2. 无核荔枝是海南特色优质水果之一. 请你运用数学知识,根据素材,帮助果农解决问题.
信息及素材
素材一 在农科院专业人员的指导下,无核荔枝产量稳步增长. 记录显示:2023年平均每株产量为25千克,2025年达到36千克,每年增长率基本相同
素材二 荔枝常用长方体礼品盒包装后销售
素材三 为提升销量并增加盈利,果农针对时节性较强的荔枝开展优惠销售活动. 考虑到荔枝的时令特性,该店在确保每千克盈利不少于6元的前提下,经市场调研制定了降价策略:若每千克无核荔枝售价为32元,每日可售出80千克;每降低1元售日销量可增加20千克
问题
(1)根据题意列出方程,求解无核荔枝产量的年平均增长率
(2)现有一块长80厘米、宽75厘米的长方形纸板,将其四角各裁去一个正方形(如图1-1所示),折成一个无盖长方体纸盒(如图1-2所示),要求纸盒的底面积为3 300平方厘米,计算此时该礼品盒的高度
(3)A果园店以每千克18元的价格购进无核荔枝,若商铺希望每日销售利润达到1 540元,求每千克荔枝应降价多少元

(1)20% (2)10 cm (3)7元

【分析】
本题共3小问，均考查一元二次方程的实际应用，解题思路如下：
(1) 属于增长率问题，通用公式为“初始量×(1+年平均增长率)^增长年数=最终量”，设年平均增长率为x，代入2023年和2025年的产量列方程求解即可，注意增长率为正数，舍去负根。
(2) 属于几何图形折叠问题，无盖纸盒的高度等于四角裁去的正方形的边长，设高度为x cm，可得纸盒底面的长为(80-2x)cm、宽为(75-2x)cm，根据底面积公式列方程，求解后要验证解是否符合实际（裁去的正方形边长不能超过原纸板宽的一半），舍去不合题意的根。
(3) 属于销售利润问题，核心公式为“总利润=每千克利润×销售量”，设每千克降价x元，分别表示出降价后的每千克利润和销售量，代入总利润1540元列方程，求解后结合“每千克盈利不少于6元”“提升销量”的前提，选择符合要求的解。
【解析】
(1) 设无核荔枝产量的年平均增长率为$ x $，根据题意得：
$25(1+x)^2 = 36$
解得：$1+x = \pm \frac{6}{5}$
因为增长率为正，故$1+x = \frac{6}{5}$，即$x = 0.2 = 20\%$，负根舍去。
(2) 设该礼品盒的高度为$ x \, \mathrm{cm} $（即裁去的正方形边长为$ x \, \mathrm{cm} $），则纸盒底面长为$ (80-2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (75-2x) \, \mathrm{cm} $，根据底面积为3300平方厘米得：
$ (80-2x)(75-2x) = 3300 $
整理得：$2x^2 - 155x + 1350 = 0$
解得：$x_1 = 10$，$x_2 = 67.5$
当$x = 67.5$时，$2x = 135 ＞ 75$，不符合实际，舍去，故$x = 10$。
(3) 设每千克荔枝应降价$x$元，根据题意，每千克利润为$ (32 - x - 18) = (14 - x) $元，日销售量为$ (80 + 20x) $千克，总利润为1540元，列方程得：
$ (14 - x)(80 + 20x) = 1540 $
整理得：$x^2 - 10x + 21 = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = 7$
验证：每千克盈利不少于6元，即$14 - x ≥ 6$，得$x ≤ 8$，两个解均满足该条件；结合“提升销量”的要求，降价越多销量越高，故选择$x = 7$。
【答案】
(1) 20%；(2) 10 cm；(3) 7元
【知识点】
增长率问题，几何面积实际应用，销售利润问题
【点评】
本题结合农业生产、包装设计、销售经营等真实生活场景考查一元二次方程的应用，难度适中，解题时需要注意结合实际意义对求出的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7

3. 如图2,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=5\ \mathrm{cm}$,$AC=7\ \mathrm{cm}$. 两个动点$P,Q$分别从$B,C$两点同时出发,其中点$P$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿着线段$BC$向点$C$运动,点$Q$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿着线段$CA$向点$A$运动.
(1)$P,Q$两点在运动过程中,经过几秒后,$△ PCQ$的面积等于$4\ \mathrm{cm}^2$? 经过几秒后$PQ$的长度等于$5\ \mathrm{cm}$?
(2)$P,Q$两点在运动过程中,四边形$ABPQ$的面积能否等于$11\ \mathrm{cm}^2$? 试说明理由.

(1)1秒,2秒 (2)不能,理由略

【分析】
这是动点结合几何图形的一元二次方程应用问题，解题思路如下：①先设运动时间为t秒，根据点P、Q的运动速度，分别用含t的代数式表示出PC、CQ的长度，同时确定t的取值范围（保证两点在线段上运动）；②对于△PCQ的面积问题，利用直角三角形面积公式列一元二次方程求解；③对于PQ长度问题，利用勾股定理列方程求解；④对于四边形面积问题，可转化为△ABC面积减去△PCQ面积，列方程后通过判别式判断方程是否有符合范围的实根，即可得出结论。
【解析】
设P、Q的运动时间为t秒，由题意得：
$BP = t\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
∵点P在BC上运动，点Q在CA上运动，
∴$t ≤ 5$，且$2t ≤7$，即$0 ＜ t ≤ 3.5$，
$PC = BC - BP = (5 - t)\ \mathrm{cm}$，△PCQ为直角三角形，$∠ C=90°$。
(1) ①若△PCQ的面积等于$4\ \mathrm{cm}^2$，根据直角三角形面积公式：
$S_{△ PCQ} = \frac{1}{2} × PC × CQ = 4$
代入得：$\frac{1}{2} × (5 - t) × 2t = 4$
化简得：$t(5 - t) =4$，即$t^2 -5t +4=0$
因式分解得：$(t-1)(t-4)=0$，解得$t_1=1$，$t_2=4$
∵ $t ≤3.5$，
∴ $t=4$舍去，即经过1秒后△PCQ面积等于$4\ \mathrm{cm}^2$。
②若PQ长度等于$5\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ PCQ$中由勾股定理得：
$PC^2 + CQ^2 = PQ^2$
代入得：$(5 - t)^2 + (2t)^2 = 5^2$
展开化简得：$25 -10t + t^2 +4t^2 =25$，即$5t^2 -10t =0$，因式分解得$5t(t-2)=0$
解得$t_1=0$（运动初始时刻，舍去），$t_2=2$，符合$t≤3.5$的范围，即经过2秒后PQ的长度等于$5\ \mathrm{cm}$。
(2) 四边形ABPQ的面积不能等于$11\ \mathrm{cm}^2$，理由如下：
先计算$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AC =\frac{1}{2} ×5×7=17.5\ \mathrm{cm}^2$
若$S_{\mathrm{四边形}ABPQ}=11\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{△ PCQ} = S_{△ ABC} - S_{\mathrm{四边形}ABPQ} =17.5 -11=6.5\ \mathrm{cm}^2$
列面积方程：$\frac{1}{2} × (5 - t) ×2t =6.5$
化简得：$t(5 - t)=6.5$，即$t^2 -5t +6.5=0$
计算判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-5)^2 -4×1×6.5 =25 -26 = -1 ＜0$
∴该一元二次方程无实数根，即不存在符合条件的t，因此四边形ABPQ的面积不能等于$11\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 经过1秒后$△ PCQ$的面积等于$4\ \mathrm{cm}^2$，经过2秒后$PQ$的长度等于$5\ \mathrm{cm}$；(2) 不能。
【知识点】
一元二次方程的应用，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的动点类方程应用问题，解题关键是用时间变量表示出对应线段的长度，结合几何性质列方程，求解后要注意验证解是否符合动点的运动范围，判断存在性问题时可通过判别式判断方程是否有实根。
【难度系数】
0.65