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一、选择题
1. 如图1，电灯泡P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是(
A.$\frac{10}{3}$米
B.$\frac{6}{5}$米
C.$\frac{5}{6}$米
D.$\frac{6}{7}$米
1. 如图1，电灯泡P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是(
B
)A.$\frac{10}{3}$米
B.$\frac{6}{5}$米
C.$\frac{5}{6}$米
D.$\frac{6}{7}$米
答案
1. B
解析
【分析】
首先根据AB//CD的平行条件，可判定△PAB与△PCD相似，再结合相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比等于相似比，我们可以设P到AB的距离为未知数，代入已知的AB、CD长度和P到CD的距离列比例式，就能直接求解出结果。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠PAB=∠PCD，∠PBA=∠PDC
∴△PAB∽△PCD（两角分别相等的两个三角形相似）
设P到AB的距离为x米
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{x}{点P到CD的距离}$
将AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离为3米代入得：
$\frac{2}{5}=\frac{x}{3}$
解得：$x=\frac{2×3}{5}=\frac{6}{5}$
即P到AB的距离是$\frac{6}{5}$米。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在投影问题中的典型基础应用题，解题核心是利用平行线推导得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比建立等式求解，熟练掌握相似三角形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
首先根据AB//CD的平行条件，可判定△PAB与△PCD相似，再结合相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比等于相似比，我们可以设P到AB的距离为未知数，代入已知的AB、CD长度和P到CD的距离列比例式，就能直接求解出结果。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠PAB=∠PCD，∠PBA=∠PDC
∴△PAB∽△PCD（两角分别相等的两个三角形相似）
设P到AB的距离为x米
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{x}{点P到CD的距离}$
将AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离为3米代入得：
$\frac{2}{5}=\frac{x}{3}$
解得：$x=\frac{2×3}{5}=\frac{6}{5}$
即P到AB的距离是$\frac{6}{5}$米。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在投影问题中的典型基础应用题，解题核心是利用平行线推导得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比建立等式求解，熟练掌握相似三角形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图2，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度.设$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=m$，且量得$CD=b$，则内槽的宽$AB$等于(
A.$mb$
B.$\frac{m}{b}$
C.$\frac{b}{m}$
D.$\frac{b}{m+1}$
A
)A.$mb$
B.$\frac{m}{b}$
C.$\frac{b}{m}$
D.$\frac{b}{m+1}$
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查相似三角形的实际应用，解题思路如下：第一步，观察图形找到两个三角形△AOB和△COD，交叉形成的∠AOB与∠COD是对顶角，二者相等；第二步，结合题目给出的$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=m$，满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似三角形判定条件，可证两个三角形相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例的性质，建立AB与CD的数量关系，代入已知CD的长度即可求出AB。
【解析】
解：
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
又
∵$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=m$，
∴△AOB∽△COD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=m$，
已知CD=b，
∴$AB=m· CD=mb$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础题型，解题核心是准确识别相似三角形，利用相似的性质搭建已知量和未知量的关联，掌握相似三角形的判定和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形的实际应用，解题思路如下：第一步，观察图形找到两个三角形△AOB和△COD，交叉形成的∠AOB与∠COD是对顶角，二者相等；第二步，结合题目给出的$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=m$，满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似三角形判定条件，可证两个三角形相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例的性质，建立AB与CD的数量关系，代入已知CD的长度即可求出AB。
【解析】
解：
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
又
∵$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=m$，
∴△AOB∽△COD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=m$，
已知CD=b，
∴$AB=m· CD=mb$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础题型，解题核心是准确识别相似三角形，利用相似的性质搭建已知量和未知量的关联，掌握相似三角形的判定和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图3，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高为(
A.6米
B.6.5米
C.7米
D.7.5米
D
)A.6米
B.6.5米
C.7米
D.7.5米
答案
3. D
解析
【分析】
拿到这道题首先可联想到平行投影的性质：同一时刻太阳光线是平行的，垂直于地面的物体、其影子与太阳光线会构成直角三角形，小明和槟榔树分别形成的两个直角三角形是相似的。根据相似三角形对应边成比例的性质，同一时刻不同物体的高度和对应影长的比值相等，我们可以设槟榔树的高度为未知数，列出比例式求解即可得到结果。
【解析】
解：设这棵槟榔树的高为$x$米。
同一时刻平行投影下，相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{\mathrm{小明的身高}}{\mathrm{小明的影长}}=\frac{\mathrm{槟榔树的高}}{\mathrm{槟榔树的影长}}$
将已知数据代入比例式：
$\frac{1.5}{1}=\frac{x}{5}$
解得：$x=1.5×5=7.5$
因此这棵槟榔树的高为7.5米，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的应用；平行投影的性质
【点评】
这道题是相似三角形在实际测量场景中的基础应用题，解题核心是掌握同一时刻物高与影长成正比的规律，只要能正确列出比例式求解就能得到答案。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先可联想到平行投影的性质：同一时刻太阳光线是平行的，垂直于地面的物体、其影子与太阳光线会构成直角三角形，小明和槟榔树分别形成的两个直角三角形是相似的。根据相似三角形对应边成比例的性质，同一时刻不同物体的高度和对应影长的比值相等，我们可以设槟榔树的高度为未知数，列出比例式求解即可得到结果。
【解析】
解：设这棵槟榔树的高为$x$米。
同一时刻平行投影下，相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{\mathrm{小明的身高}}{\mathrm{小明的影长}}=\frac{\mathrm{槟榔树的高}}{\mathrm{槟榔树的影长}}$
将已知数据代入比例式：
$\frac{1.5}{1}=\frac{x}{5}$
解得：$x=1.5×5=7.5$
因此这棵槟榔树的高为7.5米，故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的应用；平行投影的性质
【点评】
这道题是相似三角形在实际测量场景中的基础应用题，解题核心是掌握同一时刻物高与影长成正比的规律，只要能正确列出比例式求解就能得到答案。
【难度系数】
0.8
4. 如图4,有一块三角形余料ABC,它的边BC=18cm,高AD=12cm,现在要把它加工成长与宽的比为3:2的矩形零件EFGH,要求一条长边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,则矩形EFGH的周长为(
A.15
B.13
C.26
D.30
D
)cmA.15
B.13
C.26
D.30
答案
4. D
解析
【分析】
首先观察图形特征，矩形的长边EF平行于△ABC的边BC，可推出△AEF与△ABC相似；根据相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，我们可以结合矩形长宽比为3:2的条件设未知数，列方程求出矩形的长和宽，最后计算周长即可。
【解析】
设矩形EFGH的长EF=3k cm，宽EH=2k cm（长与宽的比为3:2，长边EF在BC上）。
∵四边形EFGH是矩形，
∴EF//BC，
∴△AEF∽△ABC。
设AD与EF交于点M，
∵AD是△ABC的高，
∴AM是△AEF的高，且AM=AD - EH = (12 - 2k) cm。
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{AM}{AD}$
代入BC=18cm，AD=12cm，得：
$\frac{3k}{18}=\frac{12-2k}{12}$
化简得：$2k=12-2k$，解得$k=3$。
∴矩形的长为$3×3=9$cm，宽为$2×3=6$cm，
周长为$2×(9+6)=30$cm。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形实际应用的常见题型，解题核心是利用平行线构造相似三角形，结合相似三角形的性质建立方程求解，解题时需注意区分矩形的长和宽，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，矩形的长边EF平行于△ABC的边BC，可推出△AEF与△ABC相似；根据相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，我们可以结合矩形长宽比为3:2的条件设未知数，列方程求出矩形的长和宽，最后计算周长即可。
【解析】
设矩形EFGH的长EF=3k cm，宽EH=2k cm（长与宽的比为3:2，长边EF在BC上）。
∵四边形EFGH是矩形，
∴EF//BC，
∴△AEF∽△ABC。
设AD与EF交于点M，
∵AD是△ABC的高，
∴AM是△AEF的高，且AM=AD - EH = (12 - 2k) cm。
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{AM}{AD}$
代入BC=18cm，AD=12cm，得：
$\frac{3k}{18}=\frac{12-2k}{12}$
化简得：$2k=12-2k$，解得$k=3$。
∴矩形的长为$3×3=9$cm，宽为$2×3=6$cm，
周长为$2×(9+6)=30$cm。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形实际应用的常见题型，解题核心是利用平行线构造相似三角形，结合相似三角形的性质建立方程求解，解题时需注意区分矩形的长和宽，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 傍晚,小明和妈妈在夕阳下散步,妈妈身高1.68 m,她在地面上的影长为2.1 m.若小明比妈妈矮0.28 m,则他的影长为
1. 傍晚,小明和妈妈在夕阳下散步,妈妈身高1.68 m,她在地面上的影长为2.1 m.若小明比妈妈矮0.28 m,则他的影长为
1.75
m.答案
1. 1.75
解析
【分析】
本题考查平行投影下相似三角形的应用，解题思路如下：首先明确同一时刻太阳光下，不同物体的高度和对应影长的比值相等，本质是太阳光线平行，物体与影子构成的直角三角形相似，对应边成比例；第二步先计算出小明的身高；第三步设小明影长为未知数，根据物高与影长的比例关系列方程求解即可。
【解析】
解：同一时刻，物体高度与影长的比值为定值。
首先计算小明的身高：$1.68 - 0.28 = 1.4\ \mathrm{m}$
设小明的影长为$x\ \mathrm{m}$，根据物高与影长成正比可得：
$\frac{\mathrm{妈妈身高}}{\mathrm{妈妈影长}}=\frac{\mathrm{小明身高}}{\mathrm{小明影长}}$
代入数据得：$\frac{1.68}{2.1}=\frac{1.4}{x}$
化简左边得：$0.8=\frac{1.4}{x}$
解得：$x=\frac{1.4}{0.8}=1.75$
【答案】
1.75
【知识点】
相似三角形应用；平行投影性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形的基础实际应用题，结合生活场景出题，只要掌握同一时刻物高与影长成正比的规律，正确列出比例式即可求解。
【难度系数】
0.8
本题考查平行投影下相似三角形的应用，解题思路如下：首先明确同一时刻太阳光下，不同物体的高度和对应影长的比值相等，本质是太阳光线平行，物体与影子构成的直角三角形相似，对应边成比例；第二步先计算出小明的身高；第三步设小明影长为未知数，根据物高与影长的比例关系列方程求解即可。
【解析】
解：同一时刻，物体高度与影长的比值为定值。
首先计算小明的身高：$1.68 - 0.28 = 1.4\ \mathrm{m}$
设小明的影长为$x\ \mathrm{m}$，根据物高与影长成正比可得：
$\frac{\mathrm{妈妈身高}}{\mathrm{妈妈影长}}=\frac{\mathrm{小明身高}}{\mathrm{小明影长}}$
代入数据得：$\frac{1.68}{2.1}=\frac{1.4}{x}$
化简左边得：$0.8=\frac{1.4}{x}$
解得：$x=\frac{1.4}{0.8}=1.75$
【答案】
1.75
【知识点】
相似三角形应用；平行投影性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形的基础实际应用题，结合生活场景出题，只要掌握同一时刻物高与影长成正比的规律，正确列出比例式即可求解。
【难度系数】
0.8
2. 为了估算小河的宽度，小明画了测量示意图(如图5). 若测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,则两岸间的距离AB=
100
m.答案
2. 100
解析
【分析】
首先结合题意和图形可知，AB、EC都垂直于河岸BC，因此AB与EC平行，可推出△ABD和△ECD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，将已知的边长代入比例式，即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得，AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，
又
∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$
将BD=120m，DC=60m，EC=50m代入得：
$\frac{AB}{50}=\frac{120}{60}$
解得：$AB=50×2=100$（m）
【答案】
100
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的基础应用，解题的核心是正确识别图中的相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系求解，考查了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
首先结合题意和图形可知，AB、EC都垂直于河岸BC，因此AB与EC平行，可推出△ABD和△ECD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，将已知的边长代入比例式，即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得，AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，
又
∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$
将BD=120m，DC=60m，EC=50m代入得：
$\frac{AB}{50}=\frac{120}{60}$
解得：$AB=50×2=100$（m）
【答案】
100
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的基础应用，解题的核心是正确识别图中的相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系求解，考查了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
3. 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图6，他在某一时刻立1 m长的标杆测得其影长为1.2 m，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6 m和2 m，则学校旗杆的高度为
10
m.答案
3. 10
解析
【分析】
本题考查相似三角形在实际测量中的应用，核心规律是同一时刻下，直立物体的高度与它在水平地面上的影长成正比。解题时首先处理落在墙面上的影子：可过墙上影子的顶端作地面的平行线，将旗杆分为两段，下段高度与墙上影子高度相等，上段的影长对应地面上的9.6m，再结合标杆的物高影长比求出上段高度，两段相加即可得到旗杆总高度。
【解析】
解：由题意可知，同一时刻直立物体的高度与地面影长的比值为定值，1m长的标杆影长为1.2m，因此该时刻$\frac{物高}{影长}=\frac{1}{1.2}$。
过墙上2m影子的顶端作地面的水平线，与旗杆交于一点，该点将旗杆分为上下两段：
1. 下段旗杆高度与墙上影子高度相等，为2m；
2. 设上段旗杆高度为$h$，上段旗杆的影长等于地面上的影长9.6m，代入比例关系可得：
$\frac{h}{9.6}=\frac{1}{1.2}$
解得$h=9.6÷1.2=8\,\mathrm{m}$
因此旗杆总高度为$8+2=10\,\mathrm{m}$。
【答案】
10
【知识点】
相似三角形应用、物高与影长的关系
【点评】
本题是相似三角形的典型实际应用题，解题的关键是正确转化墙面影子的含义，避免错误将墙面影子的长度当作地面影长直接代入计算。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形在实际测量中的应用，核心规律是同一时刻下，直立物体的高度与它在水平地面上的影长成正比。解题时首先处理落在墙面上的影子：可过墙上影子的顶端作地面的平行线，将旗杆分为两段，下段高度与墙上影子高度相等，上段的影长对应地面上的9.6m，再结合标杆的物高影长比求出上段高度，两段相加即可得到旗杆总高度。
【解析】
解：由题意可知，同一时刻直立物体的高度与地面影长的比值为定值，1m长的标杆影长为1.2m，因此该时刻$\frac{物高}{影长}=\frac{1}{1.2}$。
过墙上2m影子的顶端作地面的水平线，与旗杆交于一点，该点将旗杆分为上下两段：
1. 下段旗杆高度与墙上影子高度相等，为2m；
2. 设上段旗杆高度为$h$，上段旗杆的影长等于地面上的影长9.6m，代入比例关系可得：
$\frac{h}{9.6}=\frac{1}{1.2}$
解得$h=9.6÷1.2=8\,\mathrm{m}$
因此旗杆总高度为$8+2=10\,\mathrm{m}$。
【答案】
10
【知识点】
相似三角形应用、物高与影长的关系
【点评】
本题是相似三角形的典型实际应用题，解题的关键是正确转化墙面影子的含义，避免错误将墙面影子的长度当作地面影长直接代入计算。
【难度系数】
0.7
