等式性质1可得$a=b$，故①符合题意；
②对等式$-3a=-3b$，两边同时除以不为0的$-3$，根据等式性质2可得$a=b$，故②符合题意；
③对等式$-a - c = b + c$，变形可得$-a-b=2c$，无法消去参数$c$直接得到$a=b$，故③不符合题意；
④对等式$ac - 1 = bc - 1$，两边先同时加1得$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a、b$取何值等式都成立，无法确定$a=b$，故④不符合题意；
⑤对等式$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，分式有意义则隐含$c≠0$，两边同时乘$c$，根据等式性质2可得$a=b$，故⑤符合题意。
【答案】
①②⑤
【知识点】
等式的性质，分式有意义的条件
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，易错点在于忽略等式两边除以含字母的式子时，该式子不能为0的前提，同时要注意分式形式的等式隐含分母不为0的条件，做题时需仔细区分不同变形的适用要求。
【难度系数】
0.65

举一反三 根据等式的性质填空：
(1)若$3x+5=8$，则$3x=8-$，根据，等式的两边；
(2)若$-4x=\frac{1}{4}$，则$x=$，根据，等式的两边。

1. (1) 5 等式的性质1 减5
(2) $-\frac{1}{16}$ 等式的性质2 除以$-4$

【分析】
这道题考查等式性质的应用，解题时先观察等式左侧需要变形得到的目标形式，确定要消除的项，再对应选择合适的等式性质操作即可。对于(1)，目标是消去左边的+5，仅保留3x，根据等式的性质1，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，因此两边同时减5，右侧就变为8-5；对于(2)，目标是将x的系数化为1，需要消去左侧的系数-4，根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，因此两边同时除以-4就能求出x的值。
【解析】
(1) 已知$3x+5=8$，根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，将等式两边同时减5，左侧变为$3x+5-5=3x$，右侧变为$8-5$，因此$3x=8-5$。
(2) 已知$-4x=\frac{1}{4}$，根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，将等式两边同时除以$-4$，左侧变为$-4x÷(-4)=x$，右侧变为$\frac{1}{4}÷(-4)=-\frac{1}{16}$，因此$x=-\frac{1}{16}$。
【答案】
(1) 5；等式的性质1；减5
(2) $-\frac{1}{16}$；等式的性质2；除以$-4$
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是根据等式变形的目标选择对应的性质，注意运用等式的性质2时，除以的数不能为0，避免出错。
【难度系数】
0.9

典例2 利用等式的性质解下列方程：
(1)$2x - 5 = x - 5$；
典例解析

解：
等式两边同时加5，得
$2x - 5 + 5 = x - 5 + 5$
化简，得
$2x = x$
等式两边同时减去$x$，得
$2x - x = x - x$
化简，得
$x = 0$

【分析】
本题要求利用等式的性质解一元一次方程，解题思路可按以下步骤展开：首先回忆等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。观察方程发现左右两边都有常数项-5，因此第一步可在等式两边同时加5，消去两边的常数项，得到仅含未知数项的等式；接下来再在等式两边同时减去x，合并同类项后即可求出未知数的值。注意解题时不可直接在等式两边除以x，因为x可能为0，直接除以会导致解题错误。
【解析】
解：
等式两边同时加5，得
$2x - 5 + 5 = x - 5 + 5$
化简，得
$2x = x$
等式两边同时减去$x$，得
$2x - x = x - x$
化简，得
$x = 0$
【答案】
$x=0$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，解题时需严格按照等式的性质进行变形，尤其要注意不能随意在等式两边除以可能为0的数或式子，避免出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.8

典例1
答案 ①②⑤
解析 $a+2=b+2$，等式两边减2，得$a=b$，故①符合题意；
$-3a=-3b$，等式两边除以$-3$，得$a=b$，故②符合题意；
$-a - c = b + c$，利用等式的性质不能得到$a=b$，故③不符合题意；
$ac -1 = bc -1$，等式两边加1，得$ac=bc$，当$c≠0$时，可以得到$a=b$；当$c=0$时，不一定有$a=b$，故④不符合题意；
(2)$-\dfrac{1}{3}x -5=8.$

解：
等式两边同时加5，得
$-\dfrac{1}{3}x - 5 + 5 = 8 + 5$
化简，得
$-\dfrac{1}{3}x = 13$
等式两边同时乘$-3$，得
$x = -39$

【分析】
本题考查利用等式的性质解一元一次方程，解题思路如下：首先根据等式的性质1，等式两边同时加同一个数，等式仍然成立，给方程左右两边同时加5，消去左边的常数项-5，化简后得到仅含未知数项的等式；再根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，给化简后的等式两边同时乘-3，将未知数的系数化为1，即可求出x的值。
【解析】
等式两边同时加5，得
$-\dfrac{1}{3}x - 5 + 5 = 8 + 5$
化简，得
$-\dfrac{1}{3}x = 13$
等式两边同时乘$-3$，得
$x = -39$
【答案】
$x=-39$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查等式性质的规范应用，解题时要注意每一步变形都符合等式的性质，将未知数系数化为1时，要注意运算符号的正误，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8

举一反三 利用等式的性质完成下列解方程$3-\frac{1}{2}x=4$的过程.
解:根据,方程两边,
,
得$3-\frac{1}{2}x-3=4$.
于是$-\frac{1}{2}x=$.
根据,方程两边,
,
得$x=$.
$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$,则$c≠0$,等式两边乘$c$,得$a=b$,故⑤符合题意,故答案为①②⑤.
典例2
解 (1)方程两边加$-x+5$,
得$2x-5-x+5=x-5-x+5$.
化简,得$x=0$.
(2)方程两边加5,得$-\frac{1}{3}x-5+5=8+5$.化简,得$-\frac{1}{3}x=13$.
方程两边乘$-3$,得$x=-39$.

解 根据等式的性质1，方程两边减3，减3，得$3-\frac{1}{2}x-3=4-3$。于是$-\frac{1}{2}x=1$。根据等式的性质2，方程两边乘$-2$，乘$-2$，得$x=-2$。

【分析】
解方程的目标是将方程逐步变形为$x=a$的形式。首先观察方程左侧有常数项3，第一步先消去该常数项：根据等式的性质1，等式两边加或减同一个数，结果仍相等，因此给方程两边同时减3，即可消去左侧的常数3；此时未知数的系数为$-\frac{1}{2}$，第二步将系数化为1：根据等式的性质2，等式两边乘同一个不为0的数，结果仍相等，因此给方程两边同时乘$-2$，即可求出$x$的值，按步骤对应填写空缺即可。
【解析】
根据 $\boldsymbol{等式的性质1}$，方程两边 $\boldsymbol{减3}$，
$\boldsymbol{减3}$，
得$3-\frac{1}{2}x-3=4\boldsymbol{-3}$。
于是$-\frac{1}{2}x=\boldsymbol{1}$。
根据 $\boldsymbol{等式的性质2}$，方程两边 $\boldsymbol{乘-2}$，
$\boldsymbol{乘-2}$，
得$x=\boldsymbol{-2}$。
【答案】
根据等式的性质1，方程两边减3，减3，得$3-\frac{1}{2}x-3=4-3$。于是$-\frac{1}{2}x=1$。根据等式的性质2，方程两边乘$-2$，乘$-2$，得$x=-2$。
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，核心考查利用等式性质解简单一元一次方程的步骤，解题时需注意等式两边变形要同步，进行乘除运算时不要忽略符号问题，熟练掌握本题型能为后续解复杂一元一次方程打好基础。
【难度系数】
0.8